UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI PAVIA
Scuola Avanzata di Formazione Integrata
L’EPILESSIA ED IL CAOS DETERMINISTICO
Tesina di Miglierina Riccardo relativa al corso “Le Neuroscienze: dai neuroni alle funzioni
cognitive”
Anno Accademico 2002/2003
L’EPILESSIA ED IL CAOS DETERMINISTICO
1. LE NEUROSCIENZE ED I SISTEMI NON LINEARI
Con il termine di “Neuroscienze” si tende a raccogliere quella grande quantità di discipline il
cui compito fondamentale è di descrivere e comprendere, utilizzando modelli e metodi d’indagine
differenti, il funzionamento dell’organo più complesso ed affascinante del corpo umano: il cervello.
Nel corso degli anni, tale obiettivo è stato perseguito sia da un punto di vista medicosperimentale che puramente simulativo (attraverso lo studio delle cosiddette “reti neurali”); ciò che
è facile evincere dai risultati di tale ricerca è che il funzionamento del cervello e del sistema
nervoso non è assimilabile, come vorrebbe la tradizionale ricerca scientifica, ad un sistema di tipo
lineare. Tale affermazione è supportata dal fatto che nell’attività cerebrale, sia normale che
patologica, possono essere osservati fenomeni di autooscillazione e di intermittenza, ovvero la
presenza di attività elettrica del cervello anche in assenza di eventi o cause scatenanti esterne.
Ovviamente, comportamenti di questo tipo non possono essere spiegati nell’ambito di un modello
puramente lineare, nel quale non è possibile che si verifichi una variazione degli stati ed dell’uscita
del sistema senza la presenza di una stimolazione all’ingresso.
Analizzare un qualsiasi fenomeno utilizzando un modello di tipo non lineare comporta uno
sforzo decisamente superiore sia da un punto di vista teorico che sperimentale; in particolare, i
risultati degli studi effettuati su alcune categorie di questi sistemi hanno mostrato una dinamica di
evoluzione tanto complessa da meritarsi la denominazione di “sistemi caotici”. Per tale motivo, in
tali sistemi i tradizionali metodi di indagine devono essere necessariamente abbandonati per lasciare
posto a nuovi e più complessi strumenti matematici e scientifici.
In questo elaborato verrà descritta una delle principali patologie neurologiche in cui l’utilizzo
della teoria dei sistemi non lineari ha portato (e certamente porterà) ad una conoscenza superiore sul
funzionamento del sistema cerebrale: l’epilessia. Una volta descritti gli aspetti di tale malattia che
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L’EPILESSIA ED IL CAOS DETERMINISTICO
evidenziano un comportamento di natura non lineare, verranno introdotti brevemente i concetti
fondamentali relativi ai sistemi caotici; infine, verranno descritti i possibili sviluppi di questo nuovo
metodo di indagine scientifica, riguardanti in particolar modo la ricerca di una cura per l’epilessia.
2. EPILESSIA E FENOMENI CAOTICI
Per spiegare brevemente cosa sia l’epilessia, si potrebbe parlare di questa malattia come una
tendenza a manifestare un forte grado di sincronismo nell’azione di aggregati neurali localizzati in
precise regioni cerebrali: a causa di questo effetto che potremmo definire di “cooperazione”, si crea
dunque un’abnorme scarica neurale ipersincrona, la quale consiste nella generazione di un serie di
impulsi nell’EEG (Elettro-Encefalo-Gramma) di grande ampiezza che disturbano il normale
funzionamento del cervello, portando all’insorgenza di crisi epilettiche; le manifestazioni di tali
crisi sono varie ma presentano la comune caratteristica della sospensione temporanea dello stato
cosciente del paziente.
Vi sono vari tipi di epilessia:
•
Idiopatica, ovvero dovuta legata a predisposizione genetica;
•
Secondaria, se collegata ad altre malformazioni, infezioni o traumi: a titolo di esempio
possiamo citare malformazioni cerebrali congenite, meningiti, traumi cranici, tumori.
L’epilessia può manifestarsi con aspetto clinico vario:
•
Disturbi convulsivi con perdita di coscenza;
•
Manifestazioni non convulsive (motorie, sensoriali, etc.) associate o meno ad alterazione
della coscienza.
