Document

MATEMATICA 1
Modulo di Analisi Matematica
Corso 3
A.A. 2008/2009
Docente: R. Argiolas
Esercizi di preparazione all’Esame:
Studio di funzione e formula di Taylor
Esercizio 1. Assegnata la funzione
f (x ) = e
x
2− x
− 4x
a)
b)
c)
d)
e)
f)
dopo averla classificata, determinare il campo di esistenza;
studiarne il comportamento agli estremi;
classificare gli eventuali punti di discontinuità;
studiarne le eventuali simmetrie;
determinare gli eventuali asintoti;
calcolare la derivata prima e la derivata seconda (non è richiesta la ricerca dei massimi,
minimi e flessi);
g) darne un grafico approssimato;
h) scrivere l’equazione della retta tangente al grafico della funzione nel punto di ascissa
x 0 = 1.
Esercizio 2. Assegnata la funzione
f (x ) = 3 x 2 (x − 2) ,
dire se è applicabile in teorema di Lagrange nell’intervallo [0,2] e in caso affermativo calcolare
l’ascissa dei punti che soddisfano il suddetto teorema. Scrivere inoltre l’equazione della retta
tangente al grafico della funzione nel punto di ascissa x0 = 1.
Esercizio 3. Scrivere lo sviluppo di Mac Laurin di
f ( x ) = log x + 1
con resto di Peano, fino al terzo ordine e utilizzare tale sviluppo per calcolare il limite:
lim
x →0
(
12 f ( x) − 2 sin 3x
2
)
2 e3x − 1 − 9 x 4 − 6x 2
1
.
Inoltre, senza operare nessun calcolo, scrivere l’equazione della retta tangente al grafico della
funzione nel punto di ascissa x0 = 0.
Esercizio 4. Dopo averla classificata, calcolare il campo di esistenza della seguente funzione:
f (x ) =
log( x 2 − 5 x + 6)
16 − x 2
1
e − x + log x − e x −1 .
Esercizio 5. Utilizzando le stime asintotiche, calcolare il seguente limite di funzione
lim+
x →0
e2x − 1 + 2x 2
.
log(1 + 4 x ) − sin 2 x
Esercizio 6. Dopo aver illustrato la formula di Mac Laurin, utilizzarla per calcolare il seguente
limite:
lim+
x→0
2(cos x 2 − 1) + x 2 sin x
.
x log(1 − x) + x 2
Esercizio 7. Assegnata la funzione
f (x ) = x − 2 e
− ( x −2 −2 )
dopo averla classificata, determinare il campo di esistenza;
studiarne il comportamento agli estremi;
classificare gli eventuali punti di discontinuità;
studiarne le eventuali simmetrie;
studiarne la positività
determinare gli eventuali asintoti;
calcolare la derivata prima e determinare gli eventuali punti di massimo e minimo (relativi
e assoluti);
h) determinare gli eventuali punti di non derivabilità e classificarli;
i) calcolare la derivata seconda e determinare gli eventuali punti di flesso;
j) darne un grafico approssimato.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Esercizio 8. Dopo averla classificata, determinare il campo di esistenza e la positività della
seguente funzione:

f ( x ) = 3 x − 1 ⋅ log1 +

2

 .
x −1 
1
Esercizio 9. Dopo aver illustrato la formula di Taylor, utilizzarla per calcolare il seguente limite:
3
lim+
x →0
e −3 x − 1 + x 2 sin 3 x
.
x 2 log(1 + 2 x 3 ) − 2 x 5

3x 
Esercizio 10. Assegnata la funzione: f ( x ) = log 3 −

x − 1 

a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
dopo averla classificata, determinare il campo di esistenza;
studiarne il comportamento agli estremi;
classificare gli eventuali punti di discontinuità;
studiarne le eventuali simmetrie;
determinare gli eventuali asintoti;
calcolare la derivata prima e determinare gli eventuali punti di massimo e minimo (relativi
e assoluti);
determinare gli eventuali punti di non derivabilità e classificarli;
calcolare la derivata seconda e determinare gli eventuali punti di flesso;
darne un grafico approssimato,
dire se è applicabile il teorema di Lagrange nell’intervallo [-1,0].
Esercizio 11. Assegnata la funzione: f ( x ) =
3 
e
(x + 3)3 
2
x +3

