Dott. R. Monte: Esercizi consigliati
per la preparazione della prova scritta
del II canale del corso di Matematica Generale
(Prof. L. Accardi).
II gruppo: integrali indefiniti
Integrazione per parti:
Si desidera calcolare
Z
f (x) dx,
e si cerca di determinare due funzioni g (x) , h (x) tali che si possa scrivere
f (x) = g (x) h0 (x)
e tali che si sappia calcolare l’integrale
Z
g 0 (x) h (x) dx.
Quindi si applica la formula di integrazione per parti
Z
f (x) dx = g (x) h (x) −
Z
g 0 (x) h (x) dx.
Esercizi:
Calcolare gli integrali
Z
x exp (x) dx,
Z
2
x exp (x) dx,
Z
x3 exp (x) dx.
Determinare quindi una formula ricorsiva per il calcolo di
Z
xn exp (x) dx,
1
∀n ≥ 1.
Calcolare gli integrali
Z
Z
ln (x) dx,
Z
x ln (x) dx,
x2 ln (x) dx.
Determinare quindi una formula ricorsiva per il calcolo di
Z
xn ln (x) dx,
∀n ≥ 1.
Calcolare gli integrali
Z
Z
x cos (x) dx,
x2 cos (x) dx,
Z
x3 cos (x) dx.
Determinare quindi una formula ricorsiva per il calcolo di
Z
xn cos (x) dx,
∀n ≥ 1.
Calcolare gli integrali
Z
Z
x sin (x) dx,
x2 sin (x) dx,
Z
x3 sin (x) dx.
Determinare quindi una formula ricorsiva per il calcolo di
Z
xn sin (x) dx,
∀n ≥ 1.
Calcolare gli integrali
Z
Z
2
sin (x) dx,
cos2 (x) dx,
Calcolare gli integrali
Z
Z
x arctan (x) dx,
2
log (x + 1)
dx
x2
Integrazione per sostituzione:
Si desidera calcolare
Z
f (x) dx,
e si cerca di determinare due funzioni g (x) , h (x) tali che si possa scrivere
f (x) = g (h (x)) h0 (x)
e tali che si sappia calcolare l’integrale
Z
g (y) dy.
Quindi si applica la formula di integrazione per sostituzione
Z
f (x) dx =
Z
0
g (h (x)) h (x) dx =
Z
g (y) dy|y=h(x) .
Esercizi:
Calcolare gli integrali
Z
Z
Z
x exp x
2
Z
dx,
log (x)
dx,
x
Z
x log x2 dx,
Z
x cos x2 sin x2 dx,
x log (x2 + 1)
dx,
x2 + 1
Z
x arctan (x2 )
dx,
x4 + 1
Z
2
Z
exp x + log (x) dx,
3
x sin x2 dx.
Z
Z
x3
dx,
1 + x4
exp (arctan (x))
dx,
1 + x2
log (x2 exp (x))
dx,
x
