Matematica 1
Corso di Laurea in Chimica
Prova scritta del 20.01.10
P1) Calcolare il seguente limite
lim
x→0
x − sin x
x3 cos x
x2
P2) Data la funzione f (x) = e x−1 determinarne
(a) campo di esistenza;
(b) zeri e segno;
(c) limiti agli estremi del c.d.e. e asintoti;
(d) derivata prima;
(e) eventuali punti stazionari, intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente;
(f) grafico sommario;
P3) È data la funzione
f (x, y) = xy − x3 y − xy 3 .
(a) Calcolare ∇f .
(b) Calcolare la derivata nel punto P (1, 1) nella direzione del vettore ~v =
√ 3
1
,
−
.
2
2
(c) Determinare e analizzare i punti critici della funzione f .
(d) Determinare la retta tangente alla curva f (x, y) + 1 = 0 nel punto P (1, 1).
P4) È data la forma differenziale ω = (ax2 y + y 3 )dx + (2x3 + 3xy 2 + 2)dy , con a un numero reale.
(a) Determinare a in modo che ω sia esatta e calcolare un potenziale.
H
(b) Calcolare ∂D ω per a = 0 e a = 6 dove ∂D è il bordo della regione D descritto da −1 ≤ x ≤
1, −1 ≤ y ≤ 1.
∞
X
1
T1) Dare la definizione di convergenza di una serie. La serie
converge?
n
n=1
T2) Enunciare il teorema degli zeri.
La funzione f (x) = x7 + x6 + 4 ammette zeri?
T3) Spiegare a scelta che cosa si intende per formula della derivata totale o di “chain rule” per una
funzione di due variabili.
Illustrare la formula scrivendo la derivata della funzione composta z = 2x + 3y 2 con x = 2t2 , y = t3 .
T4) Come si calcola la potenza n-esima di un numero complesso? Illustrare con un esempio.
