Università degli Studi di Basilicata – Facoltà di Economia Corso di Laurea in Economia Aziendale - a.a. 2012/2013 lezioni di statistica del 6 e 9 maggio 2013 - di Massimo Cristallo - Probabilità condizionata Fino ad ora la valutazione della probabilità di un dato evento A è stata condotta considerando Ω come lo spazio dei possibili eventi. Supponiamo ora che a seguito di un aumento di informazione lo spazio Ω possa ridursi ad un insieme B propriamente contenuto in Ω , cioè di essere interessati a conoscere la probabilità che un evento A si verifichi dato che si conosce il risultato di un altro evento B. Si pone, allora, il problema di definire e valutare la probabilità dell’evento A subordinata all’ipotesi che l’evento B si sia verificato, e non più, come prima, subordinata all’ipotesi che qualunque evento dello spazio Ω possa verificarsi. Dati due eventi A e B, la probabilità condizionata di A dato B, che si rappresenta con la notazione P ( A B ) , è definita come: P ( A B) = P ( A ∩ B) , posto P ( B ) > 0 P ( B) (1) e soddisfa i seguenti assiomi: 1. P ( A B ) ≥ 0 2. P ( Ω B ) = 1 3. P ( A 1 ∪ A 2 B ) = P ( A1 B ) + P ( A 2 B ) se A1 ∩ A 2 = ∅ Poiché la scelta degli eventi A e B è arbitraria, si può anche scrivere: P(B A) = P ( B ∩ A ) P ( A ∩ B) = , posto P ( A ) > 0 P(A) P(A) da cui si ricava la legge del prodotto o delle probabilità composte: P ( A ∩ B) = P ( A ) ⋅ P ( B A ) (2) secondo la quale la probabilità che si verifichino simultaneamente gli eventi A e B è data dalla probabilità che si verifichi A moltiplicato la probabilità che si verifichi B supposto che A si sia già verificato. 1 Esempio Un’azienda stima che la probabilità di leggere un manifesto pubblicitario è pari a 0,6, e che se questo viene letto la probabilità che il lettore acquisti il prodotto è pari a 0,05, e vuole determinare la probabilità con la quale un soggetto legge il manifesto ed acquista il prodotto. Soluzione Indicando con A l’evento “lettura del manifesto” e con B l’evento “acquisto del prodotto”, risulta: P ( A ) = 0, 6 P ( B A ) = 0, 05 da cui applicando la formula (1.8) si ottiene la probabilità ricercata: P ( A ∩ B ) = 0, 6 ⋅ 0, 05 = 0, 03 . Eventi indipendenti Se esaminiamo ora due eventi A e B tali che il verificarsi di uno dei due non influisce il verificarsi o il non verificarsi dell’altro, i due eventi si dicono indipendenti e si ha: P ( A B) = P ( A ) (3) cioè il sapere che l’evento B si sia verificato non influenza la probabilità del verificarsi dell’evento A. Poiché l’indipendenza è una relazione simmetrica, si ha anche: P ( B A ) = P ( B) (4) per cui, tenendo presente la definizione di probabilità condizionata, la legge delle probabilità composte nel caso di due eventi A e B indipendenti diventa: P ( A ∩ B) = P ( A ) ⋅ P ( B) (5) e costituisce la definizione formale di indipendenza; in altri termini se la probabilità dell’intersezione di due eventi indipendenti A e B è ottenuta semplicemente moltiplicando le corrispondenti probabilità, dette marginali, allora i due eventi A e B sono indipendenti. Se ciò non accade, cioè se si ha: P ( A ∩ B) ≠ P ( A ) ⋅ P ( B) (6) allora gli eventi A e B si dicono dipendenti. Esempio Il Dirigente di un’azienda stima che il 60% dei clienti utilizza la carta di credito per le operazioni di acquisto, per cui vuole calcolare la probabilità che i due successivi clienti usino la carta di credito. 2 Soluzione Sia A l’evento “il primo cliente utilizza la carta di credito” e B l’evento “il secondo cliente utilizza la carta di credito”, e non disponendo di altre informazioni, è ragionevole assumere che i due eventi sono indipendenti, per cui: P ( A ) = 0, 6 P ( B ) = 0, 6 da cui consegue, applicando la formula (5), che la probabilità ricercata è: P ( A ∩ B ) = 0, 6 ⋅ 0, 6 = 0, 36 . Osservazioni I) Si dimostra che se gli eventi A e B sono indipendenti, allora lo sono anche gli eventi A e B , gli eventi A e B e gli eventi A e B , e di conseguenza la probabilità dell’unione dei due eventi è ottenuta dal complemento a 1 del prodotto delle probabilità degli eventi A e B: P ( A ∪ B ) = 1 − P ( A ) ⋅P ( B ) (7) essendo P ( A ∪ B ) = 1 − P( A ∪ B ) e valendo le leggi di De Morgan. II) E’ immediato dedurre che due eventi incompatibili A e B, le cui probabilità marginali P ( A ) e P ( B ) sono entrambe positive, non possono essere indipendenti. Infatti, la condizione di incompatibilità comporta che se uno dei due eventi si è verificato l’altro non può verificarsi, cioè che le probabilità condizionate P ( A B ) e P ( B A ) sono uguali a zero, per cui avendo posto: P ( A ) > 0 e P ( B) > 0 non valgono certamente le relazioni di uguaglianza: P ( A B) = P ( A ) e P ( B A ) = P ( B) dunque è impossibile che vi sia indipendenza tra gli eventi A e B. 3 Generalizzazione della legge delle probabilità composte e della definizione di indipendenza Nel caso di più eventi A1 , A 2 , L , A n , la legge delle probabilità composte assume la forma: P ( A1 ∩ A 2 ∩ L ∩ A n ) = = P ( A 1 ) ⋅ P ( A 2 A 1 ) ⋅ P ( A 3 A 1 ∩ A 2 ) ⋅ K ⋅ P ( A n A 1 ∩ A 2 ∩ K ∩ A n −1 ) (8) mentre la condizione necessaria e sufficiente affinché gli n eventi A1 , A 2 , L , A n siano indipendenti è che risulti soddisfatta la seguente uguaglianza: P ( A 1 ∩ A 2 ∩ K ∩ A n ) = P ( A1 ) ⋅ P ( A 2 ) ⋅K ⋅ P ( A n ) (9) E’ il caso di precisare, infine, che se n eventi sono indipendenti, lo saranno anche le tutte le possibili coppie degli n eventi, mentre non vale il contrario. 4