trigonometria parte 2

-Trigonometria parte 2
easy matematica
α=
Eliana Scimone pag
13
π
6
Consideriamo il punto P , sia H la sua proiezione sull’asse delle x. Prolunghiamo PH fino ad
incontrare la circonferenza goniometrica in P’. Il triangolo OPP’ risulta equilatero per cui
avremo:
π
1
sin = HP =
6
2
Essendo OH l’altezza del triangolo equilatero di lato 1 avremo
π
3
cos = OH =
6
2
Si ha quindi
π
3
π
tg =
ctg = 3
6
3
6
α=
π
3
Consideriamo il punto P , sia H la sua proiezione sull’asse delle x. Il triangolo OPP’ è
equilatero. Avremo quindi
-Trigonometria parte 2
π
easy matematica
Eliana Scimone pag
14
3
3
2
π
1
cos = OH =
3
2
Si ha quindi
sin
tg
π
3
= HP =
= 3
ctg
α=
π
3
=
3
3
π
4
Consideriamo il punto P , sia P’ la sua proiezione sull’asse delle x.. Il triangolo OPP’ risulta
rettangolo isoscele per cui avremo
P 'P = OP '=
OP
2
E quindi
sin
π
4
=
2
2
cos
π
4
=
2
2
tg
π
4
=1
ctg
π
4
=1
-Trigonometria parte 2
easy matematica
Eliana Scimone pag
15
Consideriamo una circonferenza di raggio unitario avente centro nell'
origine di un riferimento
cartesiano ortogonale ( O, i, j ).

