Anno Accademico 2016-2017 Ingegneria Civile Ingegneria Gestionale Progetti e Infrastrutture Ingegneria per l’Ambiente e il Territorio Programma di Geometria e Algebra Prof. Maurizio Brunetti Spazi vettoriali sui numeri reali: definizione e proprietà elementari. Esempi: vettori geometrici nello spazio euclideo, spazi vettoriali numerici, spazio nullo, matrici con m righe e n colonne, polinomi a coefficienti reali. Combinazioni lineari, indipendenza lineare, generatori. Basi. Enunciato del teorema di caratterizzazione delle basi. Unicità delle componenti rispetto a una base. Teorema di completamento di una base. Lemma di Steinitz (senza dim.). Teorema di equipotenza delle basi. Dimensione. Sottospazi vettoriali: definizione e proprietà caratterizzanti. Dimensione di un sottospazio e sua relazione con dim V. Rango di una matrice. Determinante di una matrice quadrata: proprietà e calcolo tramite il primo teorema di Laplace.. Minori di una matrice e relazione con il rango. Enunciato del teorema degli orlati. Prodotto righe per colonne. Matrici invertibili. Unicità dell'inversa. Secondo teorema di Laplace. Teorema di Binet (senza dim.). A è invertibile se e solo se il suo determinante è non nullo (e conseguente calcolo dell'inversa). Nomenclatura relativa ai sistemi lineari. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi di Cramer. Metodo di risoluzione di un sistema compatibile tramite l'individuazione di un sistema normale equivalente e di «incognite principali». Applicazioni lineari. Nucleo e immagine. Matrici associate. dim Kerf + dim Imf = dim V (senza dim.). Endomorfismi: autovalori e loro determinazione tramite il polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e geometrica. Determinazione degli autospazi e diagonalizzabilità. Relazioni di equivalenza su un insieme. Classi di equivalenza. Vettori geometrici: definizione, somma, moltiplicazione per un numero reale. Geometria nel piano e nello spazio: riferimenti e coordinazione. Equazioni parametriche di una retta (e di un piano nello spazio). Parametri direttori. Equazioni cartesiane di rette e piani. Incidenza e parallelismo tra rette e/o tra piani nello spazio. Generica retta e generico piano per un punto. Riferimenti ortogonali e cartesiani. Prodotto scalare tra vettori geometrici. Versori. Coseni direttori. Angoli tra vettori o rette orientate. Distanza tra due punti, tra un punto e una retta, tra rette parallele, tra un punto e un piano. Direzione ortogonale a un piano. Prodotto vettoriale tra vettori geometrici. Bisettrici di rette incidenti. Ampliamento proiettivo e coordinazione omogenea. Coniche: classificazione. Punti semplici e punti doppi. Polarità e teorema di reciprocità. Determinazione grafica di una retta polare. Diametri, centro e assi. Disegno di una conica a punti reali. Coniche eventualmente prive di punti reali. Testi consigliati: M. Brunetti. Esercizi di Algebra lineare e geometria. 3° edizione, Edises, Napoli 2014. L. A. Lomonaco Geometria e Algebra. Vettori, equazioni e curve elementari. Aracne, Roma 2013.