200563/01 A.A. 2001/2002 UNIVERSITA` DEGLI STUDI DI TRIESTE

200563/01
A.A. 2001/2002
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI TRIESTE
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CORSO DI LAUREA IN
Ingegneria Gestionale, Elettrica, Elettronica,
Informatica, delle Telecomunicazioni
PROGRAMMA DEL CORSO DI
METODI MATEMATICI PER
L’INGEGNERIA
DOCENTE
Prof. Giorgio TONDO
Esponenziale complessa
Richiami sulle varie rappresentazioni dei numeri complessi e sulle operazioni tra essi. Formula di
Eulero. Esponenziale complessa, potenze e radici di numeri complessi. Seni e coseni, circolari e
iperbolici, di numeri complessi e loro legami. Logaritmo complesso.
Serie di Fourier
Funzioni di variabile reale a valori reali e complessi. Funzioni periodiche, lunghezza d'onda,
frequenza e frequenza angolare. Armoniche elementari espresse in forma cartesiana, trigonometrica
ed esponenziale e loro legami. Energia di un’armonica. Polinomi di Fourier e loro rappresentazioni.
Energia di un polinomio di Fourier. Polinomio di Fourier di un segnale periodico. Serie di Fourier.
Convergenza nel senso dell'energia. Identità di Parseval. Convergenza puntuale e convergenza
uniforme. Segnali continui a tratti. Segnali regolarizzati. Segnale con derivata prima continua a
tratti. Applicazioni alla serie di Fourier: onda triangolare, onda quadra, dente di sega. Operazioni
sulle serie di Fourier: traslazioni, riscalamento, amplificazione.
Funzioni analitiche
Funzioni di variabile complessa. Limiti, continuità e derivate. Analiticità e condizioni di CauchyRiemann. Regole di derivazione. Integrali di linea in campo complesso. Formule integrali di
Cauchy (senza dimostrazione). Esistenza delle derivate di ogni ordine per le funzioni analitiche.
Successioni e serie nel campo complesso. Serie di potenze e raggio di convergenza. Serie di Taylor.
Dimostrazione della formula di Eulero. Serie di Laurent. Singolarità isolate al finito e loro
classificazione: eliminabili, polari, essenziali. Zeri di una funzione analitica. Singolarità non isolate.
Teoria dei residui
Residui al finito. Teorema dei residui e calcolo dei residui per poli di ogni ordine. Scomposizione in
fratti semplici di funzioni razionali con il metodo dei residui: poli semplici, poli multipli, poli
semplici complessi coniugati. Calcolo di integrali di linea con il metodo dei residui. Richiami sugli
integrali impropri. Valor principale di Cauchy. Integrali impropri di funzioni razionali lungo l'asse
reale e lungo cammini paralleli all'asse immaginario con il metodo dei residui. Lemma di Jordan:
cenno alla dimostrazione e sue applicazioni.
Cenni alle distribuzioni.
Funzione di Heaviside (gradino) e funzione porta. Fenomeni impulsivi e delta di Dirac.
Distribuzioni come funzionali lineari. Limiti e derivate nel senso delle distribuzioni. Regole per il
calcolo grafico delle derivate distribuzionali. Proprietà della delta di Dirac: derivata, parità,
riscalamento, prodotto per una funzione. Prodotto di convoluzione e sue proprietà.
Trasformata di Fourier.
Trasformata di Fourier di funzioni e di distribuzioni. Esempi: porta, delta, campana razionale.
Antitrasformata di Fourier. Proprietà della trasformata di Fourier . Linearità, traslazione nel tempo e
in frequenza, riscalamento, derivata nel tempo e in frequenza, simmetria, coniugazione, realtà e
parità, realtà e disparità, convoluzione, prodotto. Trasformata di Fourier del gradino unitario, della
rampa, di segnali lineari a tratti. Trasformate di seni e coseni. Equazioni in ambito distribuzionale.
Treno d’impulsi e sua trasformata di Fourier. Trasformata di Fourier di segnali periodici. Legami tra
serie e trasformata di Fourier per funzioni periodiche. Trasformate di Fourier dell’onda triangolare,
del dente di sega, dell’onda quadra. Il fenomeno di Gibbs.
Trasformata di Laplace.
Trasformata di Laplace bilatera per funzioni e distribuzioni. Dominio della trasformata di Laplace e
ascissa di convergenza. Proprietà della trasformata di Laplace. Linearità, traslazione nel tempo,
traslazione rispetto a s, riscalamento, derivata nel tempo, derivata rispetto a s, coniugazione, realtà e
Hermitianeità, convoluzione. Esempi: porta, gradino, delta di Dirac, gaussiana. Legami tra la
trasformata di Fourier e la trasformata di Laplace bilatera. Antitrasformata di Laplace. Calcolo delle
antitrasformate di funzioni razionali con poli semplici, multipli, semplici e complessi coniugati
(eventualmente moltiplicate per esponenziali complessi)
Trasformata unilatera di Laplace e proprietà di derivazione in t. Trasformate di Laplace unilatera di
esponenziali complessi e di segnali cisoidali. Trasformata di Laplace di segnali periodici per t >=0.
Esempio: segnale triangolare.
Uso della trasformata di Laplace nei modelli differenziali. Risposta all'impulso e risposta forzata
con condizioni iniziali nulle. Risposta forzata con condizioni iniziali non nulle.
Testi seguiti:
M. Codegone, Metodi Matematici per l'Ingegneria, Zanichelli Editore, Bologna, 1995.
M. Codegone, M. Calanchi, Metodi Matematici per l'Ingegneria: esercizi, Pitagora Editrice,
Bologna, 1999.
Testi d’approfondimento:
G.C. Barozzi, Matematica per l'Ingegneria dell'Informazione, Zanichelli Editore, Bologna, 2001.
E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics 8th edition, Wiley, New York, 1999.
E. Butkov, Mathematical Physics, Addison-Wesley, Reading, 1968.
Prerequisiti: Precorso di Matematica, Algebra lineare, Analisi I.