LICEO SCIENTIFICO “GUIDO CASTELNUOVO”
FIRENZE
Anno scolastico 2014/15
Programma di MATEMATICA
per la classe 3ª sez. B
prof. IVAN CASAGLIA
1. ARITMETICA E ALGEBRA
Evoluzione storica dell’Algebra e del suo significato. Insiemi numerici, operazioni ed
equazioni: richiami su N, Z, Q . L’esigenza di andare oltre i numeri razionali: i numeri reali
come allineamenti decimali. Misura e allineamenti decimali. Le proprietà di R . Richiami di
algebra: la divisione di polinomi con resto. Il teorema di Ruffini e le sue applicazioni:
divisibilità, abbassamento del grado di un’equazione algebrica. Algoritmo di Ruffini per la
divisione. Criteri per l’individuazione degli zeri interi e/o razionali di un polinomio a
coefficienti interi.
2. GEOMETRIA ANALITICA
2.1 LE RETTE NEL PIANO CARTESIANO
Richiami sul metodo delle coordinate. Equazioni della retta nel piano. Significato
geometrico dei coefficienti: pendenza e coefficiente angolare; termine noto. Retta per due
punti. Retta generica per un punto. Fasci di rette: fascio generato da due rette, fasci
propri ed impropri, equazione con due parametri ed equazione con un parametro. Distanza
di un punto da una retta. Luoghi geometrici per definire figure e per risolvere problemi.
Asse di un segmento, bisettrici degli angoli formati da due rette incidenti. Grafici di
funzioni lineari e lineari a tratti. Disequazioni nel piano cartesiano. Modelli lineari: problemi
di scelta con confronto di funzioni lineari a tratti, semplici problemi di programmazione
lineare in due variabili. Richiami su alcune isometrie: traslazioni e simmetrie; le equazioni
delle traslazioni e delle simmetrie.
2.2 LA CIRCONFERENZA
La circonferenza nel piano cartesiano. L’equazione normale della circonferenza; significato
dei coefficienti. Circonferenza passante per tre punti non allineati. Posizioni relative di una
retta e di una circonferenza. Posizioni relative di due circonferenze; l’asse radicale e l’asse
centrale.
Fasci di cerchi. Funzioni con grafico riconducibile ad una circonferenza.
2.3 LA PARABOLA
La parabola come luogo geometrico e la sua costruzione per punti. L’equazione di una
parabola. La retta tangente ad una parabola: costruzione geometrica, equazione,
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interpretazione algebrica. Posizioni relative di una retta e di una parabola. Rette tangenti
ad una parabola da un punto esterno. Cenni sui fasci di parabole. Funzioni con grafico
riconducibile ad una parabola. Problemi di massimo: rettangoli isoperimetrici.
2.4 LE CONICHE
Introduzione alle sezioni coniche: dalla regione illuminata da una torcia rivolta verso una
parete al modello geometrico. L’ombra di una sfera su un piano tangente. Analisi delle
diverse sezioni coniche e prime definizioni: ellisse, parabola e iperbole. Una definizione
unitaria delle coniche come luoghi geometrici del piano: fuoco e direttrice di una conica,
eccentricità. L’equazione di una conica nel piano cartesiano. L’ellisse del giardiniere e
l’equazione canonica. Proprietà dell’ellisse deducibili dalla sua equazione: simmetrie,
rettangolo fondamentale. L’equazione canonica dell’iperbole. Proprietà dell’iperbole
deducibili dalla sua equazione: simmetrie, rettangolo fondamentale, asintoti. L’iperbole
equilatera e le funzioni omografiche. Posizioni relative di due coniche. Funzioni irrazionali il
cui grafico è riconducibile ad una conica. Disequazioni irrazionali: metodo algebrico e
metodo grafico.
3. FUNZIONI
Riepilogo sui concetti di funzione e grafico di una funzione: dominio, campo di esistenza,
codominio. Il problema della invertibilità di una funzione: funzioni iniettive, suriettive,
biettive. Funzione inversa e suo grafico. Alcune funzioni notevoli: valore assoluto, parte
intera, parte decimale. Funzioni periodiche: periodo proprio. Dal grafico di una funzione
()
()e
y = f x al grafico delle funzioni y = f x
()
y= f x .
4. TRIGONOMETRIA
Alle origini della trigonometria, un esempio: il rapporto delle distanze tra Terra, Luna e
Sole (Aristarco di Samo). Il problema della misura della circonferenza: rettificazione e
definizione di π . Un algoritmo per l’approssimazione di π . Misura in gradi sessagesimali e
misura in radianti. Angoli orientati, rappresentazione sulla circonferenza trigonometrica.
Definizione di coseno, seno e tangente. Interpretazione trigonometrica del coefficiente
angolare di una retta.
Funzioni goniometriche di angoli notevoli: π 6, π 3, π 4, π 10 . Dalle proprietà del
decagono regolare alle funzioni goniometriche di π 20 . Grafici delle funzioni coseno, seno E
tangente: costruzione e proprietà (campo di esistenza, codominio, periodicità, simmetrie).
Relazioni tra le funzioni goniometriche di uno stesso angolo. Angoli associati: angoli
opposti, angoli supplementari, angoli complementari, angoli che differiscono di un angolo
piatto.
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Riduzione al primo quadrante e al primo ottante. Funzioni periodiche. Le formule di
addizione e di sottrazione. Gli angoli formati tra due rette nel piano cartesiano.Le formule
di duplicazione. Le formule di triplicazione e il problema della trisezione di un angolo con
riga e compasso. Gli altri problemi irrisolti della geometria antica: duplicazione del cubo,
quadratura del cerchio. Le formule di bisezione. Le formule parametriche; una formula per
le terne pitagoriche. Le formule di Werner e le formule di prostaferesi. Le equazioni
goniometriche elementari. Le funzioni goniometriche inverse: arccos x , arcsin x , arctan x .
Firenze, 6 giugno 2015
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