Potenziali e campi di dipoli elettrici e magnetici

Potenziali e campi di dipoli elettrici e magnetici
Si vuole mostrare come si puo’ trovare l’andamento del campo elettrico e di quello
magnetico, nel limite di grandi distanze, per il caso di un dipolo elettrico e di un dipolo
magnetico.
Dipolo elettrico
Schematizziamo il dipolo approssimato come costituito da due cariche puntiformi +q
e –q, poste a una distanza d l’una dall’altra.
1) Potenziale elettrostatico
Usando il principio di sovrapposizione, e nel limite di distanze grandi rispetto a d:
V ( P) =
1 1 1
1 r2 − r1
1 d cos θ1
≈
 − =
4πε 0  r1 r2  4πε 0 r2 r1
4πε 0 r 2
Introducendo il momento di dipolo elettrico:
p = qd
→ V ( P) ≈
2) Campo elettrostatico
Dalla definizione
1 qd cos θ
1 p cos θ
1 p ⋅ uˆ r
=
=
2
2
4πε 0
r
4πε 0 r
4πε 0 r 2
E = −∇V
∇V =
∂V ˆ ∂V ˆ ∂V ˆ
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z
V ( x, y , z ) =
1 p ⋅ uˆ r
1 p⋅r
1 px x + p y y + pz z
=
=
3
2
3
4πε 0 r
4πε 0 r
4πε 0
2
2
2 2
(x + y + z )
∂V
1 px ( x + y + z
=
∂x 4πε 0
2
2
2
)
3
2
1
3 2
2
2 2
− ( p x x + p y y + pz z ) ( x + y + z ) 2 x
2
2
2
2 3
(x + y + z )
2
2
2
∂V
1 px ( x + y + z ) − ( px x + p y y + pz z ) 3x
→
=
5
∂x 4πε 0
2
2
2 2
+
+
x
y
z
(
)
→
∂V
1 p x r 2 − 3xp ⋅ rˆ
1  px
x

=
=
 3 − 3 5 p ⋅ r  = − Ex
5
∂x 4πε 0
r
4πε 0  r
r

→

∂V
1  py
y
=
− 3 5 p ⋅ r  = −Ey

3
∂y 4πε 0  r
r

→
∂V
z
1  pz

=
 3 − 3 5 p ⋅ r  = − Ez
∂z 4πε 0  r
r

→ E = −∇V =
1  3r ( p ⋅ r ) p 
− 3
4πε 0  r 5
r 
Note:
a) Il vettore E, essendo una loro combinazione lineare, sta nel piano individuato
dai vettori p ed r: quindi al variare di r possiede simmetria assiale attorno al
vettore p e non ha componenti ortogonali al piano di cui sopra
b) Linee di campo: considerando il piano xz (equivalente a ogni altro piano
ruotato attorno all’asse z, lungo il quale sia orientato il dipolo), il campo E in
un dato punto ha una componente radiale Er e una trasversale Eθ
dr
La curva indicata e’ una linea di campo di E se in un suo punto generico E le
e’ tangente:
E z dz
=
E x dx
Quindi l’equazione differenziale delle linee di forza nel piano xz e’:
E dr →
dx dz
dz E z
=
→
=
Ex Ez
dx E x
3z ( p ⋅ r )
−
5
dz
r
→
=
dx 3 x ( p ⋅ r )
−
r5
3z ( p ⋅ r ) − r 2 pz
pz
3z ( p ⋅ r ) − r 2 p z
r3 =
r5
=
p x 3x ( p ⋅ r ) − r 2 p x 3 x ( p ⋅ r ) − r 2 p x
r3
r5
Esprimendo x e z in termini di r e θ:
z = r cos θ 
dr cos θ − r sin θ dθ 3cos 2 θ − 1
=
→
x = r sin θ 
dr sin θ + r cos θ dθ 3sin θ cos θ
Sviluppando l’algebra:
dr
cos θ − r sin θ
3cos 2 θ − 1
θ
d
→
=
dr
sin θ + r cos θ 3sin θ cos θ
dθ
dr
3cos2 θ − 1  dr