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L’EPILESSIA ED IL CAOS DETERMINISTICO
Vi sono poi vari tipi di crisi epilettiche; l’ILAE (International League Against Epilepsy) [1]
ha suddiviso innanzi tutto le crisi (seizure in inglese) in due diverse tipologie:
•
Generalizzate, in cui tutto l’encefalo è interessato;
•
Focali (o parziali), generate da specifiche aree del cervello; tali crisi, se l’intensità è tale da
consentirlo, riescono ad estendersi su tutta l’area cerebrale (causando tipicamente
fraintendimenti del termine “parziale”).
La suddivisione prosegue identificando all’interno delle rispettive classi ulteriori gruppi
caratterizzati da particolari anomalie; ecco una breve descrizione di alcuni tipi:
•
Crisi generalizzate
9 Assenze (o “piccolo male”): queste crisi, non essendo dolorose, possono addirittura
passare inosservate ad un’analisi superficiale. Si manifestano principalmente tra i 5 e i 10
anni di età e possono talvolta scomparire con la pubertà; consistono tipicamente in una
perdita temporanea (pochi secondi) del contatto col mondo circostante.
9 Tonico-cloniche (o “grande male”): le manifestazioni sono drammatiche. Nella fase
“tonica”, il malato percepisce forti sensazioni dolorose alla bocca dello stomaco oppure
emette grida e lamenti fino alla perdita totale di coscienza; gli arti si irrigidiscono, la
respirazione si arresta, gli occhi si riversano all’indietro e la bocca rimane saldamente
serrata. Nella fase “clonica”, il corpo viene scosso da bruschi e ritmici movimenti delle
articolazioni; dopo alcuni minuti il paziente riprende coscienza, ma rimane in stato
confusionale per alcuni minuti e, nei giorni successivi, i dolori muscolari dovuti alle
contrazioni della crisi persistono.
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L’EPILESSIA ED IL CAOS DETERMINISTICO
•
Crisi focali
9 Semplici: l’attività epilettica non interferisce con la normale attività cerebrale e non
determina la perdita di coscienza; gli effetti vengono riscontrati unicamente nella
difficoltà a compiere le attività demandate all’area cerebrale interessata dalla crisi.
9 Complesse: in questi attacchi si presentano alcune alterazioni della coscienza, di cui la più
comune è quella in cui la scarica origina da uno dei lobi temporali del cervello; in questo
caso il sintomo più evidente consiste in una sensazione di familiarità verso l’ambiente
esterno (“deja-vu”) con incapacità di rispondere agli stimoli esterni.
Per comprendere come possa insorgere una crisi epilettica, è bene innanzi tutto descrivere
brevemente il normale funzionamento del cervello; quest’ultimo è costituito da milioni di cellule
nervose, note come neuroni, e da una fitta rete di collegamenti che ne deriva. Ogni neurone si
autosostiene in uno stato elettricamente carico e riceve segnali elettrici dalle cellule ad esso
collegate tramite terminazioni, denominate sinapsi. Queste, rilasciando una piccola quantità di uno
speciale neurotrasmettitore, permettono alle cellule nervose di comunicare attraverso un segnale che
può propagarsi attraverso tutta la catena neuronale; la trasmissione termina poi su cellule-trasduttori
che trasformano l’impulso ricevuto in opportune funzioni fisiologiche.
In un cervello normale, i neuroni generano ritmi elettrici in modo ordinato; durante le crisi
epilettiche, invece, l’ordine viene distrutto tramite scariche indesiderate generate da neuroni resi
instabili a causa di errori genetici oppure da anormalità metaboliche (dovute per esempio a glicemia
troppo elevata o presenza eccessiva di alcool nel sangue). Virtualmente, dunque, ciascun uomo
potrebbe subire attacchi epilettici sotto le giuste condizioni: ciascun individuo presenta una certa
soglia di scatto che lo rende suscettibile alle crisi. E’ importante sottolineare la quasi assoluta
impossibilità di prevedere l’insorgenza degli accessi epilettici attraverso metodi tradizionali di
indagine: non è infatti possibile riscontrare una precisa relazione di causa-effetto tra ambiente
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L’EPILESSIA ED IL CAOS DETERMINISTICO
esterno e crisi (tranne che in alcuni casi come le epilessie fotoconvulsive), con la conseguenza di
rendere inefficace ogni tipo di profilassi; ciò avvalora la scelta di modellizzare e studiare il cervello
come un sistema con dinamica non lineare.
