Metodi Statistici per l’Ingegneria - A.A. 2010/11 appello scritto del 13/1/11
Cognome
Nome
Matricola
Il testo degli esercizi va riconsegnato, compilato coi propri dati, assieme all’elaborato (solo bella copia).
La calligrafia deve essere leggibile. Le risposte vanno motivate, descrivendo i passi del processo risolutivo.
Soluzioni numeriche senza descrizione del procedimento non sono considerate valide.
Si possono utilizzare le tabelle delle distribuzioni fornite, e la calcolatrice. E’ vietato l’uso di libri, appunti etc. In tal
caso la prova viene annullata.
1) In una corsa sportiva, partecipano 3 atleti che indichiamo con X,Y e Z. Si indichi con la
stringa XY l’evento per cui X arriva prima di Y, e con la stringa XYZ l’evento per cui X
precede Y e Y a sua volta precede Z. Sapendo che nessuno arriva a parità di un altro
concorrente, e che P(XY)=2/3, P(XZ)=2/3, P(YZ)=1/2, e che P(XYZ)=P(XZY), e
P(YXZ)=P(YZX) e P(ZXY)=P(ZYX), si determini
a) la probabilità di ciascuno dei 3 eventi “X arriva primo”, “Y arriva primo”, “Z arriva
primo”.
b) gli eventi XY, XZ, e ZY sono tra loro indipendenti e perche’?
2) Un’ urna contiene 3 palle rosse, 3 bianche e 4 nere. Se ne estraggono 2 senza
reimbussolamento. Siano rispettivamente e due VA con valore =1 se la prima estratta
e’ rossa, e 0 altrimenti, e =1 se la seconda estratta e’ rossa, e 0 altrimenti. Calcolare
a) la distribuzione congiunta di e ;
b) le distribuzioni marginali di e di ;
c) le distribuzioni condizionali di e .
d) e sono fra loro indipendenti?
3) Una fabbrica ha due diverse linee di produzione, A e B, per produrre oggetti identici
con materie prime di qualità differente. I pezzi provenienti dalle due linee sono esteriormente
indistinguibili, ma hanno tempi di vita descritti da una VA esponenziale con parametri A e
B diversi, es. A>B . Le proporzioni dei pezzi prodotti dalle due linee sono rispettivamente
pA e pB, entrambe >0 e con pA + pB =1.
a) Preso un pezzo scelto a caso fra gli output delle due linee, quale e’ la legge di probabilità
del suo tempo di vita T?
b) Determinare il valore atteso E[T].
c) Sapendo che il pezzo e’ ancora funzionante al tempo s>0, quale e’ la probabilità che
provenga dalla linea A?
4) Sia {X1,..,Xn} un insieme di n VA indipendenti di Poisson con parametro . Sia X^ =
(X1+...+Xn)/n. Stimare la probabilità P ( | X^ - | ) per =1, =10-2, n = 10000.
5) Le atlete iscritte alla federazione sportiva di atletica leggera hanno altezza media 1.71m
e deviazione standard di 8 cm. Supponendo l’altezza distribuita normalmente fra le atlete,
quale e’ la probabilità che la varianza campionaria sia maggiore di 16 in una squadra di 10
ragazze?
