1 Moto
elastico:
1.1 Moto uniformemente accelerato
Eki = Ekf
xf = xi + vmedia t
v1i − v2i = −(v1f − v2f )
m1 − m2
2m2
v1f =
v1i +
v2i
m1 + m2
m1 + m2
m2 − m1
2m1
v1i +
v2i
v2f =
m1 + m2
m1 + m2
vf2 = vi2 + 2ax (xf − xi )
3.2 Centro di massa
x(t) = x0 + vx t + 21 ax t2
vmedia = 21 (vi + vf )
Z
1
1 X
mi xi =
x(m) dm
M i
M M
P
1
~vCM = M
vi
i mi ~
P
P
M~vCM = i mi ~vi = i ~pi
P
1
~aCM = M
ai
i mi~
P
P ~
P~
M~aCM =
mi~ai =
Fi =
Fest
xCM =
1.2 Moto dei proiettili
(
x(t) = vi cos θ t
y(t) = vi sin θ t − 12 gt2
v 2 sin2 θ
hmax = i
2g
vi2 sin 2θ
xmax =
g
i
4 Corpi in rotazione
1.3 Moto curvilineo
4.1 Variabili lineari e angolari
~a = ~atang + ~acent
atang =
acent =
i
d|v|
dt
v2
r
ω = rv
α = ratang
acent = v 2 /r = ω 2 r
1.4 Attrito
fs ≤ µs |~n|
fk = µk |~n| (diretto in verso opposto alla velocità)
4.2 Momento d’inerzia
Z
I=
ZZ
2
r (m) dm =
r2 (x, y)σ(x, y) dx dy
2 Energia
Th. assi paralleli I = ICM + M D2
lavoro prodottoZ da una forza costante W = Fx ∆x
xf
variabile W =
Fx dx
Zxi
~ · d~r
F
vettoriale W =
4.2.1
guscio cilindrico ICM = M R2
cilindro ICM = 21 M R2
cilindro cavo ICM = 12 M (R12 + R22 )
C
Wmolla = 12 k(x2i − x2f )
piastra rettangolare ICM =
E. cinetica Ek = 21 mv 2
E. pot. gravitazionale Ug = mgh
E. pot. elastica Uel = 12 kx2
E. meccanica Emecc = Ek +
~ · ~v
P =F
Momenti d’inerzia notevoli
P
U
sbarretta ICM =
1
2
12 M (a
+ b2 )
1
2
12 M L
sbarretta con asse sull’estremo Iestr = 31 M L2
guscio sferico ICM = 23 M R2
sfera ICM = 52 M R2
3 Quantità di moto
4.3 Energia cinetica di rotazione
~p = m~v
Ek = 12 Iω 2
∆~p = ~I =
Z
tf
~ dt
F
Wtot = ∆Ek = 21 I(ωf2 − ωi2 )
ti
~I = F
~ media ∆t
3.1 Urti
conservazione della q. di moto ~pitot = ~pftot
4.4 Momento di forza
τ = F d = F ` sin φ
Z θf
W =
τ dθ
θi
dW
dt
perfettamente anelastico:
P =
= τω
~v1f = ~v2f
m1 ~v1i + m2 ~v2i
~vf =
m1 + m2
II legge di Newton
P
τ = Iα
pg
L
q
T = 2π Lg
4.5 Rotolamento
ω=
puro rotolamento vCM = rω
2
=
Ek =21 IP ω 2 = Etrasl + Erot = 21 ICM ω 2 + 12 M vCM
1 ICM
2
=
+ M vCM
2 R2
7 Campi elettrici
~ e = ke q1 q2 r̂12
F
r2
1
ke =
4π0
~ e = qE
~
F
Z
q2
1
~
E = ke r̂ = ke
dq r̂
2 (q)
r
r
I
~ · dA
~
flusso ΦE = E
I
qin
~ · dA
~ = qin
E=
Gauss
E
0
A0
4.6 Prodotto vettoriale
ı̂
̂
~ ×B
~ = det Ax
A
k̂
Ay
Az
Bz
Bx By
~
~
|A × B| = AB sin φ
~ × (B
~ + C)
~ =A
~ ×B
~ +A
~ ×C
~
propr. distributiva A
derivazione
d ~
dt (A
~ =
× B)
~
dA
dt
~ +A
~ ×
×B
~
dB
dt
4.7 Momento angolare
7.1 Campi elettrici di distribuzioni di carica comuni
~ = ~r × ~p
L
sferica (Q, a) E = ke rQ2 (r > a),
filiforme ∞ (λ) E = 2ke λr
~ = Iω
~)
(L
P
= Iα =
τ
L = Iω
dL
dt
piana ∞ (σ) E =
se non ci sono forze non cons.