Infine, per quanto riguarda la diagnosi di un disturbo epilettico, in genere la sola analisi del
tracciato dell’EEG permette di ottenere risultati soddisfacenti: ad esempio, la registrazione di forti
impulsi con una frequenza ripetizione di 3Hz è indice certo della presenza di crisi generalizzate di
tipo assenza; esistono comunque casi in cui neanche durante la fase acuta della crisi è possibile
osservare anomalie nell’EEG, soprattutto nell’epilessia di origine focale: si rendono dunque
necessari metodi di indagine più sofisticati (test ematici, CT Scanning, MRI, SPECT e PET [2]). A
titolo di esempio, in Figura 1 vengono mostrati i tracciati relativi alla regione ippocampale di un
medesimo soggetto durante due distinte fasi della crisi: (a) tracciato basale, ovvero attività non
patologica, (b) tracciato convulsivo.
(b)
(a)
FIGURA 1: esempio di tracciati EEG relativi alla regione ippocampale di un medesimo soggetto durante due distinte
fasi di una crisi epilettica: (a) tracciato basale; (b) tracciato convulsivo.
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L’EPILESSIA ED IL CAOS DETERMINISTICO
Osservando i tracciati mostrati in figura è possibile osservare nella fase convulsiva
l’”apparente” casualità temporale del segnale EEG ed il fenomeno dell’intermittenza aperiodica e
pseudocasuale del tracciato, caratterizzata dalla presenza di impulsi elettrici di grande ampiezza.
Quest’ultimo fenomeno, in particolare, giustifica l’abbandono di una descrizione di tipo lineare del
cervello poiché vi è pressoché completa incorrelazione tra ciò che avviene nell’ambiente e
l’insorgere delle scariche neuronali. Le caratteristiche fin qui descritte del tracciato encefalografico
convulsivo permettono di comprendere come le crisi epilettiche abbiano un’origine. Infatti, tramite
gli elettrodi di misura, l’elettroencefalografo effettua misure su un numero molto elevato di neuroni
in una determinata regione del cervello, registrando dunque la somma complessiva della loro
attività istantanea. Poiché la risposta elettrica del singolo neurone è di tipo “digitale” (alto-basso
valore elettrico), la presenza di impulsi di grande ampiezza indica che, durante la fase critica, un
gruppo di neuroni tende fortemente ad una condizione di sincronismo con una frequenza di
ripetizione non costante nel tempo: come verrà mostrato tra poco, dinamiche di evoluzione di
questa tipologia sono tipiche di sistemi caotici.
3. SISTEMI NON LINEARI E CAOS DETERMINISTICO
Un sistema dinamico viene definito in generale tramite la seguente equazione di stato:
x&= F ( x , t )
x0 = x (t0 )
(1)
dove x rappresenta il vettore degli stati (di dimensione n) che definiscono completamente
l’evoluzione del sistema attraverso la funzione F e x& rappresenta la derivata di x; tipicamente F non
dipende esplicitamente dal tempo t, per cui il sistema viene definito tempo invariante (oppure
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L’EPILESSIA ED IL CAOS DETERMINISTICO
autonomo). La seconda equazione in (1) rappresenta la cosiddetta condizione iniziale del sistema,
ovvero il punto di partenza dell’evoluzione del sistema stesso. Comprendere la dinamica di un
sistema equivale dunque a risolvere l’equazione differenziale (1) data la condizione iniziale.
Nel caso in cui F è una funzione lineare di x, il sistema dinamico viene definito lineare; in
questo caso, attraverso semplici metodi matematici (soluzione diretta dell’equazione, metodo della
trasformata di Fourier/Laplace) è possibile giungere velocemente alla soluzione di (1), ricavando
dunque x(t) [3]. I sistemi dinamici lineari posseggono poi una notevole quantità di proprietà; le più
importanti sono certamente le seguenti:
•
Unicità della soluzione: fissata la funzione F, il sistema ha un’unica traiettoria di
evoluzione;
•
Validità del principio della sovrapposizione degli effetti;
•
Dipendenza non eccessiva della soluzione dalla condizione iniziale: calcolando la dinamica
di un sistema per due diversi valori della condizione iniziale x0, la differenza tra le due
soluzioni x1(t) e x2(t) tende tipicamente ad annullarsi nel tempo, o al massimo rimane
costante; sperimentalmente parlando, se un sistema è lineare non si commette un errore di
grande rilevanza se non si conosce con grandissima precisione il valore iniziale della
grandezza sotto misura.
