Corso di Analisi Matematica Calcolo integrale

a.a. 2011/12
Laurea triennale in Informatica
Corso di Analisi Matematica
Calcolo integrale
Avvertenza
Questi sono appunti “informali” delle lezioni,
che vengono resi disponibili per comodità degli studenti.
Parte del materiale presentato è tratto dai libri di testo consigliati,
la cui consultazione è vivamente incoraggiata.
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Integrale indefinito
Sia f : A → R.
Si dice che la funzione G è una primitiva (o anti-derivata) di f
in A se
• G è derivabile in A
• G 0 (x) = f (x) per ogni x ∈ A.
Esempi?
Osservazione (Caratterizzazione delle primitive in un intervallo)
G1 primitiva di f in A, c costante =⇒
G2 := G1 + c primitiva di f in A
In un intervallo vale anche il viceversa:
G1 e G2 primitive di f in A intervallo =⇒
esiste c costante tale che G2 = G1 + c
Verifica . . .
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L’insieme di tutte le primitive diR f si chiama integrale indefinito
di f e si denota con il simbolo f (x) dx .
Osservazioni
1
Per determinare l’integrale indefinito di f in un intervallo è
sufficiente determinare una primitiva di f .
Conseguenza dell’osservazione di pagina 2.
2
L’integrale indefinito di una funzione f potrebbe essere vuoto.
Esempio?
3
L’integrale indefinito di f è sicuramente non vuoto se f è
continua. Lo proveremo in seguito.
4
Anche se f è continua, non è detto che si riesca a determinarne
una primitiva in termini di funzioni elementari: in alcuni casi è
complicato, in altri è impossibile
sin(x)
2
(per esempio, per le funzioni f (x) = e −x e g (x) =
).
x
Vediamo alcuni casi semplici in cui si riesce a determinare l’integrale
indefinito. . .
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Integrali indefiniti immediati
Z
Z
x α+1
1 dx = x + c
x α dx =
+c
↑ α+1
Z
1
dx = ln |x| + c
x
α6=−1
Z
x
Z
x
e dx = e + c
Z
Z
Z
ax
+c
ln(a)
Z
sin(x) dx = − cos(x) + c
Z
ax dx =
1
dx =
cos(x)2
√
Z
cos(x) dx = sin(x) + c
(1 + tan(x)2 ) dx = tan(x) + c
1
dx = arcsin(x) + c
1 − x2
1
dx = arctan(x) + c
1 + x2
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Regole di integrazione, ovvero . . .
. . . come ottenere primitive a partire da primitive note.
1. Integrazione per scomposizione
Siano f1 , f2 funzioni continue e c1 , c2 ∈ R. Risulta:
Z
Z
Z
c1 f1 (x) + c2 f2 (x) dx = c1 f1 (x) dx + c2 f2 (x) dx
Verifica . . .
Esempi
Calcolare l’integrale indefinito delle seguenti funzioni:
f (x) = 3e x − 2x 4
f (x) =
2
− 3 cos(x)
x
f (x) = 6 (1 + tan(x)2 ) + √
f (x) =
x2
4
+
1 + x2 x3
5
1 − x2
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2. Integrazione per sostituzione
Siano f e g due funzioni tali che la funzione composta f ◦g sia
definita in un intervallo.
Supponiamo che f sia continua e che g sia di classe C 1 . Risulta:
Z
Z
f (g (x)) g 0 (x) dx = f (t) dt |t=g (x)
Verifica . . .
Esempi
Calcolare l’integrale indefinito delle seguenti funzioni:
f (x) = e sin(x) cos(x)
f (x) =
ex
e 2x + 1
1
f (x) = p
3
x ln(x) + 2
f (x) =
(arcsin(x))2
√
1 − x2
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Esempi ∗ (da ricordare)
Z
1
e ax dx = e ax + c
a
Z
1
sin(ax) dx = − cos(ax) + c
a
Z
1
cos(ax) dx = sin(ax) + c
a
Z
x 1
1
dx
=
arctan
+c
a2 + x 2
a
a
Z
1
1
dx = ln |ax + b| + c
ax + b
a
∗
←− caso particolare di
Z 0
g (x)
dx = ln |g (x)| + c
g (x)
In tutte le formule si intende che a sia diverso da 0.
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3. Integrazione per parti
Siano f e g funzioni di classe C 1 in un intervallo. Allora:
Z
Z
0
f (x)g (x) dx = f (x)g (x) − f 0 (x)g (x) dx.
Verifica . . .
Esempi
Calcolare i seguenti integrali indefiniti:
Z
x cos(3x) dx
Z
x 2 cos(3x) dx
Z
x e −x dx
Z
e x sin(2x) dx
Z
ln(x) dx
Z
(3x 2 + x + 1) ln(x) dx
Z
arctan(x) dx
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Integrazione di alcune funzioni razionali
Vogliamo determinare una primitiva della funzione
P(x)
f (x) =
Q(x)
con P(x) e Q(x) funzioni polinomiali tali che deg(P) < deg(Q).
Procedimento:
1 Scomponiamo Q nel prodotto di fattori lineari ax + b e di fattori
quadratici irriducibili ax 2 + bx + c (con b 2 − 4ac < 0).
2 Decomponiamo f nella somma di funzioni razionali del tipo
deg = p − 1
&
S(x)
(ax + b)p
3
4
deg = 2q − 1
