Dipolo elettrico
C a p i t o l o
4
Se un sistema possiede carica complessiva nulla può generare
nello spazio campi elettrici?
La risposta è affermativa: basta che esso sia localmente carico
Esempio: una molecola di acqua
Z
XYZ
Quale sarà il caso più semplice?
Q
D
2
Y
X
Q
D
Z
XYZ
Q
D
Dipolo Elettrico
2
Y
X
Q
D
Φ(r ) =
Caso particolare:
⎧⎪
1
1
q⎨
−
4πε 0 ⎪⎩ x 2 + y 2 + (z − d)2
⎫⎪
⎬
2
2
2
x + y + (z + d) ⎪⎭
1
R >> 2d
possiamo sviluppare in serie l’espressione per il potenziale
2zd ⎞
⎛
x 2 + y 2 + (z ± d)2 = R 2 ± 2zd + d 2 R 2 ± 2zd = R 2 ⋅ ⎜ 1 ± 2 ⎟
⎝
R ⎠
Z
XYZ
Q
D
2
Y
X
Q
⎧
⎪⎪
1
1
1
Φ(r )
q⎨
−
4πε 0 ⎪
2zd
2zd
R 1− 2
R 1+ 2
⎪⎩
R
R
⎫
⎪⎪
⎬
⎪
⎪⎭
(1 + x )−1/2 1 −
x
2
D
Ricordando che:
Φ(r )
1 q ⎧⎛
zd ⎞ ⎛
zd ⎞ ⎫
1
2zd
1
+
−
1
−
=
q
⎨⎜
⎟ ⎜
⎟⎬
4πε 0 R ⎩⎝
R2 ⎠ ⎝
R 2 ⎠ ⎭ 4πε 0 R 3
Solo il prodotto “2dq” può essere
sperimentalmente determinato mantenendosi a
grande distanza
Φ(r )
1
z
2dq 3
4πε 0
R
Non ha simmetria sferica
Dipende dall’inverso del
quadrato della distanza
Se l’unico parametro caratterizzante il sistema estraibile da
misure è “2dq” , occorre introdurlo esplicitamente
Momento dipolare
p = 2dq
Φ(r )
1
z
p 3
4πε 0 R
Z
Se fossimo obbligati a restare a grande distanza non verrebbe in
mente l’introduzione di “cariche” e distanze”, se restassimo sempre
a piccola distanza quanto sopra sarebbe semplicemente errato
Q
In coordinate sferiche:
Lineare in “d” in quanto per
‘d’ tendente a zero
otterremmo un oggetto
neutro
Φ(r )
Riflette la simmetria del
sistema di cariche
cos (θ )
1
p
4πε 0
R2
Lineare in “q” per
l’additività dei potenziali
Q
D
X
XYZ
2
F
Q
D
All’aumentare della distanza diviene
rapidamente indistinguibile da un
oggetto neutro
Y
Si è ricavata l’espressione del potenziale scegliendo un opportuno sistema di
coordinate, scelto in modo che i calcoli siano semplici.
Quale sarà l’espressione in un
generico sistema di coordinate?
Z
Invece di fare esplicitamente il calcolo,
ragioniamo come segue
Q
• In un determinato punto dello spazio il
valore del potenziale non dipende dal
sistema di coordinate usato per ricavarlo
XYZ
Q
Y
X
• È una quantità scalare
• Vedere se è possibile riscrivere l’espressione
trovata per il potenziale in termini di
grandezze definibili indipendentemente dal
particolare sistema di coordinate scelto
Un esempio: il prodotto scalare di due vettori
A ⋅ B = Ax Bx + Ay By + Az Bz
A ⋅ B = A ⋅ B ⋅ cos (θ )
Abbiamo bisogno di scegliere un sistema di coordinate
Non abbiamo bisogno di un sistema di coordinate;
basta una riga ed un goniometro
Nel primo caso, scegliendo un opportuno
sistema di coordinate, l’espressione si può A ⋅ B = Ax Bx + 0 ⋅ By + 0 ⋅ Bz = Ax Bx
semplificare
Invertiamo il ragionamento:
Se, in un dato sistema di coordinate, ho una espressione del tipo
il cui risultato so essere indipendente
ax ⋅ bx = s
dalla scelta del sistema di coordinate,
posso domandarmi se sia l’espressione di un prodotto
scalare in quel particolare sistema di coordinate
Se è vero, posso sostituirla con: s = a ⋅ b ⋅ cos (θ )
ottenendo così una espressione valida in qualsiasi sistema di
coordinate
Z
XYZ
Q
Q
D
X
Φ(r )
2
F
Q
D
cos (θ )
1
p
4πε 0
R2
Y
R : modulo vettore
posizione del punto
Distanza tra il punto centrale
del dipolo ed il punto dello
spazio
Il coseno compare nei prodotti scalari
Dovremo identificare due grandezze vettoriali formati tra loro
un angolo pari a θ
Z
XYZ
Q
Q
D
X
La prima è il vettore che porta
dal centro del dipolo al punto
2
F
Q
D
Y
Per la seconda notiamo che
p = 2dq
è il prodotto tra una quantità scalare “q” ed una distanza
“2d”, che è il modulo di un vettore.