Il classico esempio di sistema lineare è certamente quello di un oscillatore di massa m
smorzato (tramite il coefficiente γ), regolato dalla seguente equazione di evoluzione:
&
x&+
γ
m
2
x&+ ω 0 x = 0
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(2)
L’EPILESSIA ED IL CAOS DETERMINISTICO
Come ben noto dalla fisica classica, la soluzione x(t) oscilla sinusoidalmente con pulsazione
ω0 ed è smorzata in ampiezza. In Figura 2 vengono mostrate due rappresentazioni grafiche molto
utili per la visualizzazione immediata della dinamica del sistema (2): (a) l’evoluzione temporale di x
e (b) la traiettoria nel piano delle fasi.
(a)
(b)
FIGURA 2: rappresentazione grafica del moto di un oscillatore lineare smorzato (a) evoluzione nel dominio del tempo;
(b) evoluzione nel piano delle fasi.
E’ naturale pensare che osservare la sola evoluzione temporale degli stati (o alternativamente
l’analisi nel dominio della frequenza) permetta di ottenere tutte le informazioni necessarie per
risalire alle proprietà principali di un sistema; ciò risulta vero solo in pochi casi ed, in particolare,
nel caso dei sistemi lineari. Come vedremo tra poco, nel caso di evoluzioni molto complesse (come
nel caso di sistemi caotici) molte informazioni apparentemente “nascoste” possono essere ottenute
osservando la traiettoria del sistema nel piano delle fasi, ovvero un grafico che mostri il “moto”
degli stati del sistema con parametro il tempo. Relativamente al caso dell’oscillatore lineare, nella
Figura 2(b) viene mostrato il moto degli stati del sistema nel tempo (gli stati evidenziati sugli assi
sono x, la posizione, e la derivata di x, la velocità); è importante notare come il moto “a spirale”
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L’EPILESSIA ED IL CAOS DETERMINISTICO
tenda verso l’origine degli assi per tempi molto lunghi e per qualsiasi valore della condizione
iniziale. Inoltre, il moto del sistema nel piano delle fasi è sempre contenuto all’interno di una ben
definita regione del piano: si può dunque tracciare un ciclo limite, definito genericamente come una
superficie limitata che contiene completamente la curva della traiettoria del sistema.
Molto raramente in natura si ha a che vedere con sistemi puramente lineari; l’utilizzo di
modelli lineari rappresenta dunque, nella maggior parte dei casi, solo un’approssimazione (detta
linearizzazione) la cui validità è ristretta tipicamente attorno a determinati valori degli stati e per
piccoli intervalli di tempo. In tutti gli altri casi (a parte casi molto fortunati), è dunque necessario
affrontare direttamente la soluzione numerica (e quindi non esplicita) dell’equazione non lineare
“reale” che regola il sistema.
In passato, molti studi sono stati compiuti su diverse categorie di sistemi non lineari; tra di
esse, una in particolare ha destato grande interesse a causa della grande importanza matematica e
scientifica che essa riveste: stiamo parlando di quella classe di sistemi il cui modo di evolvere nel
tempo passa sotto il nome di “caos deterministico” [4].
