Potenziali e campi di dipoli elettrici e magnetici Si vuole mostrare come si puo’ trovare l’andamento del campo elettrico e di quello magnetico, nel limite di grandi distanze, per il caso di un dipolo elettrico e di un dipolo magnetico. Dipolo elettrico Schematizziamo il dipolo approssimato come costituito da due cariche puntiformi +q e –q, poste a una distanza d l’una dall’altra. 1) Potenziale elettrostatico Usando il principio di sovrapposizione, e nel limite di distanze grandi rispetto a d: V ( P) = 1 1 1 1 r2 − r1 1 d cos θ1 ≈ − = 4πε 0 r1 r2 4πε 0 r2 r1 4πε 0 r 2 Introducendo il momento di dipolo elettrico: p = qd → V ( P) ≈ 2) Campo elettrostatico Dalla definizione 1 qd cos θ 1 p cos θ 1 p ⋅ uˆ r = = 2 2 4πε 0 r 4πε 0 r 4πε 0 r 2 E = −∇V ∇V = ∂V ˆ ∂V ˆ ∂V ˆ i+ j+ k ∂x ∂y ∂z V ( x, y , z ) = 1 p ⋅ uˆ r 1 p⋅r 1 px x + p y y + pz z = = 3 2 3 4πε 0 r 4πε 0 r 4πε 0 2 2 2 2 (x + y + z ) ∂V 1 px ( x + y + z = ∂x 4πε 0 2 2 2 ) 3 2 1 3 2 2 2 2 − ( p x x + p y y + pz z ) ( x + y + z ) 2 x 2 2 2 2 3 (x + y + z ) 2 2 2 ∂V 1 px ( x + y + z ) − ( px x + p y y + pz z ) 3x → = 5 ∂x 4πε 0 2 2 2 2 + + x y z ( ) → ∂V 1 p x r 2 − 3xp ⋅ rˆ 1 px x = = 3 − 3 5 p ⋅ r = − Ex 5 ∂x 4πε 0 r 4πε 0 r r → ∂V 1 py y = − 3 5 p ⋅ r = −Ey 3 ∂y 4πε 0 r r → ∂V z 1 pz = 3 − 3 5 p ⋅ r = − Ez ∂z 4πε 0 r r → E = −∇V = 1 3r ( p ⋅ r ) p − 3 4πε 0 r 5 r Note: a) Il vettore E, essendo una loro combinazione lineare, sta nel piano individuato dai vettori p ed r: quindi al variare di r possiede simmetria assiale attorno al vettore p e non ha componenti ortogonali al piano di cui sopra b) Linee di campo: considerando il piano xz (equivalente a ogni altro piano ruotato attorno all’asse z, lungo il quale sia orientato il dipolo), il campo E in un dato punto ha una componente radiale Er e una trasversale Eθ dr La curva indicata e’ una linea di campo di E se in un suo punto generico E le e’ tangente: E z dz = E x dx Quindi l’equazione differenziale delle linee di forza nel piano xz e’: E dr → dx dz dz E z = → = Ex Ez dx E x 3z ( p ⋅ r ) − 5 dz r → = dx 3 x ( p ⋅ r ) − r5 3z ( p ⋅ r ) − r 2 pz pz 3z ( p ⋅ r ) − r 2 p z r3 = r5 = p x 3x ( p ⋅ r ) − r 2 p x 3 x ( p ⋅ r ) − r 2 p x r3 r5 Esprimendo x e z in termini di r e θ: z = r cos θ dr cos θ − r sin θ dθ 3cos 2 θ − 1 = → x = r sin θ dr sin θ + r cos θ dθ 3sin θ cos θ Sviluppando l’algebra: dr cos θ − r sin θ 3cos 2 θ − 1 θ d → = dr sin θ + r cos θ 3sin θ cos θ dθ dr 3cos2 θ − 1 dr → cos θ − r sin θ = sin θ + r cos θ dθ 3sin θ cos θ dθ 3cos2 θ − 1 3cos2 θ − 1 θ θ θ θ cos sin r sin r cos − − = 3sin θ cos θ 3sin θ cos θ dr 3cos2 θ − 1 3cos2 θ − 1 θ θ → cos − − r sin = r 3sin θ dθ 3cos θ → dr dθ dr 3cos2 θ − 3cos 2 θ + 1 3cos2 θ − cos 2 θ − sin 2 θ − r = r sin θ dθ 3cos θ 3sin θ dr 1 2 cos2 θ − sin 2 θ → = r + r sin θ dθ 3cos θ 3sin θ → dr 1 2 cos2 θ − sin 2 θ + 3sin 2 θ 1 = r = r 2 dθ 3cos θ 3sin θ 3sin θ dr 1 1 → = 2r dθ dθ cos θ sin θ 1 dr cos θ → = = cot θ dθ 2 r sin θ → Equazione differenziale a variabili separabili: la soluzione da’ la funzione r=r(θ), che rappresenta l’andamento delle linee di campo in coordinate polari 1 ln r = ln ( sin θ ) + C 2 → ln r = 2 ln ( sin θ ) + C = ln ( sin 2 θ ) + C → ln r = ln ( sin 2 θ ) + ln A, C = ln A → ln r = ln ( A sin 2 θ ) Prendendo l'esponenziale dei due membri: → r = A sin 2 θ Grafico polare della funzione ( = linee di campo di E): Dipolo magnetico Schematizziamo la situazione nel modo seguente: Consideriamo quindi una piccola spira quadrata, percorsa da una corrente i 1) Potenziale vettore Occorre sommare i quattro contributi che vengono dai quattro segmenti rettilinei della spira: approssimando, nel limite di P distante dalla spira, le distanze dal punto P degli elementi di ogni lato a quella del punto centrale del lato stesso, si ha: A (r) ≃ µ0 4π l l l l i 1 + 2 + 3 + 4 r1 r2 r3 r4 l1 = − l 3 l2 = −l4 1 1 l1 l 3 r −r + = l1 − = l1 3 1 r1 r3 r1r3 r1 r3 1 1 l l r −r → 2 + 4 = l2 − = l2 4 2 r2 r4 r2 r4 r2 r4 → Si consideri la figura seguente, per il calcolo delle differenze a numeratore: r r1 r3 l2 Dalla geometria si ha, con: r1 ≈ r3 ≈ r ≫ l 2 r1 = r3 + l 2 r1 = r3 + l 2 = r3 + l 2 + 2 ( r3 ⋅ l 2 ) 2 2 2 2 → r12 = r32 + l22 + 2 ( r3 ⋅ l 2 ) ≈ r32 + 2 ( r3 ⋅ l 2 ) → r32 − r12 = ( r3 − r1 ) ( r3 + r1 ) ≈ −2 ( r3 ⋅ l 2 ) → r3 − r1 ≈ −2 ( r3 ⋅ l 2 ) = − r ⋅ l 2 2r r l2 ⋅ r r l ⋅r r4 − r2 ≈ 1 r r3 − r1 ≈ − Quindi: µ0 4π l l l l i 1 + 2 + 3 + 4 r1 r2 r3 r4 µ i → A ( r ) ≃ 0 3 l 2 ( l1 ⋅ r ) − l1 ( l 2 ⋅ r ) 4π r A (r) ≃ Identita’ vettoriale (non dimostrata): A × ( B × C) = B ( A ⋅ C) - C ( A ⋅ B ) → l 2 ( r ⋅ l1 ) − l1 ( r ⋅ l 2 ) = r × ( l 2 × l1 ) = ( l1 × l 2 ) × r l1 × l 2 = S area orientata delimitata dalla spira → A (r) ≃ µ 0 iS × r 4π r 3 µ = iS momento di dipolo magnetico della spira → A (r) ≃ µ0 µ × r 4π r 3 2) Campo magnetostatico Troviamo il campo B dal potenziale vettore: µ r µ×r µ B = ∇ × A = 0 ∇ × 3 = 0 ∇ ×µ × 3 4π r r 4π a →B= µ0 ∇ × (a × b) 4π b Identita’ vettoriale (non dimostrata): ∇ × ( a × b) = ( b ⋅ ∇ ) a − ( a ⋅ ∇ ) b + a ( ∇ ⋅ b) − b ( ∇ ⋅ a) Calcoliamo i diversi termini: ( b ⋅ ∇ ) a = r ⋅ ∇ µ = 0, µ costante 3 r r ∂ ∂ ∂ xˆi + yˆj + zkˆ µ + µ + µ = x y z r 3 ∂x ∂y ∂z r3 ∂r r 3 − x 3r 2 3 2 3 2 2 2 2 −1 ∂x = r − x 3r xr = r − 3rx = r − 3 x = 1 − 3x i = r6 r6 r6 r5 r3 r5 ∂r − y 3r 2 ∂x = − 3 xy = j 6 r r5 3 xz =− 5 k r ∂r r 3 − x 3r 2 −1 3 2 3 2 2 2 ∂x = r − x 3r xr = r − 3rx = r − 3 x = − 3 xy = i r6 r6 r6 r5 r5 ∂r − y 3r 2 2 ∂x = 1 − 3 y = j r6 r 3 r5 3 yz =− 5 k r 3 xz =− 5 i r 3 yz =− 5 j r 1 3z 2 = 3− 5 k r r (a ⋅ ∇) b = (µ ⋅ ∇) ∂ x ∂x r 3 ∂ ∂x ∂ ∂x y r3 z r3 ∂ x ∂y r 3 ∂ y ∂y r 3 ∂ z ∂y r 3 ∂ x ∂z r 3 ∂ y ∂z r 3 ∂ z ∂z r 3 (a ⋅ ∇) b = (µ ⋅ ∇) r r3 1 3x 2 3xy 3xz = µ x 3 − µ x 5 − µ y 5 − µ z 5 ˆi r r r r 1 3y2 3 xy 3 yz + µ y 3 − µ y 5 − µ x 5 − µ z 5 ˆj r r r r 1 3z 2 3 xz 3 yz + µ z 3 − µ z 5 − µ x 5 − µ y 5 ˆj r r r r µ r r r = 3 − 3x µ x 5 − 3 y µ y 5 − 3z µ z 5 r r r r µ (µ ⋅ r) = 3 −3 5 r r r a (∇ ⋅ b) = µ ∇ ⋅ 3 r r ∂ x ∂ y ∂ z 1 3 x 2 1 3 y 2 1 3z 2 = + + = − + − + − r 3 ∂x r 3 ∂y r 3 ∂z r 3 r 3 r 5 r 3 r 5 r 3 r 5 3 3r 2 r → ∇⋅ 3 = 3 − 5 = 0 r r r r b ( ∇ ⋅ a) = 3 ( ∇ ⋅ µ) = 0 r ∇⋅ Quindi: B = ∇×A = µ0 µ×r µ ∇× 3 = 0 4π r 4π µ (µ ⋅ r) 3 −3 5 r r Poiche’ la dipendenza da distanza e angolo e’ la stessa di quella del dipolo elettrico, si ottengono le stesse linee di campo e proprieta’ del vettore E dipolo elettrico.