DIO AMA I NUMERI DISPARI
LEIBNIZ (1682)
CARLANGELO LIVERANI
Poichè tan π4 = 1 abbiamo π4 = arctan 1. Se siamo interessati in π è quindi
interessante essere in grado di calcolare l’arcotangente.
Si noti che, per ogni x ∈ R, |x| < 1, si ha
∞
X
1
d
arctan x =
=
(−x2 )n ,
dx
1 + x2
n=0
dove abbiamo usato la ben nota formula per la somma della serie geometrica.
Da ora in poi supponiamo x ∈ [0, 1).
Si noti che, per ogni L ∈ N, possiamo scrivere
Z xX
Z xX
∞
L−1
∞
XZ x
arctan x =
(−z 2 )n dz =
(−z 2 )n dz +
(−z 2 )n dz.
0
eq:leib
n=0
0
n=0
0
n=L
Per l’argomento di Leibniz (vedi la dimostrazione del criterio di Leibniz) segue che
se si ha una successione positiva decrescente {an } allora
∞
X
n
(0.1)
(−1) an ≤ |aL |.
n=L
Quindi
Z
Z
∞
xX
x
1
x2L+1
(−z 2 )n dz ≤
≤
.
z 2L dz =
0
2L
+
1
2L
+1
0
n=L
Dunque
eq:arc0
(0.2)
L−1
X
x2n+1
arctan x =
(−1)
+O
2n + 1
n=0
n
1
2L + 1
.
Prendendo il limite per L → ∞ della espressione qui sopra si ottiene
eq:arc
(0.3)
arctan x =
∞
X
(−1)n
n=0
x2n+1
.
2n + 1
Abbiamo cosı̀ una formula per calcolare l’arcotangente, sfortunatamente non sappiamo se è valida per x =eq:arc0
1. Per rispondere a questa domanda è conveniente prendere
il limite per x → 1 in (0.2):
L−1
X
1
1
arctan 1 =
(−1)n
+O
.
2n + 1
2L + 1
n=0
Date: October 8, 2013.
1
2
CARLANGELO LIVERANI
Se prendiamo ora il limite per L → ∞ abbiamo
∞
X
(−1)n
arctan 1 =
.
2n + 1
n=0
Da questa formula segue lo stupore di Leibniz (e, nel mio piccolo, anche il mio): π
è connesso ad una somma di inversi di numeri dispari:
∞
X
1 1 1 1
1
π
(−1)n
=
=1− + − + −
+ ....
4
2n + 1
3 5 7 9 11
n=0
Carlangelo Liverani, Dipartimento di Matematica, II Università di Roma (Tor Vergata), Via della Ricerca Scientifica, 00133 Roma, Italy.
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