→
cos θ − r sin θ =
sin θ + r cos θ 

dθ
3sin θ cos θ  dθ


3cos2 θ − 1 
3cos2 θ − 1
θ
θ
θ
θ
cos
sin
r
sin
r
cos
−
−
=

3sin θ cos θ 
3sin θ cos θ

dr 
3cos2 θ − 1
3cos2 θ − 1 
θ
θ
→
cos
−
−
r
sin
=
r
3sin θ
dθ 
3cos θ 
→
dr
dθ
dr  3cos2 θ − 3cos 2 θ + 1 
3cos2 θ − cos 2 θ − sin 2 θ
−
r
=
r
sin
θ

dθ 
3cos θ
3sin θ

dr  1 
2 cos2 θ − sin 2 θ
→
=
r
+ r sin θ
dθ  3cos θ 
3sin θ
→
dr  1 
2 cos2 θ − sin 2 θ + 3sin 2 θ
1
=
r
=
r
2
dθ  3cos θ 
3sin θ
3sin θ
dr  1 
1
→
= 2r
dθ


dθ  cos θ 
sin θ
1 dr cos θ
→
=
= cot θ dθ
2 r
sin θ
→
Equazione differenziale a variabili separabili: la soluzione da’ la funzione
r=r(θ), che rappresenta l’andamento delle linee di campo in coordinate
polari
1
ln r = ln ( sin θ ) + C
2
→ ln r = 2 ln ( sin θ ) + C = ln ( sin 2 θ ) + C
→ ln r = ln ( sin 2 θ ) + ln A, C = ln A
→ ln r = ln ( A sin 2 θ )
Prendendo l'esponenziale dei due membri:
→ r = A sin 2 θ
Grafico polare della funzione ( = linee di campo di E):
Dipolo magnetico
Schematizziamo la situazione nel modo seguente:
Consideriamo quindi una piccola spira quadrata, percorsa da una corrente i
1) Potenziale vettore
Occorre sommare i quattro contributi che vengono dai quattro segmenti rettilinei della
spira: approssimando, nel limite di P distante dalla spira, le distanze dal punto P degli
elementi di ogni lato a quella del punto centrale del lato stesso, si ha:
A (r) ≃
µ0
4π
l l
l l 
i 1 + 2 + 3 + 4
 r1 r2 r3 r4 
l1 = − l 3
l2 = −l4
1 1
l1 l 3
r −r
+ = l1  −  = l1 3 1
r1 r3
r1r3
 r1 r3 
1 1
l
l
r −r
→ 2 + 4 = l2  −  = l2 4 2
r2 r4
r2 r4
 r2 r4 
→
Si consideri la figura seguente, per il calcolo delle differenze a numeratore:
r
r1
r3
l2
Dalla geometria si ha, con:
r1 ≈ r3 ≈ r ≫ l 2
r1 = r3 + l 2
r1 = r3 + l 2 = r3 + l 2 + 2 ( r3 ⋅ l 2 )
2
2
2
2
→ r12 = r32 + l22 + 2 ( r3 ⋅ l 2 ) ≈ r32 + 2 ( r3 ⋅ l 2 )
→ r32 − r12 = ( r3 − r1 ) ( r3 + r1 ) ≈ −2 ( r3 ⋅ l 2 )
→ r3 − r1 ≈ −2
( r3 ⋅ l 2 ) = − r ⋅ l 2
2r
r
l2 ⋅ r
r
l ⋅r
r4 − r2 ≈ 1
r
r3 − r1 ≈ −
Quindi:
µ0
4π
l l
l l 
i 1 + 2 + 3 + 4
 r1 r2 r3 r4 
µ i
→ A ( r ) ≃ 0 3  l 2 ( l1 ⋅ r ) − l1 ( l 2 ⋅ r ) 
4π r
A (r) ≃
Identita’ vettoriale (non dimostrata):
A × ( B × C) = B ( A ⋅ C) - C ( A ⋅ B )
→ l 2 ( r ⋅ l1 ) − l1 ( r ⋅ l 2 ) = r × ( l 2 × l1 ) = ( l1 × l 2 ) × r
l1 × l 2 = S area orientata delimitata dalla spira
→ A (r) ≃
µ 0 iS × r
4π r 3
µ = iS momento di dipolo magnetico della spira
→ A (r) ≃
µ0 µ × r
4π r 3
2) Campo magnetostatico
Troviamo il campo B dal potenziale vettore:


