α α ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε α ε α ε ε ε ε ε ε

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Stime asintotiche e gerarchia degli infiniti
Da ricordare:
Nel calcolo dei limiti si può

sostituire una funzione con una sua asintotica (vedere le osservazioni fatte nello studio delle successioni)

in una somma di "infiniti" si possono trascurare gli "infiniti" di ordine inferiore

in una somma di "infinitesimi" si possono trascurare gli "infinitesimi" di ordine superiore.
Funzioni asintotiche per
x0
sin x  x
tan x  x
1  cos x 
1 2
x
2
ex 1  x
log 1  x   x
1  x 

è invece:
log 1  x   log  x 
per
x  
 1   x,   
1
x
arctgx  x
ctgx 
arcsin x  x
Le espressioni possono essere generalizzate. Se
infinitesimo per
x  c ) si può sostituire x
  x   0 ed è definitivamente diversa da zero (cioè è un
con
  x .
sin   x     x 
tan   x     x 
1  cos   x  
2
1
  x

2
e  x   1    x 
log 1    x      x 
1    x 

 1     x   ,   
cot g  x  
1
  x
arctan   x     x 
arcsin   x     x 
Gerarchia degli infiniti ( in ordine crescente). Consideriamo e tre famiglie di funzioni:
 log a x 

Allora, per
x
bx
con
,  0
e
a, b  1
x   , ognuna è un infinito di ordine inferiore rispetto a quella che le sta a destra:
 log a x 
Quindi: lim

x 
x
0
e
x
0
x  b x
lim
1
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