.
oppure
T (x)
(ax 2 + bx + c)q←− (trattiamo solo
q = 1)
Determiniamo una primitiva per ogni singolo addendo.
Sommiamo le primitive trovate al passo precedente e otteniamo
una primitiva di f .
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Esempi (“singoli addendi”)
Z
1
dx
2x + 5
Z
1
dx
(2x − 1)3
Z
Z
2x + 2
dx
2
x + 2x + 5
Z
x −3
dx
2
x + 2x + 5
Z
Altri esempi
Z
2x + 7
dx
2
x −x −2
Z
3x 2 − 2x + 5
dx
(x − 2)(x 2 + 9)
x 2 − 2x + 5
dx
(2x − 1)3
x2
1
dx
+ 2x + 5
Z
2x + 3
dx
x3 − x2
Z
3x 2 − 2x + 5
dx
(x − 2)3 (x 2 + 3x + 9)
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Osservazione
Se deg(P) ≥ deg(Q), eseguiamo la divisione tra polinomi ottenendo
P(x)
R(x)
= A(x) +
Q(x)
Q(x)
con A(x), R(x) funzioni polinomiali e deg(R) < deg(Q).
Esempio: determinare l’integrale indefinito della funzione razionale
x5 − x + 1
f (x) =
x3 + 1
Esercizio
Calcolare gli integrali indefiniti
Z
1
√
(a)
dx
x −3
Z
(b)
√
x + 2x − 1
√
dx
x − 2x − 1
Suggerimento: eseguire le sostituzioni “razionalizzanti”
√
√
(a) t = x
(b) t = 2x − 1
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Integrale definito (di Cauchy-Riemann)
Sia f : [a, b] → R una funzione limitata.
Sia n ∈ N∗ . Poniamo
xk := a + k
b−a
,
n
per k = 0, 1, . . . , n .
Notiamo che
• a = x0 < x1 < . . . < xn = b
• xk − xk−1 =
b−a
n
∀k = 1, . . . , n .
I punti x0 , x1 , . . . , xn
suddividono [a, b]
in n sottointervalli
di ampiezza costante
Per ogni k = 1, . . . , n , scegliamo ξk ∈ [xk−1 , xk ].
Definiamo la somma n -esima di Cauchy-Riemann di f :
Sn (f ) :=
n
X
k=1
f (ξk )(xk − xk−1 )
!
n
b−aX
f (ξk ) .
=
n
k=1
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Osservazioni
Nella costruzione di somme di Cauchy-Riemann successive, i punti ξk
vengono scelti indipendentemente a ogni passo.
Fissato n , in generale Sn (f ) dipende dalla scelta dei punti ξk .
Esempio
Calcolare la somma di Cauchy-Riemann con n = 4 della funzione
f (x) = x 2 , x ∈ [1, 3], scegliendo i punti ξk in modi diversi.
Interpretare geometricamente le somme ottenute . . .
Sia f : [a, b] → R una funzione limitata.
Per ogni n ∈ N∗ , sia Sn (f ) la somma di Cauchy-Riemann di f .
Diciamo che f è integrabile secondo Cauchy-Riemann in [a, b] se
la successione {Sn } converge e il limite non dipende dalla scelta dei
punti ξk .
Rb
In tal caso, il limite si denota con il simbolo a f (x)dx e si chiama
integrale definito (di Cauchy-Riemann) di f in [a, b].
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Esempi
La funzione di Dirichlet
(
f (x) =
1 se x ∈ [a, b] ∩ Q
0 se x ∈ [a, b] \ Q
non è integrabile secondo Cauchy-Riemann.
Sia f (x) = c una funzione costante in [a, b].
Allora: f è integrabile secondo Cauchy-Riemann e si ha
Z b
f (x) dx = c (b − a).
a
Osservazione
Per c > 0, il prodotto c (b − a) è l’area del “rettangolo sotteso al
grafico di f ”. In altre parole, l’integrale è uguale all’area della regione
piana delimitata dall’asse delle ascisse, il grafico di f e le rette di
equazione x = a e x = b . E per una funzione qualsiasi?
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Sia f : [a, b] → R una funzione integrabile non negativa.
L’insieme
n
o
T := (x, y ) | a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)
prende il nome di trapezoide individuato da f .
Definiamo
Z
b
f (x) dx .
area di T :=
a
Interpretazione geometrica
dell’integrale
Sia f : [a, b] → R una funzione integrabile di segno qualunque.
La regione piana delimitata dal grafico di f e dall’asse delle ascisse è
n
o
T := (x, y ) | a ≤ x ≤ b, min{f (x), 0} ≤ y ≤ max{f (x), 0} .
Definiamo
Z
b
|f (x)| dx .
area (totale) di T :=
a
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Siano f , g : [a, b] → R integrabili.
La regione piana compresa tra il grafico di f e il grafico di g è
n
o
T := (x, y ) | a ≤ x ≤ b, min{f (x), g (x)} ≤ y ≤ max{f (x), g (x)} .
Definiamo
Z
b
|f (x) − g (x)| dx.
area (totale) di T :=
a
Osservazione
Ogni definizione generalizza la precedente.
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Teorema (Classi di funzioni integrabili)
1
Se f : [a, b] → R è continua, allora f è integrabile.
2
Se f : [a, b] → R è monotona, allora f è integrabile.
3
Se f1 : [a, b] → R e f2 : [b, c] → R sono
allora la funzione definita ponendo


