Probabilità condizionata Come varia la probabilità di un

Probabilità condizionata
Come varia la probabilità di un evento al crescere delle informazioni note?
Calcolare la probabilità di un evento E sapendo che si è verificato l’evento F significa ridurre lo
spazio campionario a F. Gli esiti favorevoli saranno quindi gli elementi dell’insieme 𝐸 ∩ 𝐹, per cui
la probabilità che si verifichi l’evento E sapendo che l’evento F si è verificato, che si indica con
𝑃(𝐸\𝐹), è pari a:
𝑃(𝐸\𝐹) =
𝑃(𝐸 ∩ 𝐹)
𝑃(𝐹)
Ovviamente si richiede che sia P(F)>0, se P(F) fosse nulla non avrebbe senso definire la probabilità
condizionata rispetto ad un evento impossibile. Inoltre la formula perderebbe di senso perché non
potremmo dividere per zero. Il condizionamento degli eventi si realizza in una ridefinizione dello
spazio campionario. Infatti, se si suppone che F si sia verificato, allora perdono di rilevanza tutti gli
elementi dello spazio campionario che non appartengono a F e anche gli elementi di E che non
appartengono a F, ossia conta solo 𝐸 ∩ 𝐹.
Esempio: 9 studenti tra cui 4 maschi e 5 femmine partecipano ad un concorso. Elena, una delle
ragazze, ha preliminarmente probabilità di vincita di 1/9. Prima dell'uscita dei risultati trapela la
notizia che la vincitrice è donna. La probabilità di vincita di Elena adesso è 1/5.
Se indico con E=”Elena ha vinto” e con F=”Una femmina ha vinto”, allora:
1
5
1/9 1
𝑃(𝐸 ∩ 𝐹) = 𝑃(𝐸) = ; 𝑃(𝐹) = ; 𝑃(𝐸\𝐹) =
=
9
9
5/9 5
Esempio: Un’urna contiene 10 palline numerate da uno a dieci. Vengono estratte due palline
successivamente. Calcolare la probabilità che alla seconda estrazione esca un numero pari
sapendo che alla prima estrazione è uscito un numero pari.
Se 𝐸 ∩ 𝐹 =”esce un numero pari alla prima e alla seconda estrazione” allora: 𝑃(𝐸 ∩ 𝐹) =
4
5
𝑃(𝐸\𝐹) ∗ 𝑃(𝐹) = 9 ∗ 10 = 2/9.
Teorema della probabilità composta: 𝑃(𝐸 ∩ 𝐹) = 𝑃(𝐸\𝐹) ∗ 𝑃(𝐹) = 𝑃(𝐹\𝐸) ∗ 𝑃(𝐸).
Significa che la probabilità che due eventi si verifichino contemporaneamente è pari al prodotto
tra la probabilità che si verifichi uno dei due eventi con la probabilità dell’altro evento
condizionato al verificarsi del primo.
Due eventi E e F si dicono (stocasticamente) indipendenti se il verificarsi dell’uno non influisce sul
presentarsi dell’altro (ossia il verificarsi di F non influenza la probabilità di E e il verificarsi di E non
influenza la probabilità di F) ossia si verifica una qualsiasi delle seguenti condizioni:
1. 𝑃(𝐸\𝐹) = 𝑃(𝐸);
2. 𝑃(𝐹\𝐸) = 𝑃(𝐹);
3. 𝑃(𝐸 ∩ 𝐹) = 𝑃(𝐸) ∗ 𝑃(𝐹).
Quindi se due eventi sono indipendenti la probabilità del prodotto logico (ossia dell’intersezione)
si riduce al prodotto delle probabilità dei singoli eventi.
Esempio: nel lancio di un dado considero gli eventi: E=”esce un numero pari”, F=”esce un numero
maggiore di 3”. Ora: P(E)=1/2; P(F)=1/2. Questi eventi non sono indipendenti, infatti:
1
1 1
1
𝐸 ∩ 𝐹 = {4,6} quindi 𝑃(𝐸 ∩ 𝐹) = 3 ≠ 2 ∗ 2 = 4 = 𝑃(𝐸) ∗ 𝑃(𝐹).
Esempio: se si estraggono due palline da due urne diverse contenenti palline di più colori, i due
eventi “la prima pallina estratta è blu” e “la seconda pallina estratta è blu” sono indipendenti. Ma
se le due palline blu vengono estratte dalla stessa urna, e la prima delle due non viene rimessa
nell’urna, l’evento “la seconda estratta è blu” dipende dal fatto che la prima lo fosse. In questo
caso i due eventi non sono indipendenti.
Osservazione: attenzione a non confondere le nozioni di indipendenza e incompatibilità. Se due
eventi sono incompatibili allora non sono indipendenti, perché il verificarsi dell’uno dà la certezza
che l’altro non si verifichi. Due eventi incompatibili non sono mai indipendenti, tranne nel caso in
cui uno dei due abbia probabilità nulla: la definizione di incompatibilità che comporta l’escludersi a
vicenda, ossia il fatto di verificarsi o l’uno o l’altro, fa sì che il verificarsi dell’uno dipenda dal
verificarsi o meno dell’altro.
Esempio: Un’urna contiene 10 palline di cui 6 rosse e 4 bianche. Si estraggono, successivamente, 2
palline. Calcolare la probabilità che entrambe siano rosse nell’ipotesi che ci sia o meno
reimbussolamento.
6
6
9
Con reimbussolamento: 𝑃(1𝑅 ∩ 2𝑅) = 10 ∗ 10 = 25 ;
6
5
senza reimbussolamento: 𝑃(1𝑅 ∩ 2𝑅) = 𝑃(1𝑅) ∗ 𝑃(2𝑅\1𝑅) = 10 ∗ 9 = 1/3.
Esempio: Si lanciano 3 monete. Qual è la probabilità di ottenere 3 teste sapendo che almeno una è
testa? E sapendo che la prima moneta è testa?
Sapere che almeno una è testa toglie dai casi totali quello in cui vi sono 3 croci, quindi i casi
possibili diventano 7. Tra questi in un solo caso si hanno 3 teste, dunque P(3T\almeno 1T)=1/7.
Se invece la prima moneta è testa, allora i casi possibili si riducono a 4: TTT, TCC, TTC, TCT, e
dunque P(3T\la prima è T)=1/4.
Esempio: Tre borsellini contengono ciascuno due monete. Il primo contiene due monete da un
euro, il secondo una da un euro e una da 2 euro, il terzo due monete da 2 euro. Scelto a caso un
borsellino, si estrae da questo una moneta da 2 euro. Qual è la probabilità che anche la seconda
moneta sia da 2 euro?
Siano A=”esce una moneta da 2 euro” e B=”la seconda moneta è anch’essa da 2 euro”.
Allora P(A)=(1/3)*0+(1/3)*(1/2)+(1/3)*1=1/6+1/3=1/2.
P(B)=1/3 perché solo il terzo borsellino permette di estrarre due monete da due euro.
Dunque:
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐵) 1/3
𝑃(𝐵\𝐴) =
=
=
= 2/3.
𝑃(𝐴)
𝑃(𝐴) 1/2
Infatti l’evento B è un sottoinsieme dell’evento A e dunque 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵, ossia 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵).