Trasformata di Fourier. - Università degli studi di Trieste

Metodi Matematici per l'Ingegneria
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A.A. 2003/2004 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI Dl TRIESTE
CORSI Dl LAUREA TRIENNALE IN: Ingegneria Gestionale, Elettrica, Elettronica, Informatica, delle
Telecomunicazioni, dell'Automazione.
PROGRAMMA DEL CORSO Dl: Metodi Matematici per l'Ingegneria (6 CFU).
DOCENTE: Giorgio TONDO
Esponenziale complessa
Richiami sulle varie rappresentazioni dei numeri complessi e sulle operazioni tra essi. Formula di Eulero. Esponenziale
complessa, potenze e radici di numeri complessi. Seni e coseni, circolari e iperbolici, di numeri complessi e loro legami.
Serie di Fourier
Funzioni di variabile reale a valori reali e complessi. Funzioni periodiche, lunghezza d'onda, frequenza e frequenza
angolare. Armoniche elementari espresse in forma cartesiana, trigonometrica ed esponenziale e loro legami. Energia di
un’armonica. Polinomi di Fourier e loro rappresentazioni. Energia di un polinomio di Fourier. Polinomio di Fourier di un
segnale periodico. Serie di Fourier. Convergenza nel senso dell'energia. Identità di Parseval. Convergenza puntuale e
convergenza uniforme. Segnali continui a tratti. Segnali regolarizzati. Segnale con derivata prima continua a tratti.
Applicazioni alla serie di Fourier: onda triangolare, onda quadra, dente di sega. Operazioni sulle serie di Fourier:
traslazioni, riscalamento, amplificazione. Il fenomeno di Gibbs.
Funzioni analitiche
Funzioni di variabile complessa. Limiti, continuità e derivate. Analiticità e condizioni di Cauchy-Riemann. Regole di
derivazione. Integrali di linea in campo complesso. Formule integrali di Cauchy (senza dimostrazione). Esistenza delle
derivate di ogni ordine per le funzioni analitiche. Successioni e serie nel campo complesso. Serie di potenze e raggio di
convergenza. Serie di Taylor. Dimostrazione della formula di Eulero. Serie di Laurent. Singolarità isolate al finito e loro
classificazione: eliminabili, polari, essenziali. Zeri di una funzione analitica. Singolarità non isolate.
Teoria dei residui
Residui al finito. Teorema dei residui e calcolo dei residui per poli di ogni ordine. Scomposizione in fratti semplici di
funzioni razionali con il metodo dei residui: poli semplici, poli multipli, poli semplici complessi coniugati. Calcolo di
integrali di linea con il metodo dei residui. Richiami sugli integrali impropri. Valor principale di Cauchy. Integrali
impropri di funzioni razionali lungo l'asse reale e lungo cammini paralleli all'asse immaginario con il metodo dei residui.
Lemma di Jordan (2 versioni): cenno alla dimostrazione e sue applicazioni.
Cenni alle distribuzioni.
Funzione di Heaviside (gradino) e funzione porta. Fenomeni impulsivi e delta di Dirac. Distribuzioni come funzionali
lineari. Limiti e derivate nel senso delle distribuzioni. Regole per il calcolo grafico delle derivate distribuzionali.
Proprietà della delta di Dirac: derivata, parità, riscalamento, prodotto per una funzione. Prodotto di convoluzione e sue
proprietà.
Trasformata di Fourier.
Trasformata di Fourier di funzioni e di distribuzioni. Esempi: porta, delta, campana razionale. Antitrasformata di Fourier.
Proprietà della trasformata di Fourier . Linearità, traslazione nel tempo e in frequenza, riscalamento, derivata nel tempo e
in frequenza, simmetria, coniugazione, realtà e parità, realtà e disparità, convoluzione, prodotto. Trasformata di Fourier
del gradino unitario, della rampa, di segnali lineari a tratti. Trasformate di seni e coseni. Equazioni in ambito
distribuzionale. Treno d’impulsi e sua trasformata di Fourier. Trasformata di Fourier di segnali periodici. Legami tra
serie e trasformata di Fourier per funzioni periodiche. Trasformate di Fourier dell’onda triangolare, del dente di sega,
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dell’onda quadra.
Trasformata di Laplace.
Trasformata di Laplace bilatera per funzioni e distribuzioni. Dominio della trasformata di Laplace e ascissa di
convergenza. Proprietà della trasformata di Laplace. Linearità, traslazione nel tempo, traslazione rispetto a s,
riscalamento, derivata nel tempo, derivata rispetto a s, coniugazione, realtà e Hermitianeità, convoluzione. Esempi: porta,
gradino, delta di Dirac, gaussiana. Legami tra la trasformata di Fourier e la trasformata di Laplace bilatera.
Antitrasformata di Laplace. Calcolo delle antitrasformate di funzioni razionali con poli semplici, multipli, semplici e
complessi coniugati (eventualmente moltiplicate per esponenziali complessi)
Trasformata unilatera di Laplace e proprietà di derivazione in t. Trasformate di Laplace unilatera di esponenziali
complessi e di segnali cisoidali. Trasformata di Laplace di segnali periodici per t >=0. Esempio: segnale triangolare.
Uso della trasformata di Laplace nei modelli differenziali lineari a coefficienti costanti. Funzione di trasferimento,
risposta all'impulso e risposta forzata con condizioni iniziali nulle.
Avvertenze:
Gli studenti del corso di laurea Ingegneria Elettronica, curriculum B-Biomedica, possono sostenere un esame ridotto
valevole 3 CFU. Per tale esame, il programma consiste dei primi quattro argomenti:
Esponenziale complessa, serie di Fourier, funzioni analitiche, teoria dei residui.
Testi seguiti:
M. Codegone, Metodi Matematici per l'Ingegneria, Zanichelli Editore, Bologna, 1995.
M. Codegone, M. Calanchi, Metodi Matematici per l'Ingegneria: esercizi, Pitagora Editrice, Bologna, 1999.
Testi d’approfondimento:
G.C. Barozzi, Matematica per l'Ingegneria dell'Informazione, Zanichelli Editore, Bologna, 2001.
E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics 8th edition, Wiley, New York, 1999.
E. Butkov, Mathematical Physics, Addison-Wesley, Reading, 1968.
Prerequisiti: Precorso di Matematica, Algebra lineare, Analisi I.
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