 f1 (x)

un qualsiasi valore
f (x) =



f2 (x)
integrabili,
se x ∈ [a, b)
se x = b
se x ∈ (b, c]
è integrabile in [a,c] e
Z
c
Z
f (x)dx =
a
b
Z
f1 (x)dx +
a
c
f2 (x)dx.
b
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Teorema
Siano f , g funzioni integrabili in [a, b].
Proprietà di linearità
Per ogni α, β ∈ R, la funzione αf + βg è integrabile in [a, b] e
Z b
Z b
Z b
f (x)dx + β
g (x)dx.
(1)
αf (x) + βg (x) dx = α
a
a
a
Proprietà di monotonia
Rb
f ≥ 0 in [a, b] =⇒ a f (x) dx ≥ 0
Rb
Rb
f ≥ g in [a, b] =⇒ a f (x) dx ≥ a g (x)dx
Z b
Z b
≤
f
(x)
dx
|f (x)| dx
(disuguaglianza triangolare)
a
a
Proprietà di additività
Se c ∈ [a, b], allora f è integrabile in [a, c] e in [c, b] e
Z b
Z c
Z b
f (x) dx =
f (x) dx +
f (x) dx.
a
a
(2)
c
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Osservazione
Nella definizione di integrale di Cauchy-Riemann abbiamo supposto
a < b . Possiamo eliminare questa restrizione ponendo


