Programma del Corso di Istituzioni di Matematiche I
Corso Prof. Fabio Podestà.
Proprietà dei numeri reali, classi contigue ed elementi separatori; sottoinsiemi limitati, maggioranti e minoranti, estremo
superiore ed inferiore. Intervalli, intorni di un punto, punti di accumulazione e punti interni per un sottoinsieme dei
numeri reali. Applicazioni tra insiemi, iniettività, surgettività, invertibilità. Funzioni di variabile reale a valori reali:
definizione di limite, proprietà fondamentali dei limiti (somma, prodotto, reciproco), teorema di permanenza del segno.
Funzioni continue, loro proprietà (somma, prodotto, reciproco, composizione). Teorema degli zeri; teorema di
Weierstrass (una funzione definita e continua su un intervallo chiuso e limitato è limitata; senza dim.). Punti di massimo
e minimo locali; teorema di esistenza di massimi e minimi per funzioni continue su intervalli chiusi e limitati.
Concetto di derivata e sua interpretazione geometrica; derivabilità implica continuità. Somma, prodotto, reciproco,
composizione di funzioni derivabili. Regole di calcolo della derivata. Il teorema di Fermat, il teorema di Rolle, il
teorema di Lagrange e suoi corollari: crescenza e decrescenza, una funzione derivabile in un intervallo aperto è costante
se solo se ha derivata nulla. I teoremi di De l’Hopital (senza dim.)
Funzioni infinitesime e “o piccoli”. Il teorema (e relativa formula) di Taylor.
Spazi vettoriali; vettori, somme e moltiplicazioni per scalari. Sottospazi vettoriali. Combinazioni lineari e spazi
generati. Concetto di insieme di vettori linearmente indipendenti; generatori e basi. Esistenza di basi e invarianza della
loro cardinalità (senza dim.) Applicazioni lineari: definizioni, nucleo, immagine, teorema di nullità più rango. Matrici e
matrici associate ad applicazioni lineari; caratteristica di una matrice e suo calcolo mediante il metodo di riduzione a
scala. Determinante di matrici quadrate e sue proprietà (senza dim.): sviluppo di Laplace. Sistemi lineari: definizione,
matrici associate e teoremi di Rouché-Capelli (esistenza di soluzioni e numero di parametri liberi). Geometria analitica:
norma di un vettore, prodotto scalare tra vettori e sua interpretazione geometrica; rette in forma cartesiana e
parametrica, piani nello spazio e loro posizioni reciproche (parallelismo, ortogonalità, perpendicolarità); rette sghembe.
Distanza tra due punti e di un punto da un piano; piano passante per tre punti non allineati. Fascio di piani contenenti
una data retta.
Autovalori, autovettori, autospazi, polinomio caratteristico, molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore.
Diagonalizzabilità di una applicazione lineare : definizione e teorema di diagonalizzabilità (senza dim.)
Testi consigliati:
G. Anichini, G. Conti Calcolo I Funzioni di una variabile, II Algebra lineare e geometria analitica
Pitagora editrice
M. Bertsch Istituzioni di Matematica Bollati Boringhieri
F. Podestà Appunti sulla diagonalizzazione (note distribuite durante il corso)
