Università degli Studi di Milano-Bicocca.
Laurea Magistrale in Scienze Statistiche ed Economiche
Corso di Matematica per l’Economia II M
(a.a. 2015-16)
Docente: Andrea Calogero ([email protected])
Pagina del corso http://www.matapp.unimib.it/~calogero/
6 CFU = 42 ore
Programma del corso
1. Il CONTROLLO OTTIMO con metodi variazionali.
a. Il problema più semplice di controllo ottimo
Definizioni di controllo ammissibile, insieme di controllo. dinamica, traiettorie. Importanza del caso della dinamica lineare.
Definizione di controllo ottimo e traiettoria ottima.
Il problema più semplice di controllo ottimo. Formulazione del problema più semplice di controllo ottimo. Il teorema di
Pontryagin come condizione necessaria di ottimalità: enunciato e sue conseguenze; controllo normali e abnormali; DIM
nel caso di regione ammissibile U=R, (DIM anche del lemma tecnico1).
Condizioni sufficienti di ottimalità: condizione di Mangasarian (DIM). La condizione sufficiente di ottimalità di Arrow.
Condizioni di transversalità per i problemi con punti iniziali/finali fissati.
Sui problemi di minimo.
I problemi di calcolo delle variazioni: il teorema di Eulero come caso particolare del teorema di Pontryagin (DIM):
l’equazione di Eulero in casi particolari (DIM).
Condizioni di transversalità per i problemi con punti iniziali/finali fissati.
Condizioni sufficienti per il problema più semplice usando concavità/convessità.
Curva di lunghezza minima
Soluzione del problema di strategia aziendale di produzione/vendita I (con metodo variazionale).
b. Problema più generali di controllo ottimo
Problemi di Mayer, di Bolza e Lagrange: cenni sulla loro equivalenza e sulle condizioni necessarie e sufficienti.
Problemi di Bolza a istante finale libero nel calcolo delle Variazioni: le condizioni necessarie. Modello di aggiustamento
della domanda di lavoro.
Problemi ad intervallo illimitato: condizioni necessarie e sufficienti di ottimalità. Modello di Ramsey
Problemi ad intervallo illimitato scontati: Hamiltoniana corrente e moltiplicatore corrente.
2. CONTROLLO OTTIMO con il metodo della Programmazione Dinamica.
Definizione della funzione valore.
La condizione (necessaria) finale sulla funzione valore (DIM). Il principio di ottimalità di Bellman (DIM). Le proprietà della
funzione valore: l’equazione di Bellmann-Hamlton-Jacobi (DIM). Condizioni sufficienti di ottimalità per il caso generale.
Sui problemi di minimo
Soluzione del problema di strategia aziendale di produzione/vendita II (con la programmazione dinamica)
Problemi autonomi, ad orizzonte illimitato, scontati: la funzione valore corrente. Un problema di consumo ottimo con utilità
HARA (con la programmazione dinamica). Cenni al modello di Merton.
Legami tra i metodi variazionali e la Programmazione Dinamica; interpretazione del moltiplicatore nel caso generale
3. Fondamenti di TEORIA DELLA MISURA e di PROCESSI STOCASTICI.
a. Elementi generali di teoria della probabilità.
-algebre, misure, integrale di Lebesgue
Numerabilità di insiemi; numerabilità di Q. Teorema di Cantor (DIM). Non numerabilità di R.
Algebra e sue proprietà. Algebra generata. Algebra E degli insiemi elementari di R.
-algebra e sue proprietà. -algebra generata, -algebra B di Borel. Atomi di una -algebra.
Misure e sue proprietà; misura di probabilità. Teorema di estensione di Caratheodory. Misure di Lebesgue-Stieltjes F della
funzione F; definizione, proprietà e casi particolari: misura di Bernoulli, misura di Dirac, misura di Lebesgue, misura di
Gauss. F è continua in x, allora F (x)=0.
Insieme di Cantor; costruzione e proprietà: Borel misurabile, di misura di Lebesgue nulla, non numerabile.
Funzioni misurabili. Funzioni semplici.
Integrale di Lebesgue; definizione e sue proprietà. Funzioni integrabili, spazio L1.
Confronto fra integrale di Riemann e integrale di Lebesgue: il caso della funzione di Dirichlet.
Relazione fra funzioni Riemann integrabili e Lebesgue integrabili.
Teoremi per gli integrali con misure di Lebesgue-Stieltjes F.
Variabili aleatorie
Variabili aleatorie X. (X) algebra generata da una v.a. Valore atteso di una v.a. X.
1
Si veda il Lemma 2.1 in [C1]
Probabilità di distribuzione di X, funzione di distribuzione di X, densità di X, loro relazioni e loro uso per il calcolo del v.a.
di X: calcolo di E(g(X)) con g misurabile. Momento e varianza di una v.a. Esempio di variabile aleatoria senza media.
Indipendenza.
Indipendenza di algebre, indipendenza di v.a: definizioni e condizioni necessarie e/o sufficienti per l’indipendenza di v.a.
Teorema del limite centrale.
b. Martingale e costruzione del moto Browniano.
Condizionamento.
Valore atteso condizionato: definizione, proprietà.
Filtrazione, processo stocastico, processo stocastico adattato. Martingala.
La passeggiata aleatoria
La costruzione della spazio di probabilità nello spazio degli infiniti lanci della moneta (TC,A,P) e della filtrazione associata
An (tutto con DIM). Ogni elemento di ΩTC ha misura nulla (DIM).
Processo stocastico Y=Yn ”T (Testa) o C (Croce) all’n-esimo lancio”: -algebra generata (Yn), misura e funzione di
distribuzione, media e varianza, indipendenza (tutto con DIM).
Processo stocastico M=Mn “passeggiata aleatoria”: la -algebra generata (Mn), Mn non è una filtrazione, M è adatto
alla filtrazione An, media, media degli incrementi, varianza degli incrementi, non indipendenza, indipendenza degli
incrementi, calcolo valore atteso condizionato E(Mn | An-1): tutto con (DIM). M martingala se e solo se è simmetrica.
Passeggiata aleatoria simmetrica scalata.
Moto Browniano: definizione e sua costruzione come limite della passeggiata aleatoria simmetrica scalata
Materiale didattico del corso
[C1]
[C2]
[SS]
[Ø]
[FR]
[S]
[E1]
[C3]
[C4]
A. Calogero “Notes on optimal control theory”, disponibile gratuitamente in rete.
A. Calogero “Breve introduzione alla teoria della misura”, disponibile gratuitamente in rete.
S. Salsa, A. Squillati “Modelli dinamici e controllo ottimo”, EGEA
B. Øksendal "Stochastic differential equations" Springer
W.H. Fleming, R.W. Rishel "Deterministic and stochastic optimal control" Springer.
E.S. Shreve, “Stochastic calculus for finance II” Springer
L.C. Evans “An introduction to mathematical optimal control theory”, disponibile gratuitamente in rete.
A. Calogero “Esercizi di Teoria della Misura”, disponibile gratuitamente in rete.
A. Calogero “Exercises of Dynamic Optimization”, disponibile gratuitamente in rete.
Per i punti 1 e 2 del programma si consiglia [C1]. Ulteriore materiale è [SS], [FR], [E1].
Per il punto 3. del programma si consiglia [C2]. Ulteriore materiale sono i capitoli 1, 2 e 3 in [S]; per approfondimenti si veda [Ø].
Del materiale didattico è disponibile in rete alla pagina del corso.
Modalità di esame
L’esame consiste in una prova scritta e un prova orale facoltativa (senza orale non si registrano voti superiori ai 27/30);
l’ammissione alla prova orale è a discrezione del docente.
L’ESAME SCRITTO (3 ore) consiste in una prova sui seguenti argomenti:
definizioni, teoremi, dimostrazioni (le dimostrazioni sono indicate con DIM) come da programma;
modelli Economici come da programma;
esercizi di controllo ottimo: con metodo variazionale e con la programmazione dinamica2;
esercizi su teoria della misura: calcolo di integrali, funzione caratteristica, attesa condizionata, martingale3.
Gli esercizi dell’esame scritto verranno scelti rigorosamente dalle due liste [C3] e [C4] presenti sulla pagina del corso e
secondo le indicazioni fornite sulla pagina del corso (si consiglia di verificare periodicamente le liste)
L’ESAME ORALE è un approfondimento dell’elaborato scritto.
2
3
Si veda la lista degli esercizi [C3] di controllo ottimo disponibile sulla pagina del corso.
Si veda la lista di esercizi [C4] teoria della misura disponibile sulla pagina del corso.