0
se a = b
Z b

Z a
f (x) dx :=

f (x) dx
se a > b
a
 −
b
Con questa convenzione, nella pagina precedente:
• l’uguaglianza (1) vale per ogni a, b ∈ R;
• l’uguaglianza (2) vale per ogni a, b, c ∈ R.
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Teorema (della media integrale)
Sia f : [a, b] → R una funzione integrabile.
Z b
1
1 inf f ≤
f (x)dx ≤ sup f
b−a a
2
Se f è continua in [a, b], allora esiste x0 ∈ [a, b] tale che
1
b−a
Z
b
f (x) dx = f (x0 ).
a
Interpretazione
geometrica?
Dimostrazione . . .
Nota
Il numero
1
b−a
Z
b
f (x)dx si chiama media integrale di f in [a, b].
a
Motivazione?
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Teorema e formula fondamentale del calcolo integrale
Sia A un intervallo e sia f : A → R una funzione continua.
Allora:
1
f ammette primitiva in A.
(vedi pagina 3)
Precisamente: per ogni fissato a ∈ A, la funzione F : A → R
definita ponendo
Z x
f (t) dt per ogni x ∈ A
F (x) :=
a
è una primitiva di f in A.
Nota: F si chiama funzione integrale di f di punto iniziale a .
2
Sia G una qualsiasi primitiva di f in A.
Allora: per ogni a, b ∈ A si ha
Z b
b
f (x) dx = G (b) − G (a) =: G (x) a .
a
Dimostrazione . . .
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Esempi
Z
x
ln(t 2 + 1) dt.
Calcolare la derivata della funzione F (x) =
0
Z
Studiare la convessità della funzione F (x) =
Z π
sin(x)
dx .
Calcolare l’integrale
2
0 cos(x) + 1
x
2
e −t dt.
0
Calcolare la media integrale di f (x) = x 2 in [−2, 3] e determinare
un numero x0 soddisfacente la seconda parte del teorema della media
integrale.
ln(x)
Calcolare l’area del trapezoide individuato dalla funzione
x
nell’intervallo [1, e].
Calcolare l’area della regione piana compresa tra il grafico di
f (x) = x cos(x), l’asse delle ascisse, le rette x = 0, x = 3π/2.
Calcolare l’area della regione piana compresa tra i grafici di f (x) = x ,
g (x) = x 2 e le rette x = 0, x = 4.
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Integrali impropri (cenni)
Ci proponiamo di generalizzare la nozione di integrale rimuovendo
l’ipotesi di limitatezza sulla funzione e/o sull’intervallo.
Per semplicità, supporremo che f sia una funzione di segno costante.
Siano a, b ∈ R. Poniamo
Z t
lim
f (x) dx
Z b
t→b − a
Z b
f (x) dx :=
a
f (x) dx
lim+
t→a
Z
+∞
f (x) dx :=
a
Z
Z
t→+∞ a
−∞
Z
lim
t→−∞ t
se f è continua in (a, b]
illimitata in un intorno di a
t
lim
b
f (x) dx :=
t
se f è continua in [a, b)
illimitata in un intorno di b
f (x) dx
se f è continua in [a, +∞)
f (x) dx
se f è continua in (−∞, b]
b
Interpretazione geometrica . . .
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Osservazioni
La continuità di f ne garantisce l’integrabilità secondo
Cauchy-Riemann in ogni intervallo chiuso e limitato.
Il segno di f garantisce che le funzioni integrali siano monotone
e quindi ammettano limite.
Ciascuno degli integrali definiti nella pagina precedente prende il nome
di integrale improprio (o generalizzato). Un integrale improprio si dice
• convergente se il limite che lo definisce è finito,
• divergente se il limite che lo definisce è infinito.
Z +∞
Esempio
2
Stabilire se l’integrale improprio
x 3−x dx è convergente
1
o divergente.
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Un criterio di convergenza per le serie numeriche
Teorema (Criterio dell’integrale)
Sia an > 0 per ogni n ≥ n0 .
Sia f una funzione continua, positiva e decrescente in [n0 , +∞)
tale che f (n) = an per ogni n ≥ n0 .
Allora: la serie di termine an converge se e solo se l’integrale
Z +∞
improprio
f (x) dx
n0
è convergente. In tal caso, detto Rn il resto della serie, risulta
Z +∞
0 ≤ Rn ≤
f (x) dx.
n
“Dimostrazione” grafica . . .
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Esempio
2
Verificare che la serie di termine n 3−n è convergente. Determinare
un intero N tale che la somma parziale SN approssimi la somma S a
meno di 10−2 e scrivere un intervallo al quale la somma S appartiene.
Saldiamo un conto in sospeso:
Proposizione (Convergenza della serie armonica generalizzata)
La serie (a termini positivi)
+∞
X
1
np
n=1
converge se e solo se p > 1; in tal caso si ha
1
.
0 ≤ Rn ≤
(p − 1) np−1
Verifica . . .
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