Puro rotolamento
Prima di iniziare a ricavare le formule del rotolamento, penso sia d’obbligo stabilire cosa
intendiamo per puro rotolamento e per quale motivo questo è praticamente impossibile da
realizzare.
Abbiamo a che fare con un puro rotolamento quando il corpo in questione si limita a rotolare su di
una superficie senza strisciare.
Per far sì che un corpo rotoli è necessario che vi sia attrito, in modo che questo generi un momento
che faccio roteare il corpo.
Siccome il nostro corpo non deve strisciare è chiaro che l’attrito non fa lavoro, infatti lo spazio da
moltiplicare alla forza è nullo, o meglio tendente a zero. Quindi l’attrito che gioca un ruolo in
questo tipo di rotolamento è un attrito statico e non dinamico.
Quindi per un corpo che rotola di puro rotolamento l’energia cinetica totale è data dalla somma di
quella lineare e quella di rotazione:
1
1
2
Ec I 2 mvcm
2
2
Ciò non è tutto, infatti per la legge della conservazione dell’energia meccanica abbiamo che la
somma delle energie cinetiche del corpo rimane costante, ciò rende impossibile il puro rotolamento
dato che il moto perpetuo è irrealizzabile.
Comunque ciò non ci deve scoraggiare, perché in moltissimi casi la diminuzione di energia cinetica
risulta trascurabile per spazi anche lunghi.
Cerchiamo ora di trovare un’equazione che metta in relazione velocità lineare con velocità angolare
nel puro rotolamento.
Dalla condizione precedente ricaviamo le seguenti relazioni:
2 Ec
2
mR 2 I
vcm
2
2 Ec
I
m 2
R
Ora dividendo la prima per la seconda risulta:
vcm
2
2
da cui:
mR 2 I
R2
I
m 2
R
vcm R
A questo punto abbiamo una condizione sulla velocità per il puro rotolamento; da questa possiamo
ricavare quella sullo spazio infatti l’accelerazione angolare è definita come la variazione dell’angolo
spazzato dal raggio che collega il centro a un punto P scelto arbitrariamente.
Però per generalizzare dobbiamo considerare che il rotolamento non sia di velocità costante, quindi
conviene prendere in esame tempi infinitesimi tendenti a zero in cui è lecito affermare che la
velocità sia costante.
Quindi moltiplicando entrambi i membri per un tempo infinitesimo, in cui ripeto la velocità è
costante, abbiamo che:
da cui:
vcm dt R dt
ds cm d r R
dove il simbolo d sta solo a significare intervalli infinitesimali.
Ora per trovare lo spazio occorre solamente sommare gli infinitesimi spazi di ogni intervallo; è
chiaro che il raggio non è una variabile quindi per ogni intervallo anche se la velocità e lo spazio
variano questo rimane costante perciò per un grosso intervallo di spazio possiamo semplicemente
eliminare la dimensione infinitesimale:
scm r R
Per quanto riguarda l’accelerazione essa non è altro che il limite del tempo che tende a zero della
velocità fratto il tempo e considerando sempre che il raggio non è una variabile è estraibile da tale
limite e quindi:
acm R
Concludendo nel puro rotolamento lo spazio percorso dal centro di massa è pari all’arco di
circonferenza percorso dal corpo, quindi uno stesso punto rimane istantaneamente fermo in quanto
non può strisciare neanche per un tratto ds tendente a zero.
A volte per facilitare le cose può essere conveniente utilizzare il principio di indipendenza dei moti
(già utilizzato nel moto parabolico) e quindi vedere il puro rotolamento come la composizione dei
moti di rotazione e traslazione.
Per il moto di rotazione (a) valgono le leggi già
a
b
studiate quindi le velocità lineari dei punti sulla
superficie della sfera sono pari a Rω, mentre il
centro di massa rimane fermo.
Per quanto riguarda il moto traslatorio, non
essendoci alcun tipo di rotazione ogni particella
del corpo si muove di velocità v.
Sommando questi due moti (b), tenendo
presente la condizione di puro rotolamento rispetto alle velocità risulta che la velocità del punto
diametralmente opposto a quello di contatto con il piano si muove con velocità 2v=2Rω, il centro di
massa di velocità v= Rω mentre il punto di contatto resta instante per istante fermo.
