10 Dicembre 2002 - Dipartimento di Matematica e Fisica

Prova scritta di Matematica 2
10 Dicembre 2002
1. Studiare il grafico della funzione:
√
y = 3x + 4 1 − x2
2. Calcolare l’integrale generale della seguente equazione lineare del primo
ordine e determinare la curva integrale passante per il punto (0,2):
y 0 − y cos(x) = cos(x)
Traccia di risoluzione:
Esercizio 1.
• Campo di esistenza:
Imponendo che l’argomento della radice sia positivo si ottiene:
C.I.
−1 ≤ x ≤ 1
• Segno della funzione:
Positiva per x > − 54 .
• Limiti agli estremi del campo di esistenza:
nessun limite da calcolare perchè la funzione è definita anche agli estremi dell’intervallo di definizione:
y(-1) = -3;
y(1) = 3;
1
• Studio della derivata prima:
y0 =
√
3 √
1−x2 −4x
1−x2
Il campo di esistenza della derivata prima è diverso da quello della
funzione devo allora calcolare il limite della derivata prima in ±1 Facilmente si verifica che tali limiti valgono ∓∞ e quindi la funzione ha
tangente verticale in ±1.
– Punti stazionari:
y0 = 0 ⇔ x =
3
5
– Segno:
y0 > 0
3
5
⇔
x<
Dunque la funzione cresce tra -1 e
quindi di massimo relativo.
3
5
e decresce tra
3
5
e 1. Il punto
3
5
è
• Studio della derivata seconda:
y 00 =
−4
3
(1−x2 ) 2
Quindi la y 00 è sempre negativa nell’intervallo di definizione e quindi la
funzione ha concavità sempre rivolta verso il basso.
• Grafico:
2
Esercizio 2.
Applicando la formula di risoluzione per equazioni differenziali ordinarie del
primo ordine otteniamo:
R
R R
y(x) = e cos xdx e− cos xdx cos xdx
= esin x (−e− sin x + C) = −1 + Cesin x
Imponendo poi il passaggio di y(x) per il punto (0,2) si ottiene C = 3.
3