Soluzioni prova scritta 06-11-2013

Meccanica Applicata alle Macchine
06-11-2013
TEMA A
1. Un cilindro ed una sfera omogenei di uguale massa m ed uguale raggio r sono collegati tra
loro da un telaio di massa trascurabile mediante coppie rotoidali senza attrito (Figura 1). Se
essi vengono fatti rotolare lungo una discesa avente angolo di inclinazione θ, determinare la
forza assiale trasmessa dal telaio sui due corpi in condizioni di puro rotolamento (assenza di
strisciamento tra i due corpi omogenei ed il piano inclinato).
Sono noti: massa m = 40 kg, angolo θ = 30°, raggio r = 1 m, momento di inerzia del cilindro
Jc = mr2/2, momento di inerzia della sfera Js = 2mr2/5.
2. Sia data una puleggia mobile omogenea di massa M al perno della quale è appeso un blocco
di massa m (Figura 2). Un ramo della fune è fisso mentre l’altro è collegato al telaio tramite
una molla di costante elastica k ed uno smorzatore di coefficiente c agenti in parallelo.
Ipotizzando che la fune non strisci sulla puleggia mobile (rotolamento senza strisciamento),
determinare la pulsazione delle oscillazioni naturali ωn ed il fattore di smorzamento ζ.
Sono noti: M = 4 kg, m = 1 kg, k = 300 N/m, c = 35 Ns/m.
3. Effettuare l’analisi statica grafica del meccanismo piano di Figura 3. Calcolare il modulo ed
il verso della forza F che garantisce l’equilibrio del meccanismo.
Figura 1
Figura 2
6
Figura 3
ESERCIZIO 1 - SVOLGIMENTO
Si traccia il diagramma di corpo libero di sfera e cilindro: si noti che, essendo il telaio privo di
massa, è sollecitato dalla stessa forza (il cui verso è ancora da determinare) ad entrambi gli estremi.
Con riferimento alla figura precedente, le incognite del problema dinamico sono 6:
Ns, Ts, Nc, Tc, F, a
(1)
dove si è indicato con a l’accelerazione del sistema.
Si hanno a disposizione 3 equazioni di equilibrio dinamico per ciascun elemento volvente, per cui il
problema è ben posto; per la sfera si ha:
 F  mg  sen   Ts  mv

 N s  mg  cos   0
T r  J 
s
 s
(2)
e per il cilindro:
 F  mg  sen   Tc  mv

 N c  mg  cos   0
T r  J 
c
 c
(3)
In condizioni di puro rotolamento, le accelerazioni lineari dei baricentri e le accelerazioni angolari
dei rispettivi corpi sono legate dalla relazione:
v  r
(4)
Risolvendo il sistema dato da (2) e (3), si ottiene l’espressione dell’accelerazione del sistema:
v
1
J J
1 c 2s
2mr
g  sen   3.38 m/s 2
(5)
Le altre incognite valgono:
N s  Nc  mg cos  339.83 N
(6)
2 2
mr
Js
20
8
5
Ts   
g  sen  
mg  sen   54.12 N
2
r
r
29
29
1 2
mr
Jc
20
10
Tc    2 2
g  sen  
mg  sen   67.65 N
r
r
29
29
F  mg  sen   Tc  mv  mg  sen  
1
 mg  sen   6.76 N
29
10
20
mg  sen   m g  sen  
29
29
(7)
(8)
(9)
Si osserva che la barra di accoppiamento è sollecitata da una forza assiale F di compressione nei
confronti dei due corpi volventi (anziché di trazione, come ipotizzato inizialmente nel diagramma di
corpo libero).
ESERCIZIO 2 - SVOLGIMENTO
Analizzando il comportamento dei due membri presi separatamente (puleggia e blocco), si possono
scrivere le equazioni di equilibrio alla traslazione verticale ed alla rotazione attorno al baricentro
della puleggia:
mg  T3  mx  0 (equilibrio alla traslazione verticale del blocco)

T3  Mg  T1  T2  Mx  0 (equilibrio alla traslazione verticale della puleggia)
rT  rT  I  0 (equilibrio alla rotazione della puleggia)
2
 1
(1)
in cui si è considerato come verso positivo delle rotazioni quello orario e degli spostamenti verticali
quello diretto verso il basso; inoltre si è indicato con r il raggio della puleggia.
Le forze di inerzia sono date da
̈ ed
̈ , mentre il momento di inerzia è espresso da
̈.
Avendo indicato con x lo spostamento verticale del baricentro della puleggia rispetto alla posizione
di riposo, si osserva che il corrispondente allungamento della molla vale 2x (la molla è collegata al
ramo destro oscillante della fune, se la puleggia scende di una lunghezza x allora il ramo sinistro
della fune rimane incastrato al telaio e quindi il ramo destro scende di una lunghezza doppia 2x).
Inoltre, ipotizzando che la fune non strisci sulla puleggia (rotolamento senza strisciamento), allora
lo spostamento della puleggia è collegato alla sua rotazione da:
x  r
(2)
La tensione T2 nel ramo destro della fune è data dall’equazione costitutiva di molla e smorzatore
viscoso:
2kx  2cx  T2  0
(3)
Mettendo a sistema le equazioni (1) e (3), inserendo nelle equazioni la relazione (2) ed usando per
la puleggia il valore del momento di inerzia
I
1
Mr 2
2
(4)
si ottiene:

T3  mg  mx

T  T  T  Mg  Mx
3
 1 2

T  2kx  2cx
 2

M
T1  T2  
x

2
che risulta un sistema di 4 equazioni in 4 incognite (T1, T2, T3, x).
Risolvendo il sistema (5) si trova:
(5)

T3  mg  mx

T  T  T  Mg  Mx
3
 1 2

T  2kx  2cx
 2

M
M
T1  T2 
x  2kx  2cx 
x

2
2
(6)
Sostituendo la prima, la terza e la quarta equazione all’interno della seconda equazione del sistema
(6) si ricava la seguente equazione del moto:
3 

 m  M  x  4cx  4kx  m  M g
2 

(7)
Per ricavare l’espressione delle oscillazioni naturali ωn e del fattore di smorzamento ζ, si riporta
l’equazione (7) nella forma canonica:
x  2n x  n2 x  f  t 
(8)
L’equazione (7) può essere riscritta nella forma seguente:
x
m  M  g
4c
4k
x
x
3 
3 
3 



m M 
m M 
m M 
2 
2 
2 



(9)
Ponendo per comodità
3 

M ' m  M 
2 

(10)
allora mediante sostituzione di (10) nella equazione (9) si ottiene:
x 
m  M  g
4c
4k
x 
x
M'
M'
M
(11)
Confrontando quindi le equazioni (8) e (11) possiamo scrivere:
n2 
4k
4k
8k
 n 

 13.09 rad/s
M'
M'
2m  3M
(12)
4c
c
2c
 

 0.76
M'
kM '
k  2m  3M 
(13)
2n 
dove ωn rappresenta la pulsazione delle oscillazioni naturali e ζ denota il fattore di smorzamento.
ESERCIZIO 3 - SVOLGIMENTO