Il termine caos non deve assolutamente far pensare che un sistema di questo tipo evolva
“casualmente”, regolato unicamente (o quasi) da leggi probabilistiche: tali sistemi infatti vengono
definiti stocastici. Il caos deterministico è un fenomeno che, come dice il nome stesso, viene
riscontrato in sistemi prettamente deterministici, ovvero per i quali le equazioni di evoluzione sono
ben note; l’unica proprietà richiesta è la presenza di un determinato grado di non linearità di tali
equazioni (tipicamente è necessaria almeno una non linearità del terzo ordine). Da dove deriva
dunque la “caoticità” dell’evoluzione di tali sistemi? Vi sono molte risposte a questa domanda:
•
Dipendenza critica dalla condizione iniziale: al contrario dei sistemi lineari, i sistemi caotici
presentano una fortissima dipendenza dal valore iniziale degli stati; due diverse traiettorie
del sistema originate da condizioni iniziali differenti (anche di una piccola quantità)
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L’EPILESSIA ED IL CAOS DETERMINISTICO
divergono esponenzialmente. Per essere più chiari, è istruttivo citare la famosa frase del
matematico e scienziato Lorentz, grande studioso dei fenomeni caotici in ambito
metereologico: “Se una farfalla si leva in volo in Brasile, il battito che produce, dopo un
considerevole tempo, può scatenare un uragano”;
•
Difficile predicibilità dell’evoluzione: tale proprietà è strettamente connessa a quella
precedentemente illustrata;
•
Presenza dell’”attrattore anomalo” nel piano delle fasi: osservando la traiettoria del moto
nel piano delle fasi di un sistema caotico è ancora possibile definire un qualcosa di simile ad
un ciclo limite (vedere l’Esempio (2) e la Figura 2(b)); in realtà tale traiettoria è molto più
complicata sia da un punto di vista visivo che matematico. Anzitutto, l’attrattore anomalo
presenta autosimilarità, ovvero se si osserva un’ingrandimento di un particolare
dell’attrattore, ci si rende conto che tale particolare ha la stessa forma dell’attrattore stesso:
questa proprietà è tipica degli oggetti studiati dalla matematica frattale, noti appunto come
frattali. Definendo rigorosamente il concetto di “dimensione”, i matematici hanno potuto
osservare come i frattali (e dunque anche l’attrattore caotico) posseggano una dimensione
non intera; tale informazione può sembrare a prima vista sconvolgente e non intuitiva ma
può essere accettata pensando alla proprietà di autosimilarità. In effetti, un sistema caotico
deterministico evolve in modo molto veloce e quasi impredicibile (ovvero vi é poca
correlazione tra lo stato attuale del sistema e quello immediatamente successivo) ma la sua
dinamica resta sempre limitata in una regione ben definita del piano delle fasi (l’area
occupata dalla traiettoria dell’attrattore): per possedere contemporaneamente queste due
proprietà, l’attrattore deve dunque assumere una forma molto complessa, “ripiegandosi”
continuamente su se stesso, il che conferisce alla traiettoria una “dimensionalità” tutta
particolare.
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L’EPILESSIA ED IL CAOS DETERMINISTICO
Come verrà mostrato tra poco, la valutazione della dimensione frattale ha anche un grande
interesse pratico poiché può dare informazioni molto preziose sul comportamento di sistemi
reali, qauli l’insorgere di una crisi epilettica. A titolo di esempio, in Figura 3 viene mostrato
l’”attrattore di Lorentz”, certamente uno degli esempi storici di attrattore anomalo.
•
Intermittenza: molti sistemi caotici presentano fenomeni di intermittenza (“flicker”)
nell’evoluzione; più precisamente, tale fenomeno è correlato alla presenza di uno spettro
dell’andamento temporale del tipo “1/f”.
FIGURA 3: l’attrattore anomalo di Lorentz.
Può sembrare alquanto curioso che un sistema completamente noto dal punto di vista analitico
possa generare comportamenti così complessi e soprattutto imprevedibili; ciò è evidentemente
dovuto sia alla complessità matematica di molti sistemi sia alla impossibilità di conoscere con
precisione lo stato di partenza del sistema. E’ questo certamente il caso dei sistemi biologici ed in
particolare del cervello, per il quale inoltre non sono neppure note le “equazioni” che ne regolano il
funzionamento. Per ottenere dunque informazioni utili sull’evolversi e sulle cause di patologie
come l’epilessia, è utile abbandonare i metodi tradizionali di indagine abbracciando gli strumenti
“non convenzionali” offerti dalla matematica dei sistemi caotici.
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L’EPILESSIA ED IL CAOS DETERMINISTICO
4. APPLICAZIONI E SVILUPPI FUTURI
Ciò che maggiormente distingue un sistema caotico dalle altre tipologie di sistema è la
possibilità di osservare la presenza dell’attrattore anomalo (noto anche come strano) nel piano delle
fasi; nel caso dei segnali elettroencefalografici, però, non sono note le equazioni costitutive che
regolano la dinamica del cervello, tantomeno le condizioni iniziali dell’evoluzione. Inoltre, dal
punto di vista sperimentale, non si dispone di abbastanza dati in successione per effettuare la
ricostruzione di una porzione rilevante dell’attratore: pare dunque impossibile ricostruire la
traiettoria del moto del sistema-cervello, vanificando tutti gli sforzi teorici fin qui condotti.