P
se
Fest = 0
P
se
τ =0
Fg = G
rf
m1 m2
U (r) = −G
r
r
2GMT
vfuga =
RT
ri
m1 m2
G 2 dr = Gm1 m2
r
1
1
−
ri
rf
6 Moto oscillatorio
k
x(t) = −ω 2 x(t)
ax (t) = − m
q
k
pulsazione ω = m
x(t) = A cos(ωt + φ)
ẋ(t) = −Aω sin(ωt + φ)
ẍ(t) = −Aω 2 cos(ωt + φ)
periodo T = 2π
ω
Ek = 12 mA2 ω 2 sin2 (ωt + φ) = 12 kA2 sin2 (ωt + φ)
Uel = 12 kA2 cos2 (ωt + φ)
σ
20
Z B
∆U
~ · d~s
=−
E
q
A
~ = − ∂V
E
∂(x, y, z)
potenziale dovuto a una carica puntiforme V = Z
ke rq
dq
potenziale dovuto a una dist. di cariche V = ke
r(q)
Q
7.3 Condensatori
Q
∆V
piano (A, d) ∆V = Ed =
capacità C =
cilindrico (a, b, `) C =
√
Qd
0 A
`
2ke log b/a
C=
in parallelo Ctot = C1 + C2
C2
= 1 + C12
Ctot = CC11+C
2
Z QC1
q
Q2
lavoro W =
dq =
2C
0 C
Q2
energia elettrica UC = 2C = 12 Q∆V = 12 C∆V 2
1
Ctot
densità di energia uE = 21 0 E 2
con dielettrico C = κC0
7.4 Corrente e resistenza
dQ
[A] = [C/s]
dt
densità di corrente J =
I=
I
A
= σE = σ ∆V
`
conducibilità dei materiali ohmici σ =
`
legge di Ohm ∆V = σA
I = RI
6.1 Pendolo semplice
resistività % = σ −1
= − Lg sin θ ≈ − Lg θ (θ < 10◦ )
θ(t) = θmax cos(ωt + φ)
0 A
d
ab
ke (b−a)
v(x) = ±ω A2 − x2
d2 θ
dt2
= 2ke λr (r > a)
∆V =
in serie
α(θ) =
%a2
2π0 r
7.2 Potenziale elettrico
sferico (a, b) C =
E = 21 kA2
(r < a),
se non ci sono scambi energetici
5 Gravitazione universale
∆U = −Lg = −
2%
0 r
cilindrica ∞ (%, a) E =
sistema isolato:
Ei = Ef
Ei
f
mecc = Emecc
~pi = ~pf
~
~f
Li = L
m1 m2
r2
MT
g(h) = G
2
(RT + h)
Z
ke aQ3 r (r < a)
J
E
R = % A`
resistività e temperatura %(T ) = %0 [1 + α(T − T0 )]
potenza P = I∆V = I 2 R =
∆V 2
R
Kirchhoff I
Kirchhoff II
P
nodo
I
I=0
P
maglia
~ · dA
~ =0
B
legge di Gauss
∆V = 0
flusso attraverso una spira rettangolare (a, b) ΦB = B(ab) cos θ
7.5 Circuito RC
8.4 Correnti indotte
VC (t) = − RI(t) = (1 − e−t/RC )
dΦB
dt
f.e.m. nei circuiti in moto I∆V = E` = B`v
~ · d~s = − dΦB
legge di Faraday generale E
dt
Uel (t) = 12 CVC (t)2
8.5 Induttanze e circuiti RL
