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Legge di Gauss

Flusso

Legge di Gauss e Legge di Coulomb

Uso della L. di Gauss per determinare E

Proprietà dei conduttori
Flusso
 
Φ E = E ⋅ ∆S= E ∆S cosθ Flusso [Nm2/C]


 
Φ
=
lim
E
⋅
∆
=
S
E
⋅
d
S
∑
E
i
i
∫∫
i
∆ →0
Si
S
 
Φ E= ∫∫ E ⋅ dS=
S
Flusso

ˆ
E
⋅
n
∫∫ dS=
S
∫∫ E cosθ dS
S
Se la superficie è chiusa:
 
Φ=
E
⋅
d
S
E

∫∫
S
Legge di Gauss
  1
∫∫ E ⋅ dS =∫∫∫ ρ dv

Qint
ΦE =
ε0
ε0
S
Vint
L. di Gauss
ΦE
 
⋅ dS

∫∫ E=
Sfera

E=
dS

∫∫ E=
r
Sfera
q
4πε 0 r
2
rˆ
Er 
dS Er (4π r )
∫∫=
2
Sfera
L. di Gauss dalla L. di Coulomb

E=
q
q
rˆ E (r1,2 )[4π r1,2 ] =
2
4πε 0 r
2
ε0
Carica esterna alla superficie:
 
Φ1 = 
∫∫ E ⋅ dS =
S1
q
∫∫ − EdS = ∫∫ − 4πε r
S1
q
=
−
4πε 0 r12
=
Φ2
q
4πε 0 r2
2
∆S 2
∆S1 r12
= 2
∆S 2 r2
S1
2
dS =
0 1
q
−
∆S1
2
∫∫S dS =
4πε 0 r1
1
Φ 2 = −Φ1
0
ΦE =
L. di Gauss dalla L. di Coulomb
Carica interna alla
superficie:
 
S
Φ=
E

∫∫ E ⋅ d=
Sfera
∫∫ E dS=
r
Sfera
q
q
2
=
4π r
2
ε0
4πε 0 r
Er
∫∫ dS=
Sfera
L. di Gauss dalla L. di Coulomb
Cariche sia interne
che esterne:

 

=
ΦE 
dS
∫∫ (E1 + E2 + E3 + ...) ⋅=
Schiusa






Φ E= 
∫∫ E1 ⋅ dS + 
∫∫ E2 ⋅ dS + 
∫∫ E3 ⋅ dS + ...=
Schiusa
ΦE =
q1
ε0
Schiusa
+
q2
ε0
+
q3
ε0
Schiusa
+ 0 + 0 + ...
Qint
ΦE =
ε0
Distribuzione lineare di cariche
 
Φ=
S Er (2π rh)
E

∫∫ E ⋅ d=
Qint
ΦE =
ε0
λh
Er 2π rh =
ε0
λ
Er =
2πε 0 r
Campo elettrico
Distribuzione lineare:

dE =dE y ˆj − dEz kˆ =(dEcosθ )ˆj − (dEsenθ )kˆ

1
λ dz
rˆ
dE =
2
2
4πε 0 ( y + z )
Campo elettrico

λ dz
1
rˆ
dE =
2
2
4πε 0 ( y + z )
Ey
λy l
dz
dE y
∫=
4πε 0 −∫l ( y 2 + z 2 )3/ 2
+l
l
dz
z
2l
=
∫−l ( y 2 + z 2 )3/ 2 y=
2
y 2 + z 2 −l y 2 y 2 + l 2
1 λ
l
Ey =
2πε 0 y l 2 + y 2
se l>>y (R)
cosθ =
y
y2 + z2
1 λ
E≈
2πε 0 R
Distribuzione piana di cariche
 
Φ=
S Er 2 A
E

∫∫ E ⋅ d=
Qint = σ A
σA
2 Er A =
ε0
σ
Er =
2ε 0
Proprietà dei conduttori
Eint = 0
(in condizioni statiche)
la carica è sulla superficie
Φ E = En ∆S
σ∆S
En ∆S =
ε0
σ
En =
ε0
∑ q=
σ∆S
Gabbia di Faraday