Il moto armonico

Moto armonico
Consideriamo ora il caso in cui l'accelerazione dipenda dalla posizione del punto materiale, in
particolare esamineremo il caso in cui l'accelerazione è proporzionale all'opposto della
posizione attraverso la costante ωp2. Cioè:
d2x
dt
2
= −ω 2p x
La costante ωp si chiama pulsazione angolare e le sue unità di misura sono s-1. Questa è
l'equazione differenziale del moto armonico.
Come appare dall'espressione precedente l'accelerazione è nulla nell'origine del sistema di
riferimento, x=0, è negativa per x>0 per cui tende a far diminuire la velocità del punto
materiale quando si muove nel verso positivo fissato sull'asse x, e far crescere il modulo della
velocità quando il punto materiale si muove nel verso negativo fissato sull'asse x. Parimenti
l'accelerazione è positiva per x<0 e quindi tende a far aumentare la velocità del punto
materiale che si muove nel verso positivo fissato sull'asse x, e far diminuire il valore assoluto
della velocità se il punto materiale si muove nel verso negativo fissato sull'asse x.
L'equazione differenziale precedente è un po' più complicata di quelle incontrate finora,
pertanto anziché introdurre in questo momento i metodi analitici per la determinazione della
sua soluzione, partiremo col ricordare che in analisi si dimostra che l'integrale generale di una
tale equazione differenziale, che è del secondo ordine, conterrà due costanti arbitrarie (ci
saranno infinito alla 2 soluzioni dell'equazione differenziale), mentre esisterà una ed una sola
soluzione dell'equazione differenziale che soddisfa anche il problema delle condizioni iniziali
(pertanto se noi riusciamo a trovare, in qualunque modo, una soluzione dell'equazione
differenziale che soddisfi anche il problema delle condizioni iniziali, questa è la soluzione
cercata).
Per ricercare una possibile soluzione dell'equazione differenziale precedente ricordiamo anche
che la derivata seconda della funzione senθ, o anche cosθ, è opposta alla funzione stessa.
Infatti:
d 2 senθ d  dsenθ  d( cosθ)
=
=
= −sen θ
dθ2
dθ  dθ 
dθ
d 2 cosθ d  d c o sθ  d( −sen θ)
d(senθ )
=
=
=
−
= − cosθ
2
dθ
dθ  dθ 
dθ
dθ
Si può dunque pensare di poter costruire la soluzione dell'equazione differenziale del moto
armonico utilizzando le funzioni seno e coseno.
Ricordiamo che la soluzione che stiamo cercando è la legge oraria, cioè una funzione del
tempo, x(t). Il tempo deve perciò comparire come argomento della funzione seno o coseno.
Occorre però fare attenzione: mentre sappiamo calcolare il seno o il coseno di un angolo, non
sappiamo invece calcolare il seno, o il coseno, di un tempo. Possiamo pensare di far
comparire il tempo come argomento del seno, o del coseno, dopo averlo moltiplicato per una
costante ω, in maniera che il prodotto di ω per il tempo, ωt, dia proprio un angolo. Perché
questo accada occorre che le dimensioni di ω siano radianti al secondo (rad/s). Il radiante, da
parte sua, non è una vera e propria unità di misura, ma piuttosto rappresenta un numero puro.
Le unità di misura di ω sono dunque s-1.
Se dunque si considerano le funzioni
x = a sen ωt
x = b cos ωt
in cui a e b sono delle costanti le cui dimensioni sono quelle di una lunghezza ([a]=[b]=[L]),
esse sono soluzioni dell'equazione differenziale del moto armonico se ω=ωp.
Infatti:
d 2 (a sen ωt ) d d(a sen ωt ) d
=
= (aω cos ωt ) = −ω 2 (a sen ωt )
2
dt
dt
dt
dt
d 2 (b cos ωt )
d d(b cos ωt ) d
= (bω sen ωt ) = −ω 2 (b cos ωt )
2
dt
dt
dt
dt
Abbiamo così ottenuto due soluzioni indipendenti (infatti le due soluzioni non possono essere
ottenute l'una dall'altra moltiplicandola per un fattore). Si può dunque pensare di ottenere
l'integrale generale come combinazione lineare delle due soluzioni:
=
x = a sen ωt + b cos ωt
in cui i parametri a e b sono le due costanti arbitrarie che vanno determinate in base alle
condizioni iniziali.
