17. Integrazione per parti
Davide Catania
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Esercitazioni di Analisi Matematica 1
A.A. 2016/17
Formula di integrazione per parti.
Z
f 0 g = fg −
Z
fg 0
Z b
Z b
0
b
f g = [fg]a −
fg 0
a
a
Nota. L’aspetto più complicato è stabilire quale funzione è f 0
(devo saperla integrare) e quale è g .
• In presenza di un polinomio per seno, coseno o
esponenziale, si pone g uguale al polinomio.
Esercizio 1
Z
x sin x dx =
Esercizio 2
Z
cos3 x dx =
Nota sugli integrali definiti. Per calcolare
procedere in due modi:
Rb
a
f 0 g si può
(1) usando direttamente la formula di integrazione per parti
£ ¤b R
R
per integrali definiti: ab f 0 g = fg a − ab fg 0 ;
(2) usando la formula di integrazione per parti per integrali
indefiniti per trovare una primitiva H(x) di f 0 g , e poi
calcolando H(b) − H(a):
Z
Z
H(x) = f 0 g = fg − fg 0 ,
Z b
f 0 g = [H]ba = H(b) − H(a) .
a
Nota. In presenza di logaritmo, arcotangente, arcoseno per
polinomi, conviene porre f 0 uguale a polinomio. Il polinomio può
essere la funzione f 0 (x) = 1 per ogni x.
Esercizio 3
2
Z
1
ln x dx =
Lavoro di una forza. Un punto materiale che si sposta lungo
l’asse x da x = a fino a x = b è sottoposto a una forza di intensità
variabile pari a f (x) diretta lungo l’asse x (f (x) > 0 significa che è
diretta nel verso positivo delle x). Il lavoro della forza è dato da
b
Z
W=
f (x) dx
a
Esercizio 4
Calcola il lavoro compiuto da una forza f (x) = arcsin x per
spostare un punto materiale da x = 0 fino a x = 1 lungo l’asse x.
L’integrazione per parti può essere ripetuta.
Esercizio 5
1
Z
0
x2 ex dx =
Esercizio 6
1
Z
0
(x2 + 1) cos(2x) dx =
Massa e baricentro di una sbarra. Data una sbarra disposta
lungo l’asse x da x = a a x = b di densità lineare λ(x) Ê 0 (in
kg/m), la massa m e la coordinata del baricentro xG della
sbarra sono
b
Z
m=
xG =
a
1
m
λ(x) dx
( kg)
b
Z
xλ(x) dx
a
( m)
Esercizio 7
Trova il baricentro di una sbarra di densità
lineare pari a
p
1
λ(x) = 2 arctan x disposta fra x = 1 e x = 3. Qual è la distanza
del baricentro dal primo estremo della sbarra?
Simmetrie:
• se f : [−a, a] → R è una funzione pari, allora
Z a
Z a
f (x) dx = 2
f (x) dx ;
0
−a
• se f : [−a, a] → R è una funzione dispari, allora
Z a
f (x) dx = 0 .
−a
Esercizio 8
Z
5
−5
2
x3 |sin x|(arctan x) dx =
Primitiva di
1
(1 + x2 )2
Esercizio 9
Z
1
1
dx =
2 2
−1 (1 + x )
e di
x2
(1 + x2 )2
Metodo per seno o coseno che moltiplica un esponenziale.
Esercizio 10
Z π /2
0
e2x sin x dx =
Esercizio 11
Trova la primitiva F(x) di f (x) = sin(ln x) tale che F(1) = 2.
Esercizio 12
Trova la primitiva F(x) di f (x) =
ln x
tale che lim F(x) = 1.
x→+∞
x3
Una tecnica alternativa.
Esercizio 13
Trova una primitiva di f (x) = x ex cos x.
Esercizio 14
Calcola:
1
Z
(a)
0
x3 sin x dx = 5 cos 1 − 3 sin 1 ;
Z
(b)
arctan x dx = x arctan x −
1
ln(1 + x2 ) + c .
2