− 1 , classificarla e determinarne il

campo di esistenza e la positività.
Esercizio 12. Dopo aver illustrato la formula di Mac Laurin, utilizzarla per calcolare il seguente
limite:
x log(1 − 2 x) + 2 x 2
.
lim
3
3
3
x →0 + 2 cos x − 1 + x sin x
(
Esercizio 13. Assegnata la funzione: f ( x ) = 3e
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
)
−
x −1
x −2
dopo averla classificata, determinare il campo di esistenza;
studiarne il comportamento agli estremi;
classificare gli eventuali punti di discontinuità;
studiarne le eventuali simmetrie;
determinare gli eventuali asintoti;
calcolare la derivata prima e determinare gli eventuali punti di massimo e minimo (relativi
e assoluti);
determinare gli eventuali punti di non derivabilità e classificarli;
calcolare la derivata seconda e determinare gli eventuali punti di flesso;
darne un grafico approssimato,
dire se è applicabile il teorema di Lagrange nell’intervallo [1,2].
3
Esercizio 14. Determinare il campo di esistenza della seguente funzione:
(
f ( x ) = log 12 − x 2 + x
)
e dire in quali intervalli è continua (dopo averne ricordato la definizione).
Esercizio 15. Assegnata la funzione: f ( x ) = e
x +3
−
x −2
a) determinare il C.E.;
b) classificare gli eventuali punti di discontinuità e gli eventuali asintoti,
c) calcolare la derivata prima e la derivata seconda (non è richiesto di determinare i
punti di massimo, minimo e flesso),
d) darne un grafico approssimato,
Determinare un intervallo in cui la funzione g ( x ) = −3 + x 8 è invertibile.
Esercizio 16. Utilizzando le stime asintotiche, calcolare il seguente limite di funzione
lim+
x →0
5 sin 2 x log(4 + x ) − 3 x 2
x
x e 2 − 1 − 5 x 2 − x log x


Giustificare in modo opportuno ogni affermazione.
Esercizio 17. Assegnata la funzione: f ( x ) = log( x − 1)
a) determinare il campo di esistenza,
b) studiare il comportamento agli estremi,
c) dopo aver classificato i punti di discontinuità e di non derivabilità di una funzione, dire se
la funzione assegnata è derivabile in x=0 (giustificare ogni affermazione)
d) darne un grafico approssimato,
e) dire se è applicabile il teorema di Lagrange, dopo averlo enunciato, nell’intervallo [1,2]
f) Una funzione continua in un punto è derivabile in tale punto? (giustificare ogni
affermazione)
Esercizio 18. Dopo aver illustrato la formula di Taylor, utilizzarla per calcolare il seguente
limite:
lim+
x →0
(cos x − 1) + x log(1 + x ) .
x 2 sin x 3 − x 5
4
Esercizio 19. Assegnata la funzione
f (x ) = x
x−2
x +1
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
dopo averla classificata, determinare il campo di esistenza;
studiarne il comportamento agli estremi;
classificare gli eventuali punti di discontinuità;
studiarne le eventuali simmetrie;
studiarne la positività (quando è conveniente!)
determinare gli eventuali asintoti;
calcolare la derivata prima e determinare gli eventuali punti di massimo e minimo (relativi
e assoluti);
h) determinare gli eventuali punti di non derivabilità e classificarli;
i) calcolare la derivata seconda e determinare gli eventuali punti di flesso;
j) darne un grafico approssimato.
Esercizio 20. Assegnata la funzione
 1 