µ
r
 µ×r  µ
B = ∇ × A = 0 ∇ ×  3  = 0 ∇ ×µ
× 3

4π
r 
 r  4π
a 
→B=
µ0
∇ × (a × b)
4π
b

Identita’ vettoriale (non dimostrata):
∇ × ( a × b) = ( b ⋅ ∇ ) a − ( a ⋅ ∇ ) b + a ( ∇ ⋅ b) − b ( ∇ ⋅ a)
Calcoliamo i diversi termini:
( b ⋅ ∇ ) a = 
r

⋅ ∇  µ = 0, µ costante
3
r

r 
∂
∂
∂  xˆi + yˆj + zkˆ
µ
+
µ
+
µ
=
x
y
z
r 3  ∂x
∂y
∂z 
r3
∂r
r 3 − x 3r 2
3
2
3
2
2
2
2
−1
∂x = r − x 3r xr = r − 3rx = r − 3 x = 1 − 3x i
=
r6
r6
r6
r5
r3 r5
∂r
− y 3r 2
∂x = − 3 xy
=
j
6
r
r5
3 xz
=− 5
k
r
∂r
r 3 − x 3r 2
−1
3
2
3
2
2
2
∂x = r − x 3r xr = r − 3rx = r − 3 x = − 3 xy
=
i
r6
r6
r6
r5
r5
∂r
− y 3r 2
2
∂x = 1 − 3 y
=
j
r6
r 3 r5
3 yz
=− 5
k
r
3 xz
=− 5
i
r
3 yz
=− 5
j
r
1 3z 2
= 3− 5
k
r
r
(a ⋅ ∇) b = (µ ⋅ ∇)
∂ x
∂x r 3
∂
∂x
∂
∂x
y
r3
z
r3
∂ x
∂y r 3
∂ y
∂y r 3
∂ z
∂y r 3
∂ x
∂z r 3
∂ y
∂z r 3
∂ z
∂z r 3
(a ⋅ ∇) b = (µ ⋅ ∇)
r
r3

1
3x 2
3xy
3xz 
=  µ x 3 − µ x 5 − µ y 5 − µ z 5  ˆi
r
r
r 
 r

1
3y2
3 xy
3 yz 
+  µ y 3 − µ y 5 − µ x 5 − µ z 5  ˆj
r
r
r 
 r
 1
3z 2
3 xz
3 yz 
+  µ z 3 − µ z 5 − µ x 5 − µ y 5  ˆj
r
r
r 
 r
µ
r
r
r
= 3 − 3x µ x 5 − 3 y µ y 5 − 3z µ z 5
r
r
r
r
µ
(µ ⋅ r)
= 3 −3 5
r
r
r

a (∇ ⋅ b) = µ  ∇ ⋅ 3 
r 

r
∂ x ∂ y ∂ z  1 3 x 2   1 3 y 2   1 3z 2 
=
+
+
=
−
+ −
+ −

r 3 ∂x r 3 ∂y r 3 ∂z r 3  r 3 r 5   r 3 r 5   r 3 r 5 
3 3r 2
r
→ ∇⋅ 3 = 3 − 5 = 0
r
r
r
r
b ( ∇ ⋅ a) = 3 ( ∇ ⋅ µ) = 0
r
∇⋅
Quindi:
B = ∇×A =
µ0
 µ×r  µ
∇× 3  = 0
4π
 r  4π
µ
(µ ⋅ r) 
 3 −3 5 
r 
r
Poiche’ la dipendenza da distanza e angolo e’ la stessa di quella del dipolo
elettrico, si ottengono le stesse linee di campo e proprieta’ del vettore E dipolo
elettrico.