Trigonometria: definizioni, relazioni, teoremi

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Matematica per i precorsi 3/ed - Giovanni Malafarina
Copyright © 2010 - The McGraw-Hill Companies srl
Capitolo 13
Svolgimento degli esercizi proposti
1. Formule di sottrazione:
sin ( x − y ) = sin ( x + (− y) ) = sin x ⋅ cos(− y) + cos x ⋅ sin(− y) =
= sin x ⋅ cos y + cos x ⋅ ( − sin y) =
= sin x ⋅ cos y − cos x ⋅ sin y
cos ( x − y ) = cos ( x + (− y) ) = cos x ⋅ cos(− y) − sin x ⋅ sin(− y) =
= cos x ⋅ cos y − sin x ⋅ (− sin y) =
= cos x ⋅ cos y + sin x ⋅ sin y
Formule di duplicazione:
sin2 x = sin ( x + x ) = sin x ⋅ cos x + cos x ⋅ sin x = 2 ⋅ sin x ⋅ cos x
cos2 x = cos ( x + x ) = cos x ⋅ cos x − sin x ⋅ sin x = cos2 x − sin2 x
Formula di bisezione:
cos2t = cos ( t + t ) = cos t ⋅ cos t − sin t ⋅ sin t = cos2 t − sin 2 t =
= 1 − 2sin 2 t = 2cos2 t − 1
Poniamo t =
x
:
2
x
x 1 − cos x
→ sin 2 =
2
2
2
x
x
1
+
cos x
cos2t = 2cos2 t − 1 → cos x = 2cos2 − 1 → cos2 =
2
2
2
cos2t = 1 − 2sin2 t → cos x = 1 − 2sin2
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2
Svolgimento degli esercizi proposti – Capitolo 13
2. Partiamo da:
sin 2 x + cos2 x = 1
Se x ≠
π
2
+ kπ il coseno è diverso da 0, quindi possiamo dividere ambo i membri
per cos2 x :
sin 2 θ cos2 θ
1
+
=
2
2
cos θ cos θ cos2 θ
→ cosθ = ±
→ tan2 θ + 1 =
1
cos2 θ
→
1
1
=±
2
1 + tan θ
1 + tan 2 θ
3. Partiamo da:
sin 2 x + cos2 x = 1
Se x ≠
π
2
+ kπ il coseno è diverso da 0, quindi possiamo dividere ambo i membri
per cos2 x :
sin 2 θ cos2 θ
1
+
=
2
2
cos θ cos θ cos2 θ
→ sin 2 θ = 1 −
→ sinθ = ±
→ tan 2 θ + 1 =
1
1
=
2
cos θ 1 − sin2 θ
1
1 + tan 2 θ − 1
tan2 θ
=
=
1 + tan 2 θ
1 + tan2 θ
1 + tan2 θ
tanθ
→
→
1 + tan2 θ
4. Applichiamo la relazione trovata nell’esercizio 3:
sinθ = ±
tanθ
=
1 + tan 2 θ
7
7
7
7
−
−
−
−
24
24 = ± 24 = 24 = ∓ 7 ⋅ 24 = ∓ 7
=±
=±
2
25
24 25
25
49
625
 7 
1+
1+− 
24
576
576
 24 
Poiché l’angolo, secondo la traccia dell'esercizio, cade in un intervallo in cui la
tangente è negativa, va scelto il valore con il segno “meno”.
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Svolgimento degli esercizi proposti – Capitolo 13
3
5. sin (97° ) ≃ 0.9925 ; sin ( 210° ) = 0.5 ; sin (130° ) ≃ 0.7660
6. Dalla relazione fondamentale:
2
16
9
3
 4
cosθ = ± 1 − sin2 θ = ± 1 −  −  = ± 1 −
=±
=±
25
25
5
 5
Poiché l’esercizio indica che l’angolo si trova in un quadrante in cui il coseno è
positivo, scegliamo il segno “più”.
Dalla relazione:
tanθ =
sinθ
cosθ
segue
4
4
tanθ = 5 = −
3
3
5
−
7. sin 2 θ ⋅ cosθ − 3cos3 θ = (1 − cos2 θ ) ⋅ cosθ − 3cos3 θ =
= cosθ − cos3 θ − 3cos3 θ = 1 − 4cos3 θ
Poiché siamo nel quadrante in cui il coseno è negativo, nell’applicare la relazione
fra coseno e tangente ricavata nell’esercizio 2 dobbiamo scegliere il segno “meno”
(la frazione a secondo membro è senz’altro non negativa). Pertanto:
3
 
 
1

1 − 4 cos θ = −
− 4 −
 =
  1 + tan 2 θ  
1 + tan 2 θ


1
3
=−
=
1
+
1 + tan 2 θ
(
(
4
(1 + tan θ ) )
(
2
3
=
) + 4 = −1(1 + tan θ ) + 4 = −1 − tan θ + 4 =
1 + tan θ )
( 1 + tan θ ) ( 1 + tan θ )
−1 1 + tan 2 θ
2
2
2
3
2
2
3
2
3
3 − tan 2 θ
(1 + tan2 θ )
3
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Svolgimento degli esercizi proposti – Capitolo 13
8. Applichiamo le formule di sottrazione:
π
π
π

cos  − θ  = cos ⋅ cosθ + sin ⋅ sinθ = 0 ⋅ cosθ + 1 ⋅ sinθ = sinθ
2
2
2


π
π
π

sin  − θ  = sin ⋅ cosθ − cos ⋅ sinθ = 1 ⋅ cosθ − 0 ⋅ sinθ = cosθ
2
2
2

9. Applichiamo il teorema di Carnot:
a
c
=
sinα sin γ
=
c
6− 2
→ sin γ = ⋅ sinα =
⋅ sin ( 75° ) =
a
2
6 − 2 6 + 2 6−2 1
⋅
=
=
→ γ = 30°
2
4
8
2
Di conseguenza:
β = 180° − 30° − 75° = 75°
Avendo due angoli uguali, il triangolo è isoscele, perciò non serve fare calcoli per
ricavare il terzo lato; si ha:
b=a=2
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