La probabilità

La PROBABILITA’
è…
lo studio delle caratteristiche di
regolarità dei fenomeni casuali
Sono fenomeni casuali
• Il lancio di un dado
• L’estrazione di una pallina numerata da
un’urna
• Il lancio di una moneta
• Il diffondersi di un’epidemia
Un fenomeno complesso che si ripete più
volte può essere studiato come
aleatorio, dal latino “alea”
Il calcolo delle probabilità permette di
associare ad “eventi futuri” un modello
di tipo non deterministico, uno
strumento che rende razionale il
comportamento dell’uomo di fronte
all’incertezza: quando i fatti
osservabili non sono prevedibili e si
devono prendere decisioni in base ad
ipotesi riguardanti le modalità di eventi
futuri
E se gli eventi futuri ai quali sono
legate le nostre decisioni ..
• sono ripetibili, in condizioni che possiamo
ritenere uniformi, permette di fare previsioni
quantitative e di regolare il nostro comportamento
in modo da ottimizzare certe situazioni, che
possiamo rappresentare mediante opportune
“funzioni obiettivo” ( es lancio di un dado)
• NON sono ripetibili: serve a giustificare il nostro
comportamento e a controllarne eventualmente la
coerenza ( es: epidemie…)
Un modello si dice deterministico
• Se tutte le informazioni relative alla situazione che
si sta esaminando in un istante permettono di
determinare con certezza, con leggi semplici,
quale sarà la situazione dopo qualsiasi intervallo di
tempo;
CIOE’
• le grandezze in ingresso x i ( le condizioni iniziali)
permettono di calcolare le grandezze in uscita y i
La funzione associata ad un
modello deterministico è
y  f (x)
x0
f
y0
Un modello si dice non
deterministico
• se non è possibile determinare a priori con
certezza il valore della variabile in uscita y i,
ma si sa che essa assumerà uno dei valori di
un insieme di eventi, chiamati
eventi casuali
In un fenomeno aleatorio:
• Tutti i possibili risultati sono punti dello
spazio campione W
• Ogni evento è un sottoinsieme dello spazio
W
• L’evento certo è lo spazio W
• L’evento impossibile è F, l’insieme vuoto
• E’ un evento il risultato di qualsiasi
operazione tra i sottoinsiemi di W
Esempio: Lancio di un dado
W
1
5
2
4
6
3
• W Spazio campione
• Evento:” uscita di un
numero pari”
• L’evento: “uscita di un
numero pari”può
essere considerato
come unione di eventi
singoli
Evento - risultato
• Nel lancio del dado l’evento: “uscita di un
numero pari” ha come risultato x, un valore
tra i tre possibili:
X=
2
4
6
X: variabile casuale
• Si chiama variabile causale una variabile x
che può assumere uno tra gli n valori
x1
possibili.
x2
X=
…
xm
La variabile casuale x
Può variare tra un insieme di punti dello
spazio campione:
• Finito
• Infinito numerabile
• Infinito non numerabile
che sono distribuiti in un dato intervallo in
modo continuo o discreto
La funzione P: A P(A)
Associa ad ogni sottoinsieme A di W ,
l’insieme di punti-evento, un numero reale,
che soddisfa ai seguenti assiomi:
Assiomi:
• A1 : P( A)  0
• A2 : P ( W )  1
• A3 : Se Ai e Aj sono eventi incompatibili,
cioè ( Ai  A j )  F
allora
P( Ai )   P( Ai )
I simboli…
• W Insieme punti-evento
• F = {A1, A2, …, An} successione finita o
no, di eventi a due a due incompatibili
• P Numero reale
•
(W, F , P)
Spazio di probabilità
Teorema 1
• Se valgono
A1 :
P( A)  0
e A2 :
P (W)  1
Allora
0  P( A)  1
la probabilità è un numero compreso tra zero e uno
dim-th1.ppt
Teorema 2
probabilità dell’evento impossibile
La probabilità dell’evento impossibile è
P (F )  0
zero
dim-th2
Teorema 3
probabilità dell’evento complementare
Un evento A e il suo complementare A
riempiono lo spazio campione
Può essere formulato:
• P(A) + P(A)=1
oppure:
• P(AB) + P(B  A) = P(B)
Teorema 4
probabilità di eventi non disgiunti
• Se A e B sono eventi:
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B)
A B
A
W
B
Eventi indipendenti
Definizione:
Gli eventi A e B sono indipendenti se:
P( A  B)  P( A) P( B)
Teorema 5
probabilità di eventi indipendenti
Gli eventi A, B, C sono indipendenti
se e solo se:
• Sono indipendenti a due a due
• P( A  B  C )  P( A) P( B) P(C )
Probabilità condizionata P(A|H)
Definizione:
Dato uno spazio di probabilità (W, F , P )
e due eventi H (che chiamiamo ipotesi o
condizione), tale che P(H)  0, e A, la
probabilità condizionata di A dato H è:
P( A  H )
P( A H ) 
P( H )
Eventi indipendenti
Due eventi A e B sono indipendenti se il conoscere
che uno si è verificato non altera la probabilità del
verificarsi dell’altro.
In questo caso le tre leggi sono equivalenti:
•
P( A  B)  P( A) P( B)
• P( A B)  P( A)
• P( B A)  P( B)
Teoremi della probabilità
condizionata
PB,C ( A)  PBC ( A)  P( A B  C)
P( A)  P( A H1 ) P( H1 )  P( A H 2 ) P( H 2 )  ...
P( A H )  P( A H1 ) P( H1 H )  P( A H 2 ) P( H 2 H )  ...
P( A1  A2  ...  An )  P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 A1  A2 )...P( An A1  A2  A...  An 1 )
P( H i B) 
P( B H i ) P( H i )
 P( B H j ) P( H j )
j
Teoremi della probabilità
condizionata
•
•
•
•
•
Legge del condizionamento ripetuto
Legge delle alternative
Legge condizionata delle alternative
Legge delle probabilità composte
Legge di Bayes o probabilità delle cause
Legge del condizionamento
ripetuto
PB,C ( A)  PBC ( A)  P( A B  C)
Legge delle alternative
P( A)  P( A H1 ) P( H1 )  P( A H 2 ) P( H 2 )  ...
Un insieme di alternative è una partizione
dell’insieme
(incompatibilità)
H i  H j   ....i  j
 Hi  W
(esaustività)
i
P( H i )  0
per ogni indice i
Legge condizionata delle
alternative
P( A H )  P( A H1 ) P( H1 H )  P( A H 2 ) P( H 2 H )  ...
Gli eventi H sono un insieme di alternative per H
quando:
H i  H j   ....i  j
 Hi  H
(incompatibilità)
(esaustività)
i
P( H i )  0
per ogni indice i
Legge delle probabilità composte
P( A1  A2  ...  An ) 
P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 A1  A2 )...P( An A1  A2  A...  An 1 )
Legge di Bayes o probabilità
delle cause
P( H i B) 
P( B H i ) P( H i )
 P( B H j ) P( H j )
j