→ 
→
Consideriamo gli archi OQ = α, OP = β ed i vettori OQ, OP .
Si ha

→
OQ = cos α ⋅ i + sen α ⋅ j

→
OP = cos β ⋅ i + sen β ⋅ j
Consideriamo il prodotto scalare

→

→

→

→

→

→
OQ• OP
Si ha
OQ• OP =( cosα ⋅ i + sen α ⋅ j ) • (cos β ⋅ i + sen β ⋅ j )= cos α ⋅ cos β + sen α ⋅ sen β
Inoltre
OQ• OP = cos(α − β )
Per cui avremo
cos(α − β ) = cos α ⋅ cos β + sen α ⋅ sen β
cos (α + β ) = cos α cos β − sen α sen β
essendo
cos (α + β ) = cos α − ( − β ) = cos α cos ( − β ) + sen α sen ( − β )
Dalle relazioni:
cos ( − β ) = cos β
sen ( − β ) = − sen β
cos (α + β ) = cos α cos β − sen α sen β
!
Tenendo presente che
avremo:
-Trigonometria parte 2
cos
π
2
abbiamo:
easy matematica
− x = sen x
sen (α − β ) = cos
π
2
sen
π
2
Eliana Scimone pag
16
− x = cos x
− (α − β ) = cos
π
2
− α + β = cos
π
2
− α cos β − sen
π
2
− α sen β
E quindi
sen (α − β ) = sen α cos β − cos α sen β
sin (α + β ) = sin α − ( − β ) = sin α cos ( − β ) − cos α sen ( − β )
Dalle relazioni:
cos ( − β ) = cos β
sen ( − β ) = − sen β
avremo:
sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sen β
"
Essendo:
sen (α + β )
sen α cos β + cos α sen β
cos (α + β ) cos α cos β − sen α sen β
dividendo numeratore e denominatore per cos α cos β , avremo:
sen α cos β cos α sen β
+
cos α cos β cos α cos β
tg (α + β ) =
e quindi:
cos α cos β sen α sen β
−
cos α cos β cos α cos β
tg α + tg β
tg (α + β ) =
1 − tg α tg β
Per trovare la formula di sottrazione della tangente si usa lo stesso metodo dell’addizione
Si ha
tg (α + β ) =
tg (α − β ) =
#$
%
=
tg α − tg β
.
1 + tg α tg β
-Trigonometria parte 2
sin α +
π
4
= sin α cos
easy matematica
− cos α +
π
π
== sin α cos
4
+ cos α sin
π
− cos α cos
17
Eliana Scimone pag
π
π
4
+ cos α sin
+ sin α sin
π
π
4
− cos α cos
π
4
− sin α sin
π
4
=
=
4
4
2
2
2
2
=
sin α +
cos α −
cos α +
sin α = 2 sin α
2
2
2
2
#$
3
= sin
=
4
&
π
sin
4
+ α − cos
π
3
cos α + cos
π
6
π
3
− α = sin
sin α − cos
π
3
π
6
cos α + cos
cos α − sin
π
3
π
6
sin α − cos
π
6
cos α + sin
π
6
sin α =
sin α =
3
1
3
1
cos α + sin α −
cos α − sin α = 0
2
2
2
2
#$
tg α +
'
π
4
+ c tg α −
π
4
=
tg α + tg
π
ctg α ⋅ ctg
π
+1
4 +
4
=
π
π
1 − tg α ⋅ tg
ctg − ctg α
4
4
sin α
cos α
+1
+1
tg α + 1 ctg α + 1 cos α
sin
α
=
+
=
+
=
1 − tg α 1 − ctg α 1 − sin α 1 − cos α
cos α
sin α
sin α + cos α
cos α
sin α + cos α
sin α
sin α + cos α sin α + cos α
=
⋅
+
⋅
=
+
=
cos α
cos α − sin α
sin α
sin α − cos α cos α − sin α sin α − cos α
=−
sin α + cos α sin α + cos α
+
=0
sin α − cos α sin α − cos α
Essendo
sin 2α = sin (α + α )
avremo
sin 2α = sin (α + α ) = sin α cos α + cos α sin α
Quindi:
sin 2α = 2sin α cos α
Allo stesso metodo avremo
cos 2α = cos (α + α ) = cos α cos α − sen α sen α = cos 2 α − sen 2 α
Quindi:
-Trigonometria parte 2
easy matematica
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18
cos 2α = cos 2 α − sen 2 α
Si ha anche esprimendo la relazione in seno:
cos 2α = 1 − sin 2 α − sin 2 α = 1 − 2sin 2 α