Sorge quindi immediata l’attribuzione di un carattere vettoriale
al momento dipolare
Z
XYZ
2
Q
p = qD
P
Q
Y
localizzato nel punto di
mezzo tra le cariche
D : distanza tra le cariche
q : valore assoluto della
carica di una delle particelle
X
Φ(r )
1
4πε 0
p⋅R
1 p ⋅ eR
=
3
R
4πε 0 R 2
Per essere valutata non ha bisogno di un particolare
sistema di coordinate: quindi è valida in generale
Z
XYZ
Q
D
1
z
E = −∇Φ ( r ) = −
p ⋅∇
4πε 0
x 2 + y2 + z 2
(
2
Y
X
Q
D
Campo elettrico di un dipolo
)
3/2
⎧
p 3zx
p 3cos (θ ) sin (θ ) cos (φ )
=
⎪ Ex =
4πε 0 R 5 4πε 0
R3
⎪
⎪⎪
p 3zy
p 3cos (θ ) sin (θ ) sin (φ )
E
=
=
⎨ y
5
3
4
πε
R
4
πε
R
0
0
⎪
2
⎪
p 3z 2 − R 2
p 3cos (θ ) − 1
⎪ Ez =
=
5
4πε 0
R
4πε 0
R3
⎪⎩
Come è diretto il campo?
⎧
p 3zx
p 3cos (θ ) sin (θ ) cos (φ )
=
⎪ Ex =
5
4πε 0 R
4πε 0
R3
⎪
⎪⎪
p 3zy
p 3cos (θ ) sin (θ ) sin (φ )
=
⎨ Ey =
5
4πε 0 R
4πε 0
R3
⎪
2
⎪
p 3z 2 − R 2
p 3cos (θ ) − 1
⎪ Ez =
=
4πε 0
R5
4πε 0
R3
⎪⎩
Ex i + Ey j =
Ez k =
Come è diretto?
p 3cos (θ ) sin (θ )
p 3cos (θ ) sin (θ )
cos (φ ) i + sin (φ ) j =
ζ
4πε 0
R3
4πε 0
R3
p 3cos (θ )
4πε 0
R3
(
2
)
Z
−1
k
Quindi il campo giace nel
piano definito dal dipolo e dal
punto considerato
XYZ
Q
Q
D
X
2
z
Z
F
Q
D
Y
Z
Si poteva prevedere che il
campo non ha componente
perpendicolare al piano?
%Z
%Z
Z
Z
XYZ
Q
Φ(r )
cos (θ )
1
p
4πε 0
R2
Q
D
X
2
F
Q
D
Y
Analogamente a quanto fatto per il potenziale, svincoliamoci dal
sistema di coordinate
Eζ ζ =
p 3cos (θ ) sin (θ )
ζ
4πε 0
R3
2
p 3cos (θ ) − 1
k
4πε 0
R3
Ez k =
Scriveremo
Z
Q
2
p 3cos (θ ) sin (θ )
p 3cos (θ ) − 1
2
ζ+
k=
3
3
Q
4πε 0
R
4πε 0
R
D
p 1
=
3cos (θ ) ⎡⎣sin (θ )ζ + cos (θ ) k ⎤⎦ − k
z
3
4πε 0 R
Z
F
Q
D
X
XYZ
E = Eζ ζ + Ez k =
(
)
p 1
1 3( p ⋅ eR ) eR − p
E=
3cos (θ ) eR − k =
3
4πε 0 R
4πε 0
R3
(
)
Y
Se il sistema è composto
da numerose cariche?
P
RI
R
DQ
Φ(r ) =
1
qi
∑
4πε 0 i ri
I
DI
/
distanza della generica carica
dal punto in considerazione
Se il punto “p” è lontano dalle cariche, posso scrivere una
espressione approssimata per le distanze ri
P
ri r − di ⋅ er
RI
R
DQ
/
I
DI
Ottenendo:
e, quindi
1
dqi
1
dqi ⎛
di ⋅ er ⎞
Φ(r )
1+
∑
∑
⎜
4πε 0 i r − di ⋅ er i 4πε 0 i r ⎝
r ⎟⎠
⎞
⎛
dqi di ⎟ ⋅ er
∑
⎜
⎠
1 Qtot
1 ⎝ i
Φ(r )
+
+…
2
4πε 0 r
4πε 0
r
Potenziale di una carica pari alla carica
totale del sistema , posta nell’origine
Potenziale dipolare equivalente a
quello di un dipolo posto nell’origine
Cosa accade se scelgo un diverso punto per origine?
Qtot non cambia, “r” cambia
Il valore del primo dei due
termini cambia
Dato che il potenziale è uno scalare, occorre che la variazione
del primo termine sia compensata da una variazione uguale ed
opposta del secondo
In generale quindi:
∑ dqi di
i
dipende dalla scelta del sistema di coordinate
Vi è una eccezione, quando la carica totale è nulla
P
RI
R
DQ
/
I
DI
A
D@I
/@
'
di = a + di
'
'
∑ dqi di = ∑ dqi a + di = aQtot + ∑ dqi di
i
Se la carica totale è nulla:
i
(
p = ∑ dqi di
i
caratteristico della distribuzione
)
i
Il campo dipolare è sempre una approssimazione di quello
reale?
Esiste una situazione in cui il campo è esattamente dipolare?
Q
F
σ (θ , φ ) = σ 0 cos (θ )
Valutare il campo elettrico
All’estero della sfera
All’interno della sfera
Per evitare calcoli veramente complessi, domandiamoci:
La distribuzione di carica data può essere ottenuta tramite
somma di semplici distribuzioni di carica
Se compenetro due nubi di carica a forma sferica e di identico
raggio cosa ottengo?
Q
2
DH
H
D
2
2
2
D
D Q
( R − dh )
da cui:
2
= R 2 + δ 2 − 2δ R cos (θ )
dh = δ cos (θ )
σ = ρdh = ρδ cos (θ ) = σ 0 cos (θ )
Il campo all’esterno
Somma dei campi di due distribuzioni sferiche, ciascuno dei
quali identico a quello di una carica puntiforme localizzata nel
centro della distribuzione
I due centri sono a distanza “δ” che è
DH
2
molto minore di R, per cui il campo
Q
2
esterno ha andamento dipolare
D
Φ(r ) =
Φ(r ) =
1
3 cos (θ )
σ 0π R
3πε 0
r2
cos (θ )
1
1
4
3 cos (θ )
p
=
δρ π R
2
4πε 0
r
4πε 0
3
r2
δρ = σ 0
4
p = σ 0π R 3
3
Il campo all’interno
2
1
E (r ) =
ρ r ⋅ er
3ε 0
1
1
1
E (r ) =
ρ r+ −
ρ r− =
ρ ⋅ ( r+ − r− )
3ε 0
3ε 0
3ε 0
2
D
All’interno di una sfera uniformemente carica:
1
1
E (r ) =
ρ ⋅ ( r+ − r− ) = −
ρ ⋅δ
3ε 0
3ε 0
1 1
E (r ) = −
p
3
4πε 0 R
Quando il momento di dipolare è nullo?
p = ∑ dqi di = 0
i
Φ(r ) =
⎞
xi x j
1 ⎛Q p⋅r 1
+ 3 + ∑ qi, j 5 + …⎟
⎜
4πε 0 ⎝ r
r
2 i, j
r
⎠
momento quadrupolare
p = ∫ r ⋅ ρ ( r ) ⋅ dv
V
qi, j =
∫(
V
)
3xi x j − r 2δ i, j ρ ( r ) dv
Interazione di un dipolo con un campo esterno
F = qE ( +q ) − qE ( −q ) = q E ( +q ) − E ( −q )
(
%
P
⎛ ∂Ei ⎞
E ( +q ) − E ( −q ) = ∑ ⎜
δ xj
⎟
j ⎝ ∂x j ⎠
(− q)
⎛ ∂Ei ⎞
F = ∑⎜
pj
⎟
j ⎝ ∂x j ⎠
(− q)
Nel caso più semplice:
⎛ ∂E ⎞
F=⎜ ⎟ p
⎝ ∂y ⎠
Se “p” è diretto come il campo:
Forza diretta verso la zona ove il campo è più intenso
)
Se il dipolo non è diretto come il campo
%
P
&
&
Momento di forza
τ = δ × qE = p × E
Energia di un dipolo
U = q ⋅ Φ ( +q ) − q ⋅ Φ ( −q ) = qδ ⋅ ∇Φ
( )(
U = −p⋅E
− q)