La soluzione precedente si può scrivere anche in modo diverso. Supponiamo di aver fissato i
parametri a e b che compaiono nell'espressione precedente: è sempre possibile
determinare due nuovi parametri A (costante positiva) e ϕo tali che:
a = − A sen ϕ o
b = A cos ϕ o
Infatti quadrando e sommando si ottiene
a 2 + b 2 = A 2 sen 2 ϕ o + A 2 cos2 ϕ o = A 2 (sen 2 ϕ o + cos 2 ϕ o )= A 2
e dividendo la prima per la seconda si ottiene:
a
= − tan ϕ o
b
Basterà infatti prendere
A = a 2 + b2
ϕ o = ar cot ang −
a
b
Con questi nuovi parametri l'integrale generale
x = − A sen ϕ o sen ωt + A cos ϕ o cos ωt
Che ricordando che cos(α + β ) = cos α cosβ − sen α sen β si può scrivere nella forma:
x = A cos(ωt + ϕ o )
che rappresenta l'integrale generale dell'equazione differenziale del moto armonico.
La costante positiva A si chiama ampiezza del moto armonico. Ricordando infatti che la
funzione coseno può assumere valori tra -1 e 1, allora si vede che la posizione del punto
materiale sull'asse x può assumere i valori tra -A e A.
La traiettoria coincide con il segmento, sull'asse x, di estremi [-A ,A.].
L'argomento del coseno, ωt+ϕo che è un angolo, si chiama fase; ϕo, invece, sarà la fase
iniziale, il valore della fase all'istante t = 0 s. La costante ω si chiama pulsazione angolare.
Dall'integrale generale possiamo immediatamente ricavare l'espressione della velocità:
dx
vx =
= − Aω sen(ωt + ϕ o )
dt
Anche la velocità è limitata e può assumere valori tra -Aω e Aω.
Verifichiamo innanzitutto che il moto armonico è un moto periodico. Si può vedere infatti che
il punto materiale ripassa per la stessa posizione con la stessa velocità ogni T secondi. T viene
chiamato periodo del moto armonico.
x( t + T) = x( t )
A cos(ω(t + T) + ϕ o )= A cos(ωt + ϕ o )
v x ( t + T) = v x ( t )
− Aω sen(ω(t + T) + ϕ o )= − Aω sen(ωt + ϕ o )
Le due eguaglianze precedenti risultano vere contemporaneamente se le fasi a primo e
secondo membro differiscono al minimo di 2π. Cioè:
[ω(t + T) + ϕ o ]− [ωt + ϕ o ]= 2π
Da cui si ottiene:
2π
ω
che ci fornisce la relazione tra il periodo e le pulsazione angolare del moto armonico.
ωT = 2π ⇒ T =
Tornando al termine fase, con cui abbiamo chiamato l'argomento della funzione coseno,
possiamo osservare che tale termine si usa anche nel linguaggio comune per indicare un
particolare stato di un sistema soggetto a un fenomeno ciclico. Particolarmente note sono le
fasi lunari. Le espressioni "luna nuova", "primo quarto", "luna piena" e "ultimo quarto" ci
permettono di specificare in quale parte del ciclo lunare ci troviamo.
Allo stesso modo la fase, in un moto armonico, ci permette di stabilire in quale parte del ciclo
si trova il punto materiale.
Così se la fase è uguale a 0°, il punto materiale si trova nel punto estremo della traiettoria sul
semiasse positivo, x=A. La velocità in questo caso è nulla.
Se la fase è uguale a 90° (π/2), la posizione del punto materiale coincide con l'origine del
sistema di riferimento, mentre la velocità è -ωA. Il punto materiale passa per l'origine mentre
si muove nel verso negativo dell'asse x.
Se la fase è 180° (π), il punto materiale si trova all'estremo della traiettoria sul semiasse
negativo, x=-A. La velocità è anche in questo caso nulla.
Quando la fase invece è uguale a 270° (3π/2) il punto materiale si trova ancora nell'origine del
sistema di riferimento ma questa volta si muove nel verso positivo fissato sull'asse x.
