ESEMPIO DI MOTO ROTOTRASLATORIO Moto di rotolamento senza strisciamento: il corpo trasla con velocità vCM , ruota con velocità angolare ω attorno ad un asse passante per CM ⊥ al piano del disegno, il punto di contatto è istantaneamente fermo A ω B r B CM vCM r C C punto di contatto all’ istante t: vC = 0 La forza di attrito statico impedisce lo strisciamento vC = vCM + ω×r = 0 ⇒ vCM = − ω×r ω vettore ⊥ al piano del disegno, entrante ω×r = − ωr i opposto a vCM vCM= ωr aCM = α r Moto di rotolamento senza strisciamento ≡ moto di rotazione attorno ad un asse istantaneamente fisso passante per C Energia cinetica del cilindro: per il teorema di Konig 1 2 1 2 E K = mvCM + ICM ω = 2 2 1 2 2 1 2 = mr ω + ICM ω = 2 2 1 2 2 1 2 = ICM + mr ω = ICω 2 2 1 2 ICω energia cinetica di rotazione attorno 2 ( ) all’ asse passante per C Velocità del punto A vA = vCM + ω×rA = vCM +ωr i = 2ωr i vA ⊥ al vettore che congiunge A con il punto di contatto C, |vA| = ω ⋅ CA Velocità di un generico punto B vB = vCM + ω×rB Velocità di B relativa a C: vB − vC = ω×rB − ω×r = ω×(rB − r) Essendo vC = 0 ⇒ vB = ω× CB vB ⊥ al vettore che congiunge B con il punto di contatto C, |vB| = ω CB Il moto può essere considerato come un moto di pura rotazione rispetto ad un asse passante per C Esempio: un cilindro rotola senza strisciare su un piano scabro XZ sotto l’ azione di una forza F costante diretta lungo X e di un momento M diretto lungo Z, applicato all’ asse passante per CM ω M Y F f X Z f reazione esercitata dal piano 1 2 ICM = mr 2 L’ = I CM ω Equazioni del moto E R = m aCM dL' M = dt E ⇔F ⇔ + f +mg = maCM d L' M+r×f= dt Lungo gli assi X, Y F + fX = m aCM fY = mg (*) Lungo l’asse Z 1 2 −Mk + rfXk = − mr α k 2 1 M − rfX = mra CM (* *) 2 a CM da (*) e (* *) ⇒ 2 rF + M = 3 mr 2M − rF fX = 3r Perché non ci sia strisciamento: fX = forza di attrito statico fX ≤ µS fY = µS mg fX fX µS ≥ µSMIN = fY fY Casi particolari: 1) M = 0 2F F a CM = fX = − 3m 3 fX i opposta ad F momento di f responsabile della rotazione 2) F = 0 2M 2M a CM = fX = 3 mr 3r fX positiva determina il moto di CM momento di f opposto ad M 3) M = 0 F = 0 il cilindro è in quiete oppure vCM = costante ω = costante 1 2 1 2 E K = mvCM + ICM ω = costante 2 2 Lavoro della forza di attrito nel moto di puro rotolamento fX = forza di attrito statico, vC = 0 dW = fX i ⋅ ds = fX i ⋅ vC dt = 0