1. Si enunci il teorema fondamentale del calcolo integrale. 2. Si

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Diploma
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ESAME DI MATEMATICA I (semestrale)
SECONDA PROVA PARZIALE
Milano, 29 gennaio 2001
1. Si enunci il teorema fondamentale del calcolo integrale.
2. Si calcolino le derivate delle seguenti funzioni:
x tan x − cos x
x2 − x
√
π + cos2 (sin x)
x
log(arctan x)
x+1
2
3
3x log(x )
2x + x4/5 − x−1/2
3x − x2x
ex
log(tan x)
arcsin(ex )
3. Si scriva la formula di Taylor arrestata al terzo ordine con punto iniziale
Peano della funzione f : R → R definita dalla formula
f (x) = cos x2 .
√
π e resto in forma di
Si calcoli, per i valori del parametro reale a per cui esiste, il
√ 2
cos x2 + 1 − 2π x − π
√
.
lim
√
|x − π|a
x→ π
4. Si calcolino i seguenti integrali indefiniti:
Z √
x−1/3 + x − π − xe dx
Z
sin2 x cos x dx
Z
1
dx
x
Z e +1
cos x + sin x
dx
2 + sin2 x
Z
x2 sin x dx
1
dx
Z log x + log x x
x arctan x dx
Z
x−3
dx.
x2 + 2x + 5
Z
2
5. Si determinino gli intervalli in cui la funzione
x 7→
Z
x2
1
2
(1 − t) e−t dt
è crescente.
6. Si disegni un grafico qualitativo della funzione f : (0, ∞) → R definita dalla formula
f (x) = x (log x + 1).