In realtà esiste un metodo approssimato molto utile, noto come teorema di Takens [5], per
ricostruire l’attrattore caotico di un sistema disponendo solo di alcune serie temporali di misure;
l’oggetto così ottenuto non presenta la stessa forma geometrica dell’originale, però conserva le sue
caratteristiche topologiche principali (quali la dimensionalità frattale), informazioni, come vedremo,
di grande utilità pratica. Nella Figura 4 vengono mostrati gli attrattori ricostruiti da segnali EEG (a)
basali (non patologici) ed (b) in fase convulsiva.
(b)
(a)
FIGURA 4: attrattori “caotici” ricostruiti nel piano delle fasi da segnali EEG: (a) tracciato basale (non patologico); (b)
tracciato convulsivo (in entrambi i grafici, le unità di misura sono arbitrarie). Sui due assi del piano delle fasi sono
indicati i valori normalizzati del segnale EEG e della della sua derivata temporale.
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L’EPILESSIA ED IL CAOS DETERMINISTICO
Una volta noto l’attrattore anomalo, è dunque possibile estrarre con facilità alcune
informazioni che caratterizzano la complessità del caos del sistema; in particolare, misurando il
valore della dimensione dell’attrattore nella fase convulsiva, è stato possibile osservare un brusco
abbassamento all’insorgere della crisi [6]: tale risultato è certamente di importanza rilevante poiché
renderebbe sperabile la realizzazione di un sistema di “controllo” reazionato delle crisi, ovvero la
possibilità di annullare le crisi al loro insorgere tramite iniezione di opportuni segnali elettrici.
Alcuni esperimenti sono stati condotti per valutare la risposta del cervello a stimolazione di
tipo elettrico [7]:
•
Stimolazione (kindling) con segnali convenzionali o caotici: tale stimolazione è stata
effettuata anzitutto utilizzando segnali deterministici classici (tipicamente treni di impulsi),
per poi passare a segnali caotici generati da opportuni circuiti elettrici non lineari (tipico
esempio è circuito di Chua). Questi esperimenti hanno dimostrato come certe forme d’onda
elettriche, applicate ad un soggetto, hanno la capacità di stimolare la risposta epilettica.
•
Stimolazione con controllo caotico: tale stimolazione consiste nello stimolare l’insorgere di
una crisi tramite impulsi elettrici classici; successivamente viene iniettato un segnale il più
possibile simile al tracciato basale per tentare la “risincronizzazione” dell’EEG allo stato
normale di funzionamento, annullando così la crisi.
Avendo dunque la possibilità di diagnosticare l’insorgere di una crisi, per esempio tramite il
controllo della dimensione frattale dell’attrattore, e stimolando il cervello del paziente tramite
opportuni segnali elettrici, in futuro potrebbe essere possibile realizzare uno strumento completo per
il controllo e l’eliminazione delle crisi: è certo però che tale possibilità è attualmente solo un’ipotesi
molto interessante, che necessità di un lungo periodo di studio e sperimentazione.
In conclusione, una considerazione è certamente d’obbligo: l’epilessia, come molte altre
patologie o fenomeni naturali, non può essere studiata esclusivamente nel proprio ambito, in questo
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L’EPILESSIA ED IL CAOS DETERMINISTICO
caso quello medico-clinico; l’integrazione fra i risultati ottenuti dalle scienze sperimentali e gli studi
compiuti sui sistemi dinamici complessi permette e permetterà in futuro di disporre di strumenti di
indagine scientifica e di cura sempre più sofisticati ed efficaci.
BIBLIOGRAFIA
[1]
E. H. Reynolds, “Epilessia e psichiatria”, Medical Book, Palermo, 1981.
[2]
J. A. L. Bulcke, “Clinical and radiological aspects: CT scanning, radioisotopes”, Springer,
1982.
[3]
S. Rinaldi, “Teoria dei sistemi”, CLUP, 1993.
[4]
H. G. Schuster, “Deterministic chaos: an introduction”, VCH, 1989.
[5]
N. B. Abraham et al. , “Testing non linear dynamics”, Physica 11 D, 252.
[6]
A. Babloyantz et al. , “Low-dimensional chaos in an instance of epilepsy”, Proc. Nat. Acad.
Sci., Vol. 8, 1986, 3513-3517.
[7]
A. Cabrini, “Stimolatore caotico per lo studio dell’epilessia”, Tesi di Laurea, Dipartimento
di Elettronica, Università di Pavia, Anno 1999/2000.
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