ISTITUZIONI DI MATEMATICHE (Scienze Naturali) Tema di preparazione al secondo compitino 2014/2015 Cognome....................................Nome.........................Matricola.............. A Calcolare una primitiva di ciascuna delle seguenti funzioni f (x) = 2x3 +cos(1−x), g(x) = 3 , 2(3x + 2)3 h(x) = √ 3 x2 + x2 2 +1 B Calcolare il seguente integrale definito Z 0 √ 4 3 2x + 8dx. −4 C C1) Determinare il polinomio di Taylor di ordine 3, centrato in x0 = 0, della funzione f (x) = sin(3x). C2) Utilizzare il risultato del punto C1 per calcolare 3x − sin(3x) x→0 x3 lim D D1) Dare la definizione di primitiva di una funzione continua f : R → R? 1 2 D2) Quale tra le seguenti funzioni è una primitiva di f ? Z F (x) = 1 Z f (t)dt, G(x) = 0 x f (t)dt, H(x) = f 0 (x) + k. 1 E Scrivere l’equazione della retta tangente in x0 = 1 al grafico della funzione g(x) = xe3x−1 . F F1) Determinare l’area A della regione di piano compresa tra l’asse x, il grafico della funzione y = 3sin(2x), le rette x = 0 e x = π2 . F2) Calcolare Z π 2 2cos(2x)dx. I= − π2 G G1) Dare la definizioni di asintoto obliquo per una funzione reale di variabile reale. G2) Data la funzione f (x) = 3x3 − 2 x2 − 1 determinare gli asintoti (orizzontali, verticali e obliqui) di f. 3 H Se F1 e F2 sono primitive della stessa funzione f nell’intervallo [a, b] che cosa si può dire della differenza F1 − F2 ? È vero che F = sin(x) + 5 è una primitiva di f = cos(x)? È vero che F = sin(x) è una primitiva di f = cos(x) + 3? I Studiare (senza ricorrere alla derivata seconda) il grafico della funx2 −9 zione f (x) = e x−1 + 3. L Disegnare il grafico (approssimativo) di una funzione f (x) tale che soddisfi contemporaneamente a tutte le seguenti richieste • sia definita e continua in (−∞, 0) ∪ (0, ∞) • non sia iniettiva • lim f (x) = −3 x→−∞ • lim f (x) = 2 x→∞ M Disegnare il grafico (approssimativo) di una funzione f (x) tale che soddisfi contemporaneamente a tutte le seguenti richieste • • • • • • N sia definita in (−∞, ∞) non sia continua in x0 = 2 come funzione f : R → R sia suriettiva non abbia asintoti verticali passi per (−4. − 4) abbia la retta y = x come asintoto obliquo. 4 N1) Dare la definizone di integrale defintito di una funzione in un intervallo [a, b]. N2) Calcolare l’area della regione limitata di piano compresa tra le curve di equazioni rispettive: y = x2 e y = −x + 3. O Studiare la seguente funzione (non è richiesto lo studio della derivata seconda) e se ne fornisca un grafico qualitativo. f (x) = 3x 2 +x+2 − 9. P P1) Enunciare il teorema di Rolle. P2) Stabilire a quali tra le seguenti funzioni può essere applicato il teorema di Rolle nell’intervallo [−π, π] e perché. f1 (x) = sin(x), f2 (x) = 1 , x2 f3 (x) = (x+π)(x−π), f4 (x) = |x|. 5 Q Disegnare il grafico (approssimativo) di una funzione f (x) tale che soddisfi contemporaneamente a tutte le seguenti richieste • • • • sia definita e derivabile in (−∞, ∞) sia tale che f 0 (x) = 0 se e solo se x = −1, 2, 4 sia crescente in (−∞, 2) ∪ (4, ∞) abbia per immagine f (R) = (−∞, 5) R P1) Enunciare il teorema fondamentale del calcolo integrale e la formula fondamentale del calcolo integrale. P2) Dare un esempio di funzione f (x) (non identicamente nulla) tale che sia 2 Z f (x)dx = 0. −2 S S1) Dare la definizione di media di una funzione in un intervallo.. S2) Calcolare la media nell’intervallo [0, 1] di ciascuna delle seguenti funzioni: f (x) = x, g(x) = x3 , h(x) = √ 3 x.