(
)
esprimendo la relazione in coseno avremo
cos 2α = cos 2 α − 1 − cos 2 α = 2 cos 2 α − 1
(
)
Con lo stesso metodo troviamo la formula di duplicazione della tangente:
tg 2α = tg (α + α )
tg (α + β ) =
Essendo:
tg 2α =
#$
tg α + tg β
1 − tg α tg β
avremo
tg α + tg α
2 tg α
=
1 − tg α tg α 1 − tg 2 α
(
cos 2α
cos 2 α − sin 2 α ( cos α − sin α )( cos α + sin α )
=
=
= cos α + sin α
cos α − sin α
cos α − sin α
cos α − sin α
#$
(
( cos α + sin α )
2
− sin 2α + cos 2α =
= cos 2 α + 2sin α cos α + sin 2 α − 2sin α cos α + cos 2 α + cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α
#$
)
cos 2 α
−1
2
1
ctg α − 1
1
1
ctg 2α −
=
−
= sin α
−
=
cos
α
sin 2α
2 ctg α
2sin α cos α
2sin
α
cos
α
2⋅
sin α
2
=
cos 2 α − sin 2 α 1 sin α
1
cos 2 α − sin 2 α
1
⋅
−
=
−
=
2
sin α
2 cos α 2sin α cos α
2sin α cos α
2sin α cos α
cos 2 α − sin 2 α − 1 1 − sin 2 α − sin 2 α − 1
2sin 2 α
sin α
=
=
=−
=−
= − tg α
2sin α cos α
2sin α cos α
2sin α cos α
cos α
*
Consideriamo le formule di duplicazione del coseno
1)
cos 2α = 1 − 2sen 2 α (formula di duplicazione del coseno espressa in seno)
2)
cos 2α = 2 cos 2 α − 1 (formula di duplicazione del coseno espressa in coseno)
Sostituendo
α
2
ad α , otteniamo:
-Trigonometria parte 2
cos 2
1)
α
2
= 1 − 2sen 2
Ricavando sen 2
2sen 2
sen 2
α
α
2
2
=
α
2
= 2 cos 2
cos 2
α
2
1 + cos α
2
2
Si ha anche
cos 2
e quindi
2
cos α = 1 − 2sen 2
α
2
=
sin
sen
α
2
α
2
1 − cos α
2
=±
cos α = 2 cos 2
− 1 e quindi
α
−1
2
avremo
cos
α
2
1 + cos α
2
=±
α
2 = ± 1 − cos α
2 cos α
1 + cos α
2
Inoltre avremo
tg
tg
tg
α
α
19
avremo
2
1 − cos α
2
Ricavando
α
α
Eliana Scimone pag
= 1 − cos α
cos 2
2)
easy matematica
α
2
α
2
α
=
=
sin
cos
α
2
moltiplicando numeratore e denominatore per sin
α
2
sin 2
=
sin
α
2
α
α
2
cos
α
essendo sin 2
α
2
=
α
2
otteniamo
1 − cos α
e, (dalle formule di duplicazione)
2
2
1
= sin α
avremo
2
2 2
1 − cos α
α
1 − cos α
2
tg =
=
1
2
sin α
sin α
2
Si ha anche, in modo analogo
sin
tg
α
2
cos
=
sin
cos
α
2
α
2
moltiplicando numeratore e denominatore per cos
α
2
otteniamo
-Trigonometria parte 2
tg
α
=
2
sin
α
2
cos
cos
2 α
easy matematica
Eliana Scimone pag
α
2
essendo cos 2
α
2
=
20
1 + cos α
2
e
2
1
avremo
sin cos = sin α
2
2 2
1
sin α
α
sin α
tg = 2
=
2 1 + cos α 1 + cos α
2
α
#$
)
1
1 + cos α 1 − cos α
1
+ cos 2 α =
+ cos 2 α =
2
2 4
2
2
4
1 + cos α 1 − cos α
1
1 − cos 2 α 1
1 − cos 2 α + cos 2 α 1
=
+ cos 2 α =
+ cos 2 α =
=
2
2
4
4
4
4
4
cos 2
α
α
#$
sin 2
=
α
2
sin 2
α
+
+ cos α − tg 2
α
2
=
1 − cos α
1 − cos α
+ cos α −
=
2
1 + cos α
(1 − cos α )(1 + cos α ) + cos α ( 2 + 2 cos α ) − 2 (1 − cos α ) =
2 (1 + cos α )
(
)
2
1 − cos 2 α + 2 cos α + 2 cos 2 α − 2 + 2 cos α 4 cos α − 1 − cos α
4 cos α − sin 2 α
=
=
=
2 (1 + cos α )
2 (1 + cos α )
2 (1 + cos α )
#$
,
1
α
1
1 + cos α
1
1 + cos α
1
1 + cos α
+ ctg 2 =
+
=
+
=
+
=
2
2
2
2
sin α
2 sin α 1 − cos α sin α 1 − cos α 1 − cos α 1 − cos α
1 + 1 + cos 2 α + 2 cos α cos 2 α + 2 cos α + 2
