Densità di carica e
forma geometrica
F i s i c a
s p e r i m e n t a l e
I I
Relazione tra densità superficiale di carica e forma geometrica
di un conduttore
DQ
Se la carica è distribuita su di
un piano “infinito”
La forza agente sulla carica “dq” contenuta
nell’elemento di superficie sarà nulla
in quanto la distribuzione di carica è uniforme
Supponiamo adesso di tagliare in due la lastra
LINEADITAGLIO
e di asportare la parte destra
DQ
Adesso prevarranno le forze repulsive
dovute alle cariche poste a sinistra del
”dq” considerato
Per cui la carica verrà sospinta verso il bordo
Quindi:
In una lastra finita la densità superficiale di carica sarà
maggiore ai bordi rispetto che al centro.
Idem per il campo elettrico
Conduttori con punte aguzze
Ci attenderemo che sull’estremo di una
punta aguzza la densità superficiale di
carica sia maggiore che altrove
In un conduttore all’equilibrio infatti
σ ( x ) ds
1
Φ(r ) =
= Φ0
∫
4πε 0 S r − x
Nella punta sono presenti principalmente le sole cariche molto
vicine, per cui la densità di carica deve essere elevata, in modo
tale che il valore dell’integrale sia indipendente dal punto
considerato
Dato che il campo elettrico è legato alla densità superficiale,
sarà pure esso elevato
Valutazione numerica
1
2
1
2
Φ ( r1 ) = Φ 0 =
1
Due sfere metalliche connesse tramite
un lungo e sottilissimo filo metallico
Qtot = Q1 + Q2 + Q3 Q1 + Q2
σ ( x ) ds
σ 1 ( x ) ds1
1
1
1
=
+
4πε 0 ∫S r1 − x
4πε 0 S∫1 r1 − x
4πε 0
Φ ( r1 ) = Φ 0
σ 1 ( x ) ds1
1
1
+
∫
4πε 0 S1 r1 − x
4πε 0
σ 2 ( x ) ds2
σ 1 ( x ) ds1
1
∫S r1 − x 4πε 0 S∫ r1 − x
2
1
Analogamente
σ
x
1
2 ( ) ds2
Φ ( r2 ) = Φ 0
∫
4πε 0 S2 r2 − x
σ 2 ( x ) ds2
σ 3 ( x ) ds3
1
∫S r1 − x + 4πε 0 S∫ r1 − x
2
3
Se sono sfere:
Φ ( r1 ) = Φ 0
Φ ( r2 ) = Φ 0
1 Q1
4πε 0 R1
1 Q2
4πε 0 R2
Quindi
Q1 Q2
=
R1 R2
Le cariche totali stanno tra
loro nel rapporto dei raggi
4π R12σ 1 4π R22σ 2
=
R1
R2
R1σ 1 = R2σ 2
R1E1 = R2 E2
Densità di carica e campi elettrici
stanno come l’inverso dei raggi
Il parametro geometrico che conta è il raggio di curvatura della
superficie
Come si può rendere l’aria conduttrice
Le molecole sono neutre
a temperatura ordinaria
Normalmente l’aria è
un buon isolante
2A
IO
GG
M
OS
#
ICO
-OLECOLA
-OLECOLA
E
Normalmente l’elettrone si ricombina con lo ione positivo
Se è presente un campo elettrico
L’elettrone verrà accelerato dal campo
Verrà allontanato
dallo ione
Gli verrà fornita
energia
Libero cammino medio λ
U = e⋅E ⋅λ
Se
U > U ionizzazione
l’elettrone, urtando una
molecola neutra, potrà estrarre
da essa un suo elettrone
Gli elettroni liberi saranno adesso due, ........
L’aria diviene conduttrice
Per quale valore del campo elettrico ciò avviene?
U = e ⋅ E ⋅ λ ≈ 1 ÷ 10 eV
occorre valutare il libero cammino medio
pV = nRT
n =1
R 8.31 J/mole K o
Vmole 25 litri
vmolecola
cubetto di lato
p ≈ 10 5 N/m 2
Vmole 25 ⋅10 −3
−26
3
=
4
⋅10
m
NA
6 ⋅10 23
l 3.5 ⋅10 −9 m
-OLECOLA
%LETTRONE
Quale sarà la probabilità che
l’elettrone urti la molecola?
(
(
)
)
−10 2
1.5 ⋅10
Smolecola
π
2
l
3.5 ⋅10 −9
2
≈ 1.8 ⋅10 −3
Quanti cubetti occorrerà impilare per avere oscurata metà
dell’area superficiale?
1
= π ⋅η
2
1
η=
= 270
2π
λ = η ⋅ l 270 ⋅ 3.5 ⋅10 m ≈ 10 m
−9
−6
U = e ⋅ E ⋅ λ ≈ 1 ÷ 10 eV
E≈
1 ÷ 10
≈ 10 6 ÷ 10 7 V/m
λ
Per campi elettrici di tale valore
l’aria cessa di essere un isolante
e diviene un conduttore
Una semplice
applicazione: il
parafulmine
È difficile ottenere simili
campi elettrici?
