Alcune sostituzioni utili
nella ricerca di primitive
(L.V.)
In ciò che segue, R denota una funzione razionale (cioè rapporto di due polinomi) in una o
più variabili, P è un polinomio. (Per esempio, la funzione P (x, y) = x3 y − 2x + 5xy 3 + 12
è un polinomio in due variabili di grado 4.)
Le sostituzioni segnate con “•” sono considerate basilari e vanno imparate.
•
•
•
◦
R
R(ax ) dx (0 < a 6= 0).
x
Sostituzione
R a 1= t.
Esempio: ex +e−x dx .
R
√
R( q x) dx.
√
q
Sostituzione
x = t.
R
p1 /q1
pk /qk
Anche R(x
, . . . , x√
) dx (pi , qi interi) rientra in questo tipo: si osservi che
pi /qi
q
x
è una potenza di √x dove q è il minor comune multiplo dei numeri q1 , . . . , qk .
R
R
√ x dx.
Esempi: 1+1√x dx,
2 3 x+3
R
R
R(tan x) dx, P (log x) dx.
Sostituzione:
indovinatela!
R
R
Esempi: (log2 x − log x − 7) dx, tan3 x dx.
R
R(cos2 x, sin2 x, sin x cos x, tan x, cot x) dx.
Sostituzione tan x = s. Se x ∈ (−π/2, π/2), si ha x = arctan s, per cui:
dx = s21+1 ds,
2
•
◦
2
2
x
s
cos2 x = s21+1 (segue da s2 = 1−cos
cos2 x ), da cui: sin x = s2 +1 ,
sin x cos x = tan x · cos2 x = s2s+1 , cot x = 1s .
Questa sostituzione di solito risulta più semplice della seguente sostituzione “universale”.
R tan x
Esempio: 1+sin
2 x dx.
R
R(sin x, cos x) dx.
Sostituzione tan x2 = t. Se x ∈ (−π, π), si ha x = 2 arctan t, per cui (usando il caso
precedente):
2
dx = 1+t
2 dt,
sin x = 2 sin(x/2) cos(x/2) =
R
Esempio: sin1 x dx.
R
R
q
q
ax+b
cx+d
Sostituzione
dx.
q
q
ax+b
cx+d
2t
1+t2
,
cos x = cos2 (x/2) − sin2 (x/2) =
= t.
1
1−t2
1+t2 .
p1 /q1
R ax+b pk /qk
Inoltre, le primitive R ax+b
,
.
.
.
,
dx possono essere trattate cocx+d
cx+d
me nel secondo punto sopra.
√
R 2k+1 √
R 2k+1 √
R
x
R x2 − a2 dx ,
x
R x2 + a2 dx.
◦ x2k+1 R a2 − x2 dx ,
Sicuramente troverete
da
√ soli come trasformare questi integrali (e, più in generale,
R
quelli del tipo √ x R(x2 , a2 − x2 ) dx) in integrali di funzioni razionali.
R
Esempio: x3 2x2 + 3 dx.
√
√
√
R
R
R
R x, x2 − a2 dx ,
R x, x2 + a2 dx.
◦ R x, a2 − x2 dx ,
È possibile sfruttare le ben note relazioni cos2 t + sin2 t = 1 e Ch2 (t) − Sh2 (t) = 1,
sostituendo
sin t, x R= a Ch(t),
x = a Sh(t).
√
R √rispettivamente
R x =2a3/2
2
2
2
Esempi:
1 − x dx, (2 + x ) dx, x x − 4 dx.
R p
◦ R x, ±(x2 + px + q) dx.
2
Osservando che x2 + px + q = (x + p2 )2 + (q − p4 ), possiamo operare la sostituzione
x + p2 = t per ricondurci al caso precedente.
√
R√
R 2
Esempi:
x2 + 2x + 2 dx,
(x + 3) 3 − 4x − 4x2 dx.
R
◦ xm (a + bxn )p dx dove m, n, p sono razionali (“integrale binomio”).
m1
a) Se p è intero, si tratta di una funzione razionale in xm e xn ; perciò, se m = m
,
2
n1
1/q
n = n2 (mi , ni interi), basta porre x
= t dove q è il minore comune multiplo
di m2 , n2 .
r
n 1/s
b) Se m+1
= t conduce alla
n è intero e p = s (r, s interi), la sostituzione (a + bx )
ricerca di primitiva
di
una
funzione
razionale.
√ 3/7
R
Esempio: (1−2x√x)
dx.
x
c) Se non siamo nel caso b), possiamo provare a ricondurre il problema al caso b)
facendo sostituzione x = 1/t. È facile far vedere che questo è possibile se e solo
intero.
se m+1
n + p è√
4 3
R 3 1+ √
x
√
Esempio:
dx.
2 4 3
x
x
———
Per poter utilizzare le sostituzioni trattate sopra, bisogna saper integrare le funzioni razionali (v. le esercitazioni del corso). L’argomento è anche trattato su moltissimi libri; ne
indichiamo soltanto alcuni.
V. E. Bononcini, Esercizi di Analisi Matematica, vol. 2, pp. 196–200.
F. Buzzetti, E. Grassini Raffaglio & A. Vasconi Ajroldi, Esercizi di Analisi Matematica I, parte seconda, pp. 31–33, 36–37.
L. De Biase, R. Fumagalli & C. Zanco, Esercizi e Complementi di Analisi Matematica,
pp. 280–290.
B. P. Demidovič, Esercizi e Problemi di Analisi Matematica, pp. 117–122.
P. Marcellini & C. Sbordone, Analisi Matematica uno, pp. 329–334 (solo il caso di
denominatore quadratico).
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