Ritornando all'integrale generale
x = A cos(ωt + ϕ o )
possiamo identificare le costanti A e ϕo con le due costanti che vanno determonate in base alle
condizioni iniziali; Supponiamo infatti che all'istante iniziale t=0 s la posizione iniziale sia xo
mentre la velocità iniziale sia vxo. Allora le costanti A e ϕo che permettono di risolvere il
problema delle condizioni iniziali si possono ottenere nel seguente modo:
x = A c o sωt
( + ϕo )
t = 0 ⇒ x o = A c o sϕ
( o)
v x = − ωAsen (ωt + ϕo ) t = 0 ⇒ v xo = −ωA s e nϕ
( o)
Se si divide la seconda equazione per ω, quadrando e sommando si ottiene:
A 2 cos2 (ϕ o ) + A2 sen 2 (ϕ o ) = x 2o +
v2xo
ω2
⇒
A = x 2o +
v 2xo
ω2
Mentre dividendo la seconda per la prima si ottiene:
tan ϕ o = −
v xo
ωx o
Supponiamo di far partire il punto materiale dalla posizione iniziale xo con velocità nulla.
Le espressioni precedenti ci forniscono:
A = x 2o
tan ϕ o = 0
Da cui risulta che A = xo e ϕo=0.
In alternativa si può usare il seguente procedimento: partendo dall'espressione della velocità si
ottiene:
v xo = −ωA s e nϕ
( o ) = 0 ⇒ sen(ϕ o ) = 0 ⇒ ϕ o = 0,π
Il fatto che l'ampiezza del moto armonico debba essere positiva ci costringe a scegliere la
soluzione ϕo=0, così il valore dell'ampiezza del moto armonico è proprio uguale alla posizione
iniziale xo.
x o = A c o sϕ
( o ) ⇒ ϕo = 0 ⇒ A = x o
La legge oraria, con queste condizioni iniziali, diventa:
x = A cos(ωt )
e la velocità in funzione del tempo sarà data da:
v x = −ωA sen(ωt )
0,15
0,1
(m)
0,05
x(t)
T
T/2
0
0
T/4
2
3T/4
4
t (s)
6
8
10
-0,05
-0,1
-0,15
.
0,2
0,15
v(t)
(m/s)
0,1
0,05
T/2
0
0
T/4
2
t (s)
T
3T/4
4
6
8
10
6
8
t (s) 10
-0,05
-0,1
-0,15
-0,2
0,3
0,2
0
-0,1
-0,2
-0,3
T
T/2
0
a(t)
(m/s2)
0,1
T/4
2
3T/4
4
Al tempo t=0, la fase è ωt=0, la posizione è x=A, la velocità è 0, mentre l'accelerazione è
negativa e pari a -ω2Α. Proprio a causa dell'accelerazione non nulla il punto
materiale si mette in moto nella direzione negativa dell'asse delle x, la velocità è
inizialmente negativa e il suo modulo va aumentando fino a che l'accelerazione
rimane negativa e cioè fino all'istante T/4.
All'istante T/4 la fase è π/2 (ωΤ/4 = (2π/Τ)Τ/4 = π/2), la posizione è x=0, la velocità è
sempre negativa, il suo modulo è massimo.
Dopo T/4 l'accelerazione cambia segno, diventa positiva, e quindi tende a far
diminuire il modulo della velocità fino a ridurla a zero, questo accade al tempo
T/2 quando la posizione è -A, la fase è π, la velocità nulla, l'accelerazione è
positiva e massima.
A questo punto il punto materiale comincia a muoversi nella direzione positiva dell'asse delle
x, e la sua velocità continua ad aumentare fino a quando l'accelerazione rimane positiva, cioè
fino la tempo 3T/4.
A tempo t=3T/4, la fase è 3π/2, il punto materiale si trova nell'origine del sistema di
riferimento x=0, muovendosi nel verso positivo dell'asse x con il valore massimo della
velocità.
Dopo l'istante 3T/4, l'accelerazione diventa negativa, la velocità viene ridotta fino a diventare
nulla all'istante T, quando il punto materiale si ritrova al punto di partenza ed il ciclo riparte.