=
=
1 − cos 2 α
1 − cos 2 α
Consideriamo le formule di duplicazione del seno e del coseno:
1)
sin 2α = 2sin α cos α
2)
cos 2α = cos 2 α − sen 2 α
sostituendo nella prima al posto di α
α
2
avremo
-Trigonometria parte 2
sin 2
α
2
α
= 2sin
easy matematica
2
dividiamo per 1 e sostituendo ad 1 sin
sin 2
sin
α
α
2
2
=
α
2sin
2
1
α
2sin
=
sin
2
2 α
cos
cos
2
α
α
α
+ cos2 :otteniamo
2
2
2 e quindi
α
2
α
+ cos 2
2
2
2
dividiamo numeratore e denominatore per cos
otteniamo:
2
2
cos
sin α =
sin
2 α
cos 2
quindi:
sin α =
α
sin
2 tg
2 +
α
2
cos
2
2
2
cos
=
2 α
2 tg
tg
2
α
cos 2
2 α
2
α
2
+1
2
α
1 + tg 2
ponendo
α
2t
sin α =
1+ t2
α
α π
dove: ≠ + kπ ovvero α ≠ π + 2kπ
2 2
2
α
α
2
21
α
cos
2
Eliana Scimone pag
tg
α
2
=t
avremo
2
Per il coseno, con ragionamento analogo avremo:
cos 2α = cos 2 α − sen 2 α
sostituendo ad α il valore
cos 2
α
2
= cos 2
α
2
− sen 2
α
α
otteniamo:
2
2
dividendo tutto per 1 e sostituendo sin 2
cos α =
cos 2
sin
α
2
2 α
2
− sin 2
+ cos
α
2
2 α
2
dividendo tutto per cos 2
α
2
otteniamo:
α
2
+ cos 2
α
2
avremo
-Trigonometria parte 2
cos 2
cos α =
cos
sin
α
2 −
2 α
2
cos α =
cos α =
2 +
α
Quindi
2
1 − tg 2
1 + tg
2
sin 2
cos
2 α
cos 2
easy matematica
cos
2
2 =
2 α
2
1 − tg 2
tg
2 α
α
α
2
α
2
+1
2
α
2
22
α
2 α
cos 2
Eliana Scimone pag
ponendo tg
α
2
= t avremo
2
1− t
1+ t2
2
consideriamo le formule di addizione e sottrazione del seno:
sen (α + β ) = sen α cos β + cos α sen β
sen (α − β ) = sen α cos β − cos α sen β
sommando membro a membro le sue espressioni, otteniamo:
sen (α + β ) + sen (α − β ) = 2sen α cos β
e quindi
1
sin (α + β ) + sin (α − β ) (1° formula di Werner)
2
p+q
α=
α +β = p
2
Ponendo:
avremo
α −β =q
p−q
β=
2
Sostituendo otteniamo:
p+q
p−q
(1° formula di Prostaferesi)
sin p + sin q = 2sin
⋅ cos
2
2
sottraendo membro a membro le due formule di addizione e sottrazione del seno otteniamo:
e quindi
sen (α + β ) − sen (α − β ) = 2 cos α sen β
sin α cos β =
1
sin (α + β ) − sin (α − β ) (2 formula di Werner)
2
p+q
α=
α +β = p
2
Ponendo:
avremo
α −β =q
p−q
β=
2
p+q
p−q
sin p − sin q = 2 cos
⋅ sin
(2° formula di Prostaferesi)
2
2
consideriamo le formule di addizione e sottrazione del coseno:
cos (α + β ) = cos α cos β − sin α sin β
cos α sin β =
-Trigonometria parte 2
easy matematica
Eliana Scimone pag
23
cos (α − β ) = cos α cos β + sin α sin β
sommando membro a membro le due espressioni avremo
cos (α + β ) − cos (α − β ) = 2 cos α cos β
e quindi
1
cos (α + β ) − cos (α − β )
(3° formula di Werner)
2
p+q
α=
α +β = p
2
Ponendo:
avremo
α −β =q
p−q
β=
2
p+q
p−q
cos p − cos q = 2 cos
⋅ cos
(3° formula di Prostaferesi)
2
2
Sottraendo membro a membro le due espressioni, e otteniamo:
cos (α + β ) − cos (α − β ) = −2sin α sin β
e quindi
cos α cos β =
1
cos (α − β ) − cos (α + β )
2
p+q
α=
α +β = p
2
avremo
Ponendo:
α −β =q
p−q
β=
2
p+q
p−q
cos p − cos q = 2sin
⋅ sin
2
2
sin α sin β =
(4° formula di Werner)
(4° formula di Prostaferesi)