Calcolo differenziale per funzioni da Rn in R - Digilander

Calcolo differenziale per funzioni da Rn in R
1. Data la funzione
f (x, y) = log(1 + x + y 2 )
stabilire per quale direzione v = (α, 1 − α) si ottiene
∂f
(1, −2) = 1.
∂v
2. Data la funzione
f (x, y) = (2x + 1)y
determinare la direzione di massima pendenza nel punto
3. Data la funzione
f (x, y) =
1
,1 .
2



3x2 y
x2 + y 2
se (x, y) 6= (0, 0)


0
se (x, y) = (0, 0)
calcolare, se esistono, ∇f (0, 0) e ∇f (1, 0) .
4. Stabilire per quali valori dei parametri α, β ∈ R la funzione
f (x, y) = x2 + 3αy 2 + 2βyz 2
è derivabile e ∇f (0, 1) = 0.
5. Calcolare l’espressione del differenziale della funzione
f (x, y) = 2x4 y + cos(x2 + y 2 )
nel punto (0, 0).
6. Data la funzione
f (x, y) = x2 ye−x
2 −y 2
calcolare k∇f (1, −2)k.
7. Data la funzione
f (x, y) = y 3 − 2xy 2 + xy 3 − 2x2 y 2
(a) determinare l’equazione del piano tangente al grafico di f nel punto (1, 0);
√
(b) determinare la derivata direzionale di f nel punto (1, 0) lungo la direzione (−1, 2).
(c) data la curva γ(t) = (log t, 3 + t3 ), calcolare la derivata direzionale di f nel punto
γ(1) lungo la direzione γ 0 (1).
8. Data la funzione
f (x, y) = arctan (|x + 2y|(x − y))
(a) studiare la differenziabilità in (3, 1);
(b) determinare per quali valori di α ∈ R, la derivata direzionale di f nel punto (1, −1),
lungo la direzione (π, α), è uguale a 3.
9. Date la funzione f (x, y, z) = 2x+y+z e la curva γ(t) = t~i + (1 + t)~j + 3t2~k, calcolare
∂f
(1, −1, 3).
∂γ 0 (0)
10. Supposto che il grafico della funzione f (x, y) = 5 − x2 − 2y 2 rappresenti una montagna e
che il sostegno di una curva di equazione polare ρ(θ) = θ2 rappresenti un sentiero che si
sta percorrendo, con quale velocità si perde quota?
11. Nel vuoto, il campo elettrico E si può esprimere come (meno )gradiente di una funzione
scalare U : R3 → R, detto potenziale elettrostatico.
Noto che, il potenziale elettrostatico di una carica puntiforme q posta in (0, 0, 0) è dato da
k
U (x, y, z) = p
x2 + y 2 + z 2
(k costante), calcolare il campo elettrico generato da q.