carica:
q(t) = Q(1 − e
I(t) =
−t/RC
) = C(1 − e
−t/RC
legge di Faraday = −
)
−t/RC
Re
scarica:
q(t) = Qe−t/RC
f.e.m. autoindotta L = −L dI
dt
Q −t/RC
e Z
I(t) = − RC
induttanza L =
Wjoule (t) = −R
N ΦB
I
[H] = [V · s/A]
2
induttanza di un solenoide L = µ0 N` A
Q −2t/RC
I 2 (t) dt =
e
2C
accensione I(t) =
V
R (1
− e−t/τ )
L
R
V −t/τ
Re
costante di tempo τ =
8 Campi magnetici
spegnimento I(t) =
= Ii e−t/τ
energia di un induttore UL = 12 LI 2
~ B = q~v × B
~
F
densità di energia per volume uB =
~ = qE
~ + q~v × B
~
Forza di Lorentz F
corrente di cariche in campo magn.:
~ B = (q~vd × B)nAL
~
~ ×B
~
F
= IL
Z b
~ B = I d~s × B
~
F
UL
V
=
9 Costanti fondamentali
[m s−1 ]
c = 299 792 458
a
G = 6.67428
10−11
[m3 kg−1 s−2 ]
8.1 Moto di una carica in campo magn. uniforme
µ0 = 1.256637061
10−6
[N A−2 ]
moto circolare uniforme:
0 = 8.854187817
10−12
[F m−1 ]
qe = 1.602176487
10−19
[C]
eV = 1.602176487
−19
[J]
mv
qB
= vr = qB
m
2πm
= 2πr
=
v
qB
r=
ω
T
B2
2µ0
10
g = 9.80556
[m s−2 ]
10 Integrali
8.2 Spire
Z
momento di una spira rett. (a, b) τmax = IabB = IAB
~ ×B
~ =µ
~
~ = IA
~ ×B
τ
Z
~ [A · m2 ]
~ = IA
momento magnetico µ
~
~ bob = N I A
momento di una bobina µ
Z
~
energia di un dipolo in un campo magn. Umagn = −~
µ·B
8.3 Sorgenti di campo magnetico
µ0 I
2πr
(r ≥ R),
N
campo in un solenoide (N,
Z `, I) B = µ0 ` I
~ · dA
~
flusso magnetico ΦB = B
Z
Z
µ0 I
2πR2 r
xn+1
n+1
dx
= log x
x
dx
= arctan x
1 + x2
dx
√
= arcsin x
1 − x2
p
x
√
dx = x2 ± a2
x2 ± a2
log(ax) dx = x(log ax − 1)
~ = µ0 I d~s × r̂
legge di Biot–Savart dB
4π
r2
Z
µ0 I
d~s × r̂
~
B=
4π
r2
0I
campo al centro di una spira (a, I) B = µ2a
FB
µ0 I1 I2
fili percorsi da corrente (I1 , I2 , a, `)
=
`
2πa
I
~
legge di Ampère
B · d~s = µ0 I
campo di un filo (R, r, I) B =
Z
xn dx =
Z
Z
Z
Z
(r < R)
x sin 2x
−
2
4
x sin 2x
2
cos x dx = +
2
4
dx
= − cot x
sin2 x
dx
= tan x
cos2 x
sin2 x dx =
Z
Z
F (x)g(x) dx = F (x)G(x) −
f (x)G(x) dx
