puro rotolamento in un piano inclinato - e
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Il moto di puro rotolamento Ilmotodipurorotolamentoèunmotoincuiilpuntodiconta<otra lasuperficieedilcorpocherotola(asezionecircolare)èfermoistante peristante:vP=0.Ricordiamoche,grazieaiteoremidiKönig, possiamoseparareilmotorototraslatorioinrotazionedelcorpo rispe<oalsuoCM,etraslazionedelCMrispe<oallaboratorio. v = ωR v = ωR + vCM v = ωR vP = -ωR vO = 0 vT = ωR FisicaGeneraleI v = ωR - vCM = 0 vP = vCM vO = vCM vT = vCM vP = vCM – ωR vO = vCM vT = vCM + ωR A.A.2016/17 vP = 0 ⇒ }⇒ v CM = ωR 2 Sia µs il coefficiente di attrito statico tra il piano e il corpo rigido e R M supponiamo che il corpo sia fermo quando inizia il moto e si trovi ad h un’altezza h dal suolo. Sia inoltre I’ il momento d’inerzia del corpo θ rispetto ad un asse passante per il CM e ⊥ al foglio. NB l’attrito statico non e’ l’attrito statico massimo in generale. All’istante t = 0 s il corpo viene lasciato libero di muoversi e scende lungo il piano inclinato con velocità angolare ω; il moto è fin dall’inizio di puro rotolamento. Emi = Em f FisicaGeneraleI Mgh = 1 1 2 MvCM + I 'ω 2 2A.A.2016/17 2 3 Ricordando la condizione di puro rotolamento, vCM = ωR, si ha 2 1 2 1 ' vCM mgh = mvCM + I 2 2 2 R ! $ # 1 & 2 & vCM = 2gh # ' ## 1+ I && " mR 2 % I ' = mR 2 1 I ' = mR 2 2 2 I ' = mR 2 3 FisicaGeneraleI Ricordiamo ora che il rapporto tra I’ ed R è proporzionale ad m, il coefficiente di proporzionalità dipendendo dalla geometria del corpo anello vCM = gh cilindro vCM = sfera cava vCM A.A.2016/17 4 gh 3 6 = gh 5 4 IrisultaRcosìo<enuRvannoconfrontaRconquelliricavaRnelcasoin cuiilcorporigidochescendesenzarotolaredallastessaaltezzalungoun pianoliscioconlostessoangolodiinclinazione θ, sappiamogiàche o<eniamoperognicorpolostessorisultato, vCM = √2gh. Ladifferenzatralevelocitào<enuteneiduecasi(entrambiconservaRvi dalpuntodivistaenergeRcoeconlamedesimaEminiziale)èdovuta alfa<oche,nelcasodelpurorotolamento,ilcorpodeveimpiegare partedellasuaenergiapotenzialegravitazionaleperentrarein rotazione,ciòadiscapitodellatraslazione.Comeconseguenza,nelcaso delpurorotolamento,abbiamovelocitàfinalidelCMpiùpiccole. Esaminiamoorailproblemadalpuntodivistadinamico.Scriviamole dueequazionicardinalidelladinamicaperilcorporigido(rotazione a<ornoadunasseprincipaled’inerziasenzapuntofissoinun sistemainerziale) !' ! ⎧ M ext = I 'α ⎨ ! ! ⎩∑ Fext = MaCM FisicaGeneraleI A.A.2016/17 5 Prendiamo come polo il CM; la forza peso , essendo applicata nel CM non produce momento. Solo la forza di attrito fs produce momento. NB: Momento d'inerzia rispetto CM = I ' ⎧⎪ Rfs = I 'α ⎨ ! ! ! ! ⎪⎩ mg + fs + N = maCM aCM = α R ⎧ I ' aCM f = ⎪ s R2 ⎪⎪ ⎨ mgsin ϑ − fs = maCM ⎪ ⎪ N − mgcosϑ = 0 ⎪⎩ FisicaGeneraleI A.A.2016/17 6 IN ALTERNATIVA SPESSO PIU” CONVENIENTE prendiamo come polo il punto di contatto P del disegno; la forza di attrito fs, essendo applicata al punto P non produce momento. Solo il peso produce momento rispetto il polo P (la componente normale al braccio r e’ mgsin(θ) ) NB: Momento d'inerzia rispetto P I P = I ' + mR 2 ⎧⎪ Rmgsin ϑ = I P' α ⎨ ! ! ! ! ⎪⎩ mg + fs + N = maCM R2 mgsin ϑ ' = α R = aCM I + mR 2 mgsin ϑ − fs = maCM I ' aCM fs = 2 R FisicaGeneraleI A.A.2016/17 7
