Derivate successive, teorema di De l`Hôpital, formula di Taylor e

Derivate successive, teorema di De l’H ôpital, formula di Taylor
e studi completi di funzione.
Esercizio 1 : Calcolare i seguenti limiti.
(1)
log(1 + x) − sin x
x sin x
2
x
e − 3 + 2 cos x
lim
x→0
log(1 + x)
2
x cos x1
lim x
x→0 e − 1
lim
x→0
(2)
(3)
Esercizio 2 : Calcolare le derivate prima e seconda delle seguenti funzioni.
(7)
1 − sin x
x − cos x
1
y = arcsin
x
y = xx
q
√
y = x+ x
(8)
y = log(10x)
(4)
(5)
(6)
y=
Esercizio 3 : Disegnare un grafico approssimativo delle seguenti funzioni, in base allo studio
del campo di esistenza, segno, eventuale parità, limiti agli estremi del campo di esistenza, asintoti verticali, orizzontali, obliqui, studio della derivata prima e ricerca di eventuali estremanti,
studio della derivata seconda e ricerca di eventuali punti di flesso.
(10)
f (x) = x2 − log x
√
f (x) = x3 x + 2
(11)
f (x) = xe x−2
(9)
x−1
Esercizio 4 : Calcolare il polinomio di Taylor – Mac Laurin di f (x) = e −x (x + 1) di grado
2 in x = 0 e stabilire se x = 0 è un estremante e di quale natura.
Esercizio 5 : Scrivere la formula di Taylor con resto di Peano di ordine 3 in x = 1 di
.
f (x) = sin(πx)
x
Esercizio 6 : Calcolare il polinomio di Taylor di f (x) = e x di grado 3 in x = 1. Scrivere poi
la formula di Taylor di ordine 3 in x = 1 con resto di Lagrange.
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