Programma del Corso - Dipartimento di Matematica e Informatica

Università degli Studi di Trieste
Facoltà di Ingegneria
A.A. 2007/2008
CORSI DI LAUREA TRIENNALE IN:
Ingegneria Industriale (curriculum automazione, curriculum elettrica)
Ingegneria Elettronica (curriculum biomedica, curriculum controlli automatici, curriculum elettronica, curriculum gestionale, curriculum telecomunicazioni)
Ingegneria Informatica
CORSI DI LAUREA MAGISTRALE IN:
Ingegneria Navale
PROGRAMMA DEL CORSO: Metodi Matematici per l’Ingegneria
DOCENTE DEL CORSO: ANNA SCARAMUZZA
Esponenziale complessa
Introduzione dei numeri complessi. Rappresentazione di un numero complesso e operazioni tra di
loro. Formula di Eulero. Esponenziale complessa, potenze e radici di numeri complessi. Seni e coseni
circolari e iperbolici di numeri complessi e loro legami.
Serie di Fourier
Funzioni di variabile reale a valori reali e complessi. Funzioni periodiche, lunghezza d’onda, frequenza e frequenza angolare. Armoniche elementari espresse in forma cartesiana, trigonometrica ed
esponenziale e loro legami. Energia di un’armonica. Polinomi di Fourier e loro rappresentazioni.
Energia di un polinomio di Fourier. Polinomio di Fourier di un segnale periodico. Serie di Fourier.
Convergenza nel senso dell’energia. Identità di Parseval. Convergenza puntuale e convergenza uniforme. Segnali continui a tratti. Segnali regolarizzati. Segnale con derivata prima continua a tratti.
Applicazioni alla serie di Fourier: onda triangolare, onda quadra, dente di sega. Operazioni sulle serie
di Fourier: traslazioni, riscalamento, amplificazione. Il fenomeno di Gibbs.
Funzioni analitiche
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Funzioni di variabile complessa. Limiti, continuità e derivate. Analiticità e condizioni di CauchyRiemann. Regole di derivazione. Integrali di linea in campo complesso. Formule integrali di Cauchy.
Esistenza delle derivate di ogni ordine per le funzioni analitiche. Successioni e serie nel campo complesso. Serie di potenze e raggio di convergenza. Serie di Taylor. Dimostrazione della formula di
Eulero. Serie di Laurent. Singolarità isolate al finito e loro classificazione: eliminabili, polari, essenziali. Zeri di una funzione analitica. Singolarità non isolate.
Teoria dei residui
Residui al finito. Teorema dei residui e calcolo dei residui per poli di ogni ordine. Scomposizione
in fratti semplici di funzioni razionali con il metodo dei residui: poli semplici, poli multipli, poli
semplici complessi coniugati. Calcolo di integrali di linea con il metodo dei residui. Richiami sugli
integrali impropri. Valor principale di Cauchy. Integrali impropri di funzioni razionali lungo l’asse
reale e lungo cammini paralleli all’asse immaginario con il metodo dei residui. Lemma di Jordan (2
versioni).
Cenni alle distribuzioni
Funzione di Heaviside (gradino) e funzione porta. Fenomeni impulsivi e delta di Dirac. Distribuzioni
come funzionali lineari. Limiti e derivate nel senso delle distribuzioni. Regole per il calcolo grafico
delle derivate distribuzionali. Proprietà della delta di Dirac: derivata, parità, riscalamento, prodotto per
una funzione. Prodotto di convoluzione e sue proprietà.
Trasformata di Fourier
Trasformata di Fourier di funzioni e di distribuzioni. Esempi: porta, delta, campana razionale. Antitrasformata di Fourier. Proprietà della trasformata di Fourier . Linearità, traslazione nel tempo e in
frequenza, riscalamento, derivata nel tempo e in frequenza, simmetria, coniugazione, realtà e parità,
realtà e disparità, convoluzione, prodotto. Trasformata di Fourier del gradino unitario, della rampa,
di segnali lineari a tratti. Trasformate di seni e coseni. Equazioni in ambito distribuzionale. Treno
dimpulsi e sua trasformata di Fourier. Trasformata di Fourier di segnali periodici. Legami tra serie e
trasformata di Fourier per funzioni periodiche. Trasformate di Fourier dellonda triangolare, del dente
di sega, dellonda quadra.
Trasformata di Laplace
Trasformata di Laplace bilatera per funzioni e distribuzioni. Dominio della trasformata di Laplace
e ascissa di convergenza. Proprietà della trasformata di Laplace. Linearità, traslazione nel tempo,
traslazione rispetto a s, riscalamento, derivata nel tempo, derivata rispetto a s, coniugazione, realtà e
Hermitianeità, convoluzione. Esempi: porta, gradino, delta di Dirac, gaussiana. Legami tra la trasformata di Fourier e la trasformata di Laplace bilatera. Antitrasformata di Laplace. Calcolo delle anti2
trasformate di funzioni razionali con poli semplici, multipli, semplici e complessi coniugati (eventualmente moltiplicate per esponenziali complessi).
Trasformata unilatera di Laplace e proprietà di derivazione in t. Trasformate di Laplace unilatera
di esponenziali complessi e di segnali cisoidali.
Uso della trasformata di Laplace nei modelli differenziali lineari a coefficienti costanti. Funzione
di trasferimento, risposta all’impulso e risposta forzata con condizioni iniziali nulle.
Testi seguiti:
M. Codegone, Metodi Matematici per l’Ingegneria, Zanichelli Editore, Bologna, 1995.
M. Codegone, M. Calanchi, Metodi Matematici per l’Ingegneria: esercizi, Pitagora Editrice, Bologna,
1999.
Prerequisiti: Precorso di Matematica, Algebra lineare, Analisi I.
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