f ( x ) = arcsin
 log x 
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
dopo averla classificata, determinare il campo di esistenza;
studiarne il comportamento agli estremi;
classificare gli eventuali punti di discontinuità;
studiarne le eventuali simmetrie;
studiarne la positività (quando è conveniente!)
determinare gli eventuali asintoti;
calcolare la derivata prima e determinare gli eventuali punti di massimo e minimo (relativi
e assoluti);
h) determinare gli eventuali punti di non derivabilità e classificarli;
i) calcolare la derivata seconda e determinare gli eventuali punti di flesso;
j) darne un grafico approssimato.
Esercizio 21. Assegnata la funzione
 2x 

f ( x ) = 2 x + arctan

 x +1 
a)
b)
c)
d)
e)
f)
dopo averla classificata, determinare il campo di esistenza;
studiarne il comportamento agli estremi;
classificare gli eventuali punti di discontinuità;
studiarne le eventuali simmetrie;
studiarne la positività (quando è conveniente!)
determinare gli eventuali asintoti;
5
g) calcolare la derivata prima e determinare gli eventuali punti di massimo e minimo (relativi
e assoluti);
h) determinare gli eventuali punti di non derivabilità e classificarli;
i) calcolare la derivata seconda e determinare gli eventuali punti di flesso;
j) darne un grafico approssimato.
Esercizio 22. Determinare il campo di esistenza della seguente funzione:
f ( x ) = 3 log x + 1 e
3 log x +1
log x
.
e dire in quali intervalli è continua (dopo averne ricordato la definizione).
Esercizio 23. Determinare il campo di esistenza della seguente funzione:
3
f ( x ) = (2 + log x ) log x
e dire in quali intervalli è continua.
Esercizio 24. Determinare il campo di esistenza della seguente funzione:
 x2 − 9 
1
 −
f ( x ) = log 2
+ 6−x
 x − 9 x + 20  x + 4
e dire in quali intervalli è continua.
Esercizio 25. Determinare il polinomio di Taylor di ordine 4, centrato in x0 = 1 della funzione
f (x ) =
1
.
x+2
Esercizio 26. Calcolare il polinomio di Mac Laurin di grado 8 della funzione
(
(
))
f ( x ) = x 2 − log 1 + x 2 sin 2 x .
(
)
Esercizio 27. Stabilire se la funzione f ( x ) = arctan 1 + x 4 è invertibile in [0,+∞ ) , motivando la
risposta.
Esercizio 28. Data la funzione
6
x 3 + 2x 2

f ( x ) =  log 1 + x 4 − x 4

5
x

(
)
x≥
x<0
,
stabilire se f è continua e derivabile in R.
Esercizio 29. Determinare il campo di esistenza della seguente funzione:
f (x ) = 2
x−2
log x
− log x − 3 +
1
.
ex
Esercizio 30. Assegnata la funzione
f ( x ) = arccos x − 1
dopo averla classificata, determinare il campo di esistenza;
studiarne il comportamento agli estremi;
classificare gli eventuali punti di discontinuità;
studiarne le eventuali simmetrie;
studiarne la positività (quando è conveniente!)
determinare gli eventuali asintoti;
calcolare la derivata prima e determinare gli eventuali punti di massimo e minimo (relativi
e assoluti);
h) determinare gli eventuali punti di non derivabilità e classificarli;
i) calcolare la derivata seconda e determinare gli eventuali punti di flesso;
j) darne un grafico approssimato.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Esercizio 31. Determinare il polinomio di Taylor di ordine 4, centrato in x0 = 0 della funzione
f ( x ) = arcsin x .
Esercizio 32. Determinare il polinomio di Taylor di ordine 5, centrato in x0 = 0 della funzione
f ( x ) = arctan x .
Esercizio 33. Determinare il polinomio di Taylor di ordine 3, centrato in x0 = 1 della funzione
f ( x ) = x log(2 + x ) .
7
Esercizio 34. Dopo aver illustrato la formula di Taylor, utilizzarla per calcolare il seguente
limite:
arcsin x − x
.
x →0 +
x − sin x
lim
Esercizio 35. Dopo aver illustrato la formula di Taylor, utilizzarla per calcolare il seguente
limite:
arcsin x − arctan x
.
x →0 +
e x − cos x
lim
8