P AB 0 ≥ PB 1 Ω = PAABPABPAB se AA ∪ = +

Università degli Studi di Basilicata – Facoltà di Economia
Corso di Laurea in Economia Aziendale - a.a. 2012/2013
lezioni di statistica del 6 e 9 maggio 2013
- di Massimo Cristallo -
Probabilità condizionata
Fino ad ora la valutazione della probabilità di un dato evento A è stata condotta
considerando Ω come lo spazio dei possibili eventi.
Supponiamo ora che a seguito di un aumento di informazione lo spazio Ω possa
ridursi ad un insieme B propriamente contenuto in Ω , cioè di essere interessati a
conoscere la probabilità che un evento A si verifichi dato che si conosce il risultato di un
altro evento B.
Si pone, allora, il problema di definire e valutare la probabilità dell’evento A
subordinata all’ipotesi che l’evento B si sia verificato, e non più, come prima, subordinata
all’ipotesi che qualunque evento dello spazio Ω possa verificarsi.
Dati due eventi A e B, la probabilità condizionata di A dato B, che si rappresenta con la
notazione P ( A B ) , è definita come:
P ( A B) =
P ( A ∩ B)
, posto P ( B ) > 0
P ( B)
(1)
e soddisfa i seguenti assiomi:
1. P ( A B ) ≥ 0
2. P ( Ω B ) = 1
3. P ( A 1 ∪ A 2 B ) = P ( A1 B ) + P ( A 2 B ) se A1 ∩ A 2 = ∅
Poiché la scelta degli eventi A e B è arbitraria, si può anche scrivere:
P(B A) =
P ( B ∩ A ) P ( A ∩ B)
=
, posto P ( A ) > 0
P(A)
P(A)
da cui si ricava la legge del prodotto o delle probabilità composte:
P ( A ∩ B) = P ( A ) ⋅ P ( B A )
(2)
secondo la quale la probabilità che si verifichino simultaneamente gli eventi A e B è data
dalla probabilità che si verifichi A moltiplicato la probabilità che si verifichi B supposto
che A si sia già verificato.
1
Esempio
Un’azienda stima che la probabilità di leggere un manifesto pubblicitario è pari a 0,6, e che se
questo viene letto la probabilità che il lettore acquisti il prodotto è pari a 0,05, e vuole determinare
la probabilità con la quale un soggetto legge il manifesto ed acquista il prodotto.
Soluzione
Indicando con A l’evento “lettura del manifesto” e con B l’evento “acquisto del prodotto”, risulta:
P ( A ) = 0, 6
P ( B A ) = 0, 05
da cui applicando la formula (1.8) si ottiene la probabilità ricercata:
P ( A ∩ B ) = 0, 6 ⋅ 0, 05 = 0, 03 .
Eventi indipendenti
Se esaminiamo ora due eventi A e B tali che il verificarsi di uno dei due non influisce il
verificarsi o il non verificarsi dell’altro, i due eventi si dicono indipendenti e si ha:
P ( A B) = P ( A )
(3)
cioè il sapere che l’evento B si sia verificato non influenza la probabilità del verificarsi
dell’evento A. Poiché l’indipendenza è una relazione simmetrica, si ha anche:
P ( B A ) = P ( B)
(4)
per cui, tenendo presente la definizione di probabilità condizionata, la legge delle
probabilità composte nel caso di due eventi A e B indipendenti diventa:
P ( A ∩ B) = P ( A ) ⋅ P ( B)
(5)
e costituisce la definizione formale di indipendenza; in altri termini se la probabilità
dell’intersezione di due eventi indipendenti A e B è ottenuta semplicemente moltiplicando
le corrispondenti probabilità, dette marginali, allora i due eventi A e B sono indipendenti. Se
ciò non accade, cioè se si ha:
P ( A ∩ B) ≠ P ( A ) ⋅ P ( B)
(6)
allora gli eventi A e B si dicono dipendenti.
Esempio
Il Dirigente di un’azienda stima che il 60% dei clienti utilizza la carta di credito per le operazioni di
acquisto, per cui vuole calcolare la probabilità che i due successivi clienti usino la carta di credito.
2
Soluzione
Sia A l’evento “il primo cliente utilizza la carta di credito” e B l’evento “il secondo cliente utilizza la
carta di credito”, e non disponendo di altre informazioni, è ragionevole assumere che i due eventi
sono indipendenti, per cui:
P ( A ) = 0, 6 P ( B ) = 0, 6
da cui consegue, applicando la formula (5), che la probabilità ricercata è:
P ( A ∩ B ) = 0, 6 ⋅ 0, 6 = 0, 36 .
Osservazioni
I) Si dimostra che se gli eventi A e B sono indipendenti, allora lo sono anche gli eventi
A e B , gli eventi A e B e gli eventi A e B , e di conseguenza la probabilità dell’unione dei
due eventi è ottenuta dal complemento a 1 del prodotto delle probabilità degli eventi
A e B:
P ( A ∪ B ) = 1 − P ( A ) ⋅P ( B )
(7)
essendo
P ( A ∪ B ) = 1 − P( A ∪ B )
e valendo le leggi di De Morgan.
II) E’ immediato dedurre che due eventi incompatibili A e B, le cui probabilità marginali
P ( A ) e P ( B ) sono entrambe positive, non possono essere indipendenti. Infatti, la
condizione di incompatibilità comporta che se uno dei due eventi si è verificato l’altro non
può verificarsi, cioè che le probabilità condizionate P ( A B ) e P ( B A ) sono uguali a zero,
per cui avendo posto:
P ( A ) > 0 e P ( B) > 0
non valgono certamente le relazioni di uguaglianza:
P ( A B) = P ( A ) e P ( B A ) = P ( B)
dunque è impossibile che vi sia indipendenza tra gli eventi A e B.
3
Generalizzazione della legge delle probabilità composte e della definizione di
indipendenza
Nel caso di più eventi A1 , A 2 , L , A n , la legge delle probabilità composte assume la forma:
P ( A1 ∩ A 2 ∩ L ∩ A n ) =
= P ( A 1 ) ⋅ P ( A 2 A 1 ) ⋅ P ( A 3 A 1 ∩ A 2 ) ⋅ K ⋅ P ( A n A 1 ∩ A 2 ∩ K ∩ A n −1 )
(8)
mentre la condizione necessaria e sufficiente affinché gli n eventi A1 , A 2 , L , A n siano
indipendenti è che risulti soddisfatta la seguente uguaglianza:
P ( A 1 ∩ A 2 ∩ K ∩ A n ) = P ( A1 ) ⋅ P ( A 2 ) ⋅K ⋅ P ( A n )
(9)
E’ il caso di precisare, infine, che se n eventi sono indipendenti, lo saranno anche le
tutte le possibili coppie degli n eventi, mentre non vale il contrario.
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