Dipolo elettrico
si definisce dipolo elettrico l’insieme di due
cariche elettriche di uguale valore q
ma opposte di segno, mantenute a
distanza fissa
a
+q
a
−q
Momento di dipolo elettrico
per caratterizzare il comportamento del dipolo elettrico si
introduce il vettore “ momento di dipolo elettrico ”
P = qa
+q
a
−q
P
1
il verso positivo del vettore per definizione va dalla carica
elettrica negativa a quella positiva
il campo prodotto da un dipolo elettrico si puo’ calcolare
facendo uso del principio di sovrapposizione
ma riesce piu’ semplice fare uso del potenziale elettrico
2
P
1
q
V ( + q) =
4πε 0 r1
1
q
V ( − q) = −
4πε 0 r2
r1
r2
per il principio di
r
sovrapposizione :
V ( P ) = V ( + q) + V ( − q)
3
1
q
1 q
=
−
V ( P)
4πε 0 r1 4πε 0 r2
q r2 − r1
q 1 1
(
)
( − )=
4πε0 r1r2
4πε0 r1 r2
in conclusione :
r2 − r1
(
)
V ( P) =
4πε 0 r1r2
q
4
a grande distanza dal dipolo
P
si possono fare le approssimazioni :
ϑ1 ϑ
r1 ~ r2 ~ r
e
r2
r2 − r1 ~ a cosθ
r1
r
ϑ1
ϑ
quindi a grande distanza dal dipolo :
5
q a cos θ
1
cos θ
V ( P) ≅
qa 2
=
2
4πε 0 r
4πε 0
r
V ( P) =
1
P cos θ
4πε 0
r
2
calcoleremo le componenti del campo del dipolo sfruttando
la relazione che lega potenziale e campo
utilizzando le coordinate polari piane
6
Coordinate polari piane
y
x = ρ cosϑ
P
ρ
y = ρ senϑ
=
r xiˆ + yjˆ
O
ϑ
x
ρ cos ϑiˆ + ρ senϑ ˆj
∂r
∂r
da cui=
dr
dϑ + d ρ
∂ϑ
∂ρ
7
se la “curva coordinata” uθ e’ la curva descritta da
r
mentre si fa variare θ mantenendo ρ fissa si ha
∂r
che il vettore
e’ tangente alla curva coordinata uθ
∂ϑ
nel punto P
8
se
ûϑ
e’ il versore unitario
in questa direzione,
si ha
y
ûρ
ûϑ
∂r
∂r
=
uˆϑ
∂ϑ ∂ϑ
ρ
P
ϑ
O
e analogamente per l’ altra coordinata curvilinea ρ
x
∂r
∂r
uˆρ
=
∂ρ ∂ρ
9
ρ (cos ϑiˆ + senϑ ˆj )
se r
∂r
= cos ϑiˆ + senϑ ˆj
∂ρ
∂r
∂ρ
cos ϑ + sen ϑ = 1
2
2
operando in modo analogo per la variabile θ
si ottiene
∂r
=ρ
∂ϑ
10
una volta nota l’espressione delle due forme differenziali
∂r
∂ϑ
e
∂r
∂ρ
diviene possibile determinare l’espressione del gradiente,
della divergenza e del rotore in coordinate polari
ad es. l’operatore gradiente di una funzione
in coordinate
f ( ρ ,ϑ )
polari piane diviene:
∂f ( ρ ,ϑ )
1 ∂f ( ρ ,ϑ )
∇f ( ρ ,=
ϑ)
uˆρ +
uˆϑ
∂ρ
ρ ∂ϑ
11
nel caso del dipolo elettrico
ρ
concide con la distanza
radiale r il potenziale a grande distanza dal dipolo e’
=
V ( P ) V=
(r ,ϑ )
1
4πε 0
P cos θ
r
2
dalla espressione del gradiente in coordinate polari piane
e dalla relazione
E = −∇V si ricavano le componenti
12
εr
εϑ
x
uˆr
P
polari
ε r ed εϑ
elettrico
E
del campo
prodotto dal dipolo
ûϑ
r
ϑ
a grande distanza
O p
13
se
E= ε r + ε ϑ
1 ∂V
∂V
−(
E=
uˆr +
uˆϑ )
∂r
r ∂ϑ
quindi :
2 P cosϑ
∂
ˆ
u
ε r = − V ( r ,ϑ ) =
r
3
4πε 0 r
∂r
P sin ϑ
1 ∂
ˆ
V ( r ,ϑ ) =
εϑ = −
u
ϑ
3
r ∂ϑ
4πε 0 r
14
εr
εϑ
ϑ
p
15
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