LeggediMoore:lavelocitàdeicalcolatoriraddoppiaogni18mesi;oggiesistonocalcolatoriconvelocitàdi
calcolomisurateinToperazioni/s(1012operazionialsecondo).
FFTFastFourierTransform
Lalimitatamemoriadisponibileneicalcolatorielettronicidell'epoca,nonchélabassavelocitàdicalcolo,ha
indotto nel 1967 due matematici dell'IBM, Cooley e Tukey, ad ideare un algoritmo che permettesse di
calcolare, malgrado le limitazioni di cui sopra, la trasformata di Fourier di funzioni definite mediante un
numerononlimitatissimodipunti.
Dopoilcampionamentodiunsegnaleanalogicodimisuraconfrequenzafc=1/∆tsiottengonoNvaloridella
funzioneintervallatideltempo∆tperuntempototaleT=N∆t;suquestiNvaloripuòessereeseguitoilcalcolo
dellaseriediFourier,che,rispettoalcalcoloriferitoadunafunzionecontinuaperiodicaconperiodoTs:
Sitrasformacomesegue:iltempoassumesoloivaloridiscreti:
Lapulsazionedellaarmonicafondamentale1ω1vale: ilprodotto
e quindi l'espressione della trasformata di Fourier per
unafunzionerealecampionata(DiscreteFourierTransform)diviene:
1
Si ricordi che mentre la armonica fondamentale di una funzione è definita dal periodo della funzione stessa, la
armonicafondamentalediunafunzionecampionataèdefinitadaltempototaledicampionamentofacendoinsorgere
lapresenzadiarmoniche"fittizie"aventiampiezzanullasevengonocampionatipuntiperuntempomultiplointerodel
periododellafunzioneoproblemidileakageseiltempototaledicampionamentononèmultiplointerodelperiodo
dellafunzione.
CooleyeTukeyconstataronocheseNèunapotenzadi2,N=2n,possonoessererisparmiatimolticalcoliin
quantogliargomentidisenoecoseno,cheteoricamenteavrebberonumerositàN2,sonoineffettisologliN
calcolatipergliargomenti:
equindibastavacalcolareisolisen(1*2π/N)ecos(1*2π/N)eotteneresuccessivamentetuttiglialtrivalori
necessaridiseniecoseniutilizzandoleformuletrigonometriche:
Occorrevano cioè solo 4 moltiplicazioni e due somme invece che i più lunghi calcoli delle funzioni seno e
coseno.
Idearonoinoltreunasuccessionefacilmenteprogrammabiledelleoperazionidicalcolochepermettevadi
•
•
Utilizzare la coppia di valori di seno e coseno appena calcolati per tutte le operazioni nelle quali
servivanosenzaquindilanecessitàdimemorizzarliodidoverliricalcolare,
Memorizzareirisultatiintermedialpostodeidatidipartenzasenzadoverutilizzareulterioriposizioni
dimemoria.
Ilrisultatofinaleeraquindidi:
•
•
Ridurrealminimolospaziodimemorianecessario=>possibilitàdicalcolarelatrasformatadiFourier
di funzioni campionate con un numero elevato di punti malgrado la limitatezza delle memorie
disponibili
Ridurrealminimoleoperazioninecessarie=>ilnumerodioperazioniinvecediessereproporzionale
adN2eraproporzionaleadN=>velocizzazionedelprocessoancheconNelevatigrazieaquestedue
caratteristichechiamaronol'algoritmosviluppatoFastFourierTransform.
