Meccanica – Vettori, Principio di Saint Venant, Legge di Hooke, fatica
Grandezze scalari e vettoriali
Grandezza scalare: numero reale, in fisica associato ad una unità di misura (senza direzione né
verso)
v
Grandezza vettoriale: direzione, verso, modulo e si scrive ⃗
Somma di scalari: è la normale somma aritmetica.
Somma di vettori
F⃗ 1+ F⃗2 : si applica la regola del parallelogramma
F1
F = risultante
F2
Principio di De Saint Venant
Il modello di trave di de Saint-Venant è un'approssimazione che consente la risoluzione del
problema elastico per un corpo solido.
Questa soluzione è stata dedotta soltanto per un solido di forma particolare, materiale particolare e
soggetto a un'opportuna distribuzione di carichi esterni; tuttavia, grazie al principio di de SaintVenant, quasi tutti i problemi tecnici sono assimilabili a questo tipo di trattazione teorica.
Se un sistema di forze in equilibrio agisce su una parte della superficie di un solido composto
di materiale omogeneo,
isotropo ed elastico lineare, i
suoi effetti si smorzano
allontanandosi dalla parte di
superficie sollecitata.
Se ho due forze che agiscono
su un corpo:
la prima forza è puntiforme, la
seconda è distribuita su tutta la
superficie: la deformazione del
corpo è diversa nei due casi,
anche se la risultante delle due
forze è la stessa
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Prendiamo una trave sollecitata da un sistema di forze. Cosa succede nella sezione interna?
Devo considerare le risultanti delle forze esterne e vincolari; inoltre di solito c'è sempre anche un
momento risultante.
Considero un sistema di riferimento cartesiano x, y, z con origine in G, baricentro della sezione.
La componente della risultante R sull'asse x si chiama trazione (se positiva) compressione (se
negativa), e la si indica con la lettera N.
La componente di R sull'asse y si chiama
Taglio, Ty
La componente di R sull'asse z si chiama
Taglio, Tz
Se proietto sull'asse x il momento, ottengo il
Momento torcente, Mt
La componente sull'asse y si chiama
Momento flettente, My
La componente sull'asse z si chiama
Momento flettente, Mz
Si ricorda che il verso di un momento è
antiorario: il vettore momento crea una
rotazione antioraria sul piano ad esso perpendicolare:
Se la forza risultante è esterna alla superficie A0 , posso sempre tornare al caso visto, trasportando
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la risultante:
Legge di Hooke
Grafico risultante dalla prova di trazione
su un provino cilindrico in acciaio lungo
l 0 e di sezione A0 ; sull'asse x
considero l'allungamento Δl mentre
sull'asse y la forza F (analisi
macroscopica):
deformazioni permanenti
Per rendere il grafico valido in generale,
cioè per prescindere dalle dimensioni del
provino, passo dalle sollecitazioni (forze)
alle tensioni locali (analisi locale: non
risente delle caratteristiche geometriche
del provino):
σal limite di proporzionalità
e il grafico delle prove diventa
quello riportato più avanti.
σdi snervamento superiore
F
Δl
e ε=
A0
l
σR (di rottura)
σ=
Legge di Hooke
σdi snervamento inferiore
Nel diagramma si distinguono
quattro settori:
- un primo settore, in cui
l'allungamento è
proporzionale alla
sollecitazione, secondo una legge
enunciata intorno al 1634
dall'inglese Hooke. Il fattore di
proporzionalità E, che è caratteristico di ogni materiale, si chiama "modulo di elasticità" o "modulo
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di Young":
σ=E ε
E=tg α= σε
2
6
(N / mm = MPa=10 Pa)
(è come y=kx)
- un settore in cui l'allungamento è maggiore di quello previsto dalla legge di Hooke, ma non tanto
da deformare in modo permanente il materiale, che si conclude al punto di snervamento superiore;
- un settore in cui la struttura interna del materiale comincia a perdere le proprie caratteristiche o,
come si dice, a "snervarsi", che inizia al punto di snervamento inferiore;
- infine, un settore in cui la struttura interna si disgrega fino a causare la rottura del campione.
Grazie alla Legge di Hooke (quindi se siamo in campo elastico) posso applicare il Principio di
sovrapposizione degli effetti.
Non conviene andare a considerare forze e momenti, ma solo le tensioni e le deformazioni.
Come faccio a sapere se un materiale si rompe o no?
Considero la σ R (tensione di rottura), se ho un materiale fragile, oppure la σ snervamento inferiore
tensione di snervamento inferiore, se ho un materiale elastico (duttile), e calcolo la tensione
ammissibile, che è il valore massimo che può assumere la tensione, dividendo questi valori per un
valore g (g dipende dai materiali):
σ
σ ammissibile= R
g
σ snervamento inferiore
σ ammissibile=
Si considera accettabile una deformazione permanente dello 0,2%
g
(n=0,2%).
Fenomeno fatica
Se le forze non sono costanti e cioè sono del tipo sinusoidale come quelle indicate dai grafici?
Tensione alternata simmetrica: in sigma massima la forza “tira”, in sigma minima la forza
“comprime” (es. albero che gira):
σ
σM
σm
t
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Tensione alternata non simmetrica:
Tensione pulsante:
La tensione ammissibile si calcola con la seguente formula:
C ∗C
σ ammissibile=σ LF ∗ 1 2
g∗k f ∗C 3
La fatica è quel fenomeno secondo cui i materiali sottoposti a dei carichi variabili nel tempo tra un
valore massimo (smax) e uno minimo (smin), e ripetuti nel tempo per un certo numero di volte (cicli),
presenta una diminuzione della sollecitazione massima sopportabile.
Si chiama limite di fatica (sLF) la massima resistenza
residua del materiale per un numero elevato di cicli.
La curva di Wöhler riporta in ascissa il numero di cicli a
cui si sottopone un materiale, e in ordinata il carico di
fatica:
il carico detto Limite di fatica è un asintoto a cui la curva
tende quando il numero di cicli tende all'infinito e sotto il
quale il materiale non si romperà per fatica. La curva di
Wöhler è una curva che, per come viene calcolata, è al
50% di probabilità di rottura.
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Esercizi
1. Corpo cilindrico di Al (alluminio), di diametro d=10mm. Viene sottoposto a trazione con una
F=4500N. Calcola ε , sapendo che E=68700 N /mm2 .
Utilizzo la Legge di Hooke:
σ=E ε calcolo
2
A0=π r =π
d 2
10 2
100 mm2
2
2
=π 2 =π
=3,14∗25 mm =78,5 mm
2
4
2
()
F
4500 N
=
=57,32 N /mm 2
A0 78,5 mm2
57,32 N /mm2
ε= σ =
=0,00083
E 68700 N /mm 2
σ=
2. Calcola la F necessaria ad allungare di 1mm un filo di Cu (rame) lungo l=2m e di diametro
d=4mm. E Cu =122600 N /mm 2 .
d 2
42 mm 2
16 mm2
=π
=π
=3,14∗4 mm2 =12,56 mm2
2
2
4
2
Δl
1 mm
1 mm
ε= =
=
=0,0005
l
2∗1000 mm 2000 mm
σ=E ε=122600 N /mm 2∗0,0005=61,3 N /mm 2
F
σ=
F =σ∗A0 =61,3 N /mm 2∗12,56 mm 2=769,9 N
A0
Δ l=1 mm
A0=π r 2=π
()
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