eserc. 16

Esercizio n.16
Due cariche q1=8q e q2=-2q sono poste sull’ asse x a
distanza L=20 cm.
Calcolare i punti dell’ asse x in cui
• Il potenziale elettrico è nullo
• Il campo elettrico è nullo
Soluzione:
Scegliamo il sistema di riferimento con origine sulla carica
q1.
Il potenziale in un punto generico P≡(x,0) dell’ asse x, per il
principio di sovrapposizione, vale:
V ( P) =
1
4πε o
q1
q2
8q − 2 q
q
1
+
=
+
=
4πε o x
2πε o
x x−L
x−L
y
L
q1
P
x
x
q2
4
1
−
x x−L
V(P)=0 quando
4
1
4
1
(1)
−
=0
=
x x−L
x
x−L
Per risolvere la (1) bisogna distinguere vari casi, tenendo conto della definizione della funzione modulo
x se x ≥ 0
x =
:
− x se x < 0
•
se x > L, cioè se P è a destra di q2 come in figura, allora la (1) diventa
•
4
1
4
x = L = 26,67cm
=
x x−L
3
se 0 < x < L , cioè se P si trova tra q1 e q2, allora la (1) diventa
•
4
1
4
x = L = 16cm
=
x − (x − L )
5
se x < 0 , cioè se P si trova a sinistra di q1, allora la (1) diventa
4
1
4
x = L = 26,67cm
=
3
− x − (x − L )
che non è una soluzione accettabile perché non verifica la condizione x<0: a sinistra di q1 il potenziale non si
annulla mai, come è facile capire tenendo conto che il potenziale della carica 8q ha in questa zona valore
sempre maggiore del valore assoluto del potenziale della carica –2q.
In un punto generico P≡(x,0) dell’ asse x, il campo elettrostatico generato dalle due cariche è diretto come l’asse x e
vale
E ( P) =
1
4πε o
q1
x
2
uˆ1 +
q2
x−L
2
uˆ 2 =
q
2πε o
4
x
2
uˆ1 −
1
(x − L )2
uˆ 2
dove û i è il versore che individua la posizione di P rispetto alla carica qi.
In particolare, possiamo scrivere
x
x−L
uˆ x dove û x è il versore dell’ asse x.
uˆ1 = uˆ x e uˆ 2 =
x
x−L
Il campo è nullo quando
x−L
4 x
1
uˆ x = 0
−
2
2
2πε o x x (x − L ) x − L
Per risolvere la (2) bisogna distinguere vari casi,
E ( P) =
•
q
x−L
4 x
1
=
2 x
2 x−L
x
(x − L )
se x > L, cioè se P è a destra di q2 come in figura, allora la (2) diventa
(2)
4
4
x
•
x1 = 2 L = 40cm
1
2
L = 13,34cm
3
la soluzione x2 non è accettabile non verificando la condizione x > L
se 0 < x < L , cioè se P si trova tra q1 e q2, allora la (2) diventa
x2
•
=
2
(x − L )2
=−
x2 =
1
( x − L )2
che non ha soluzioni reali essendo ∆ = 64 L2 − 80 L2 ; quindi tra le due cariche non c’ è alcun punto dove in
campo elettrico è nullo, come è ovvio visto che in questa zona i campi di q1 e q2 sono concordi.
se x < 0 , cioè se P si trova a sinistra di q1, allora la (2) diventa
−
4
1
=−
x
(x − L )
x1 = 2 L = 40cm
2
L = 13,34cm
3
nessuna di queste due soluzioni è accettabile perché non verifica la condizione x<0: a sinistra di q1 il campo
non si annulla mai, come era prevedibile tenendo conto che il campo della carica 8q, pur essendo opposto a
quello della carica –2q, ha modulo sempre maggiore.
x2 =
In conclusione l’ unico punto dell’ asse x in cui il campo elettrico si annulla è il punto x=40 cm (che dista da 20 cm da
q2).