DENSITà DI CARICA E FORMA gEOMETRICA
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Densità di carica e forma geometrica F i s i c a s p e r i m e n t a l e I I Relazione tra densità superficiale di carica e forma geometrica di un conduttore DQ Se la carica è distribuita su di un piano “infinito” La forza agente sulla carica “dq” contenuta nell’elemento di superficie sarà nulla in quanto la distribuzione di carica è uniforme Supponiamo adesso di tagliare in due la lastra LINEADITAGLIO e di asportare la parte destra DQ Adesso prevarranno le forze repulsive dovute alle cariche poste a sinistra del ”dq” considerato Per cui la carica verrà sospinta verso il bordo Quindi: In una lastra finita la densità superficiale di carica sarà maggiore ai bordi rispetto che al centro. Idem per il campo elettrico Conduttori con punte aguzze Ci attenderemo che sull’estremo di una punta aguzza la densità superficiale di carica sia maggiore che altrove In un conduttore all’equilibrio infatti σ ( x ) ds 1 Φ(r ) = = Φ0 ∫ 4πε 0 S r − x Nella punta sono presenti principalmente le sole cariche molto vicine, per cui la densità di carica deve essere elevata, in modo tale che il valore dell’integrale sia indipendente dal punto considerato Dato che il campo elettrico è legato alla densità superficiale, sarà pure esso elevato Valutazione numerica 1 2 1 2 Φ ( r1 ) = Φ 0 = 1 Due sfere metalliche connesse tramite un lungo e sottilissimo filo metallico Qtot = Q1 + Q2 + Q3 Q1 + Q2 σ ( x ) ds σ 1 ( x ) ds1 1 1 1 = + 4πε 0 ∫S r1 − x 4πε 0 S∫1 r1 − x 4πε 0 Φ ( r1 ) = Φ 0 σ 1 ( x ) ds1 1 1 + ∫ 4πε 0 S1 r1 − x 4πε 0 σ 2 ( x ) ds2 σ 1 ( x ) ds1 1 ∫S r1 − x 4πε 0 S∫ r1 − x 2 1 Analogamente σ x 1 2 ( ) ds2 Φ ( r2 ) = Φ 0 ∫ 4πε 0 S2 r2 − x σ 2 ( x ) ds2 σ 3 ( x ) ds3 1 ∫S r1 − x + 4πε 0 S∫ r1 − x 2 3 Se sono sfere: Φ ( r1 ) = Φ 0 Φ ( r2 ) = Φ 0 1 Q1 4πε 0 R1 1 Q2 4πε 0 R2 Quindi Q1 Q2 = R1 R2 Le cariche totali stanno tra loro nel rapporto dei raggi 4π R12σ 1 4π R22σ 2 = R1 R2 R1σ 1 = R2σ 2 R1E1 = R2 E2 Densità di carica e campi elettrici stanno come l’inverso dei raggi Il parametro geometrico che conta è il raggio di curvatura della superficie Come si può rendere l’aria conduttrice Le molecole sono neutre a temperatura ordinaria Normalmente l’aria è un buon isolante 2A IO GG M OS # ICO -OLECOLA -OLECOLA E Normalmente l’elettrone si ricombina con lo ione positivo Se è presente un campo elettrico L’elettrone verrà accelerato dal campo Verrà allontanato dallo ione Gli verrà fornita energia Libero cammino medio λ U = e⋅E ⋅λ Se U > U ionizzazione l’elettrone, urtando una molecola neutra, potrà estrarre da essa un suo elettrone Gli elettroni liberi saranno adesso due, ........ L’aria diviene conduttrice Per quale valore del campo elettrico ciò avviene? U = e ⋅ E ⋅ λ ≈ 1 ÷ 10 eV occorre valutare il libero cammino medio pV = nRT n =1 R 8.31 J/mole K o Vmole 25 litri vmolecola cubetto di lato p ≈ 10 5 N/m 2 Vmole 25 ⋅10 −3 −26 3 = 4 ⋅10 m NA 6 ⋅10 23 l 3.5 ⋅10 −9 m -OLECOLA %LETTRONE Quale sarà la probabilità che l’elettrone urti la molecola? ( ( ) ) −10 2 1.5 ⋅10 Smolecola π 2 l 3.5 ⋅10 −9 2 ≈ 1.8 ⋅10 −3 Quanti cubetti occorrerà impilare per avere oscurata metà dell’area superficiale? 1 = π ⋅η 2 1 η= = 270 2π λ = η ⋅ l 270 ⋅ 3.5 ⋅10 m ≈ 10 m −9 −6 U = e ⋅ E ⋅ λ ≈ 1 ÷ 10 eV E≈ 1 ÷ 10 ≈ 10 6 ÷ 10 7 V/m λ Per campi elettrici di tale valore l’aria cessa di essere un isolante e diviene un conduttore Una semplice applicazione: il parafulmine È difficile ottenere simili campi elettrici?
