Corso di Analisi Matematica Calcolo integrale

a.a. 2011/12
Laurea triennale in Informatica
Corso di Analisi Matematica
Calcolo integrale
Avvertenza
Questi sono appunti “informali” delle lezioni,
che vengono resi disponibili per comodità degli studenti.
Parte del materiale presentato è tratto dai libri di testo consigliati,
la cui consultazione è vivamente incoraggiata.
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Integrale indefinito
Sia f : A → R.
Si dice che la funzione G è una primitiva (o anti-derivata) di f
in A se
• G è derivabile in A
• G 0 (x) = f (x) per ogni x ∈ A.
Esempi?
Osservazione (Caratterizzazione delle primitive in un intervallo)
G1 primitiva di f in A, c costante =⇒
G2 := G1 + c primitiva di f in A
In un intervallo vale anche il viceversa:
G1 e G2 primitive di f in A intervallo =⇒
esiste c costante tale che G2 = G1 + c
Verifica . . .
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L’insieme di tutte le primitive diR f si chiama integrale indefinito
di f e si denota con il simbolo f (x) dx .
Osservazioni
1
Per determinare l’integrale indefinito di f in un intervallo è
sufficiente determinare una primitiva di f .
Conseguenza dell’osservazione di pagina 2.
2
L’integrale indefinito di una funzione f potrebbe essere vuoto.
Esempio?
3
L’integrale indefinito di f è sicuramente non vuoto se f è
continua. Lo proveremo in seguito.
4
Anche se f è continua, non è detto che si riesca a determinarne
una primitiva in termini di funzioni elementari: in alcuni casi è
complicato, in altri è impossibile
sin(x)
2
(per esempio, per le funzioni f (x) = e −x e g (x) =
).
x
Vediamo alcuni casi semplici in cui si riesce a determinare l’integrale
indefinito. . .
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Integrali indefiniti immediati
Z
Z
x α+1
1 dx = x + c
x α dx =
+c
↑ α+1
Z
1
dx = ln |x| + c
x
α6=−1
Z
x
Z
x
e dx = e + c
Z
Z
Z
ax
+c
ln(a)
Z
sin(x) dx = − cos(x) + c
Z
ax dx =
1
dx =
cos(x)2
√
Z
cos(x) dx = sin(x) + c
(1 + tan(x)2 ) dx = tan(x) + c
1
dx = arcsin(x) + c
1 − x2
1
dx = arctan(x) + c
1 + x2
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Regole di integrazione, ovvero . . .
. . . come ottenere primitive a partire da primitive note.
1. Integrazione per scomposizione
Siano f1 , f2 funzioni continue e c1 , c2 ∈ R. Risulta:
Z
Z
Z
c1 f1 (x) + c2 f2 (x) dx = c1 f1 (x) dx + c2 f2 (x) dx
Verifica . . .
Esempi
Calcolare l’integrale indefinito delle seguenti funzioni:
f (x) = 3e x − 2x 4
f (x) =
2
− 3 cos(x)
x
f (x) = 6 (1 + tan(x)2 ) + √
f (x) =
x2
4
+
1 + x2 x3
5
1 − x2
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2. Integrazione per sostituzione
Siano f e g due funzioni tali che la funzione composta f ◦g sia
definita in un intervallo.
Supponiamo che f sia continua e che g sia di classe C 1 . Risulta:
Z
Z
f (g (x)) g 0 (x) dx = f (t) dt |t=g (x)
Verifica . . .
Esempi
Calcolare l’integrale indefinito delle seguenti funzioni:
f (x) = e sin(x) cos(x)
f (x) =
ex
e 2x + 1
1
f (x) = p
3
x ln(x) + 2
f (x) =
(arcsin(x))2
√
1 − x2
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Esempi ∗ (da ricordare)
Z
1
e ax dx = e ax + c
a
Z
1
sin(ax) dx = − cos(ax) + c
a
Z
1
cos(ax) dx = sin(ax) + c
a
Z
x 1
1
dx
=
arctan
+c
a2 + x 2
a
a
Z
1
1
dx = ln |ax + b| + c
ax + b
a
∗
←− caso particolare di
Z 0
g (x)
dx = ln |g (x)| + c
g (x)
In tutte le formule si intende che a sia diverso da 0.
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3. Integrazione per parti
Siano f e g funzioni di classe C 1 in un intervallo. Allora:
Z
Z
0
f (x)g (x) dx = f (x)g (x) − f 0 (x)g (x) dx.
Verifica . . .
Esempi
Calcolare i seguenti integrali indefiniti:
Z
x cos(3x) dx
Z
x 2 cos(3x) dx
Z
x e −x dx
Z
e x sin(2x) dx
Z
ln(x) dx
Z
(3x 2 + x + 1) ln(x) dx
Z
arctan(x) dx
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Integrazione di alcune funzioni razionali
Vogliamo determinare una primitiva della funzione
P(x)
f (x) =
Q(x)
con P(x) e Q(x) funzioni polinomiali tali che deg(P) < deg(Q).
Procedimento:
1 Scomponiamo Q nel prodotto di fattori lineari ax + b e di fattori
quadratici irriducibili ax 2 + bx + c (con b 2 − 4ac < 0).
2 Decomponiamo f nella somma di funzioni razionali del tipo
deg = p − 1
&
S(x)
(ax + b)p
3
4
deg = 2q − 1
.
oppure
T (x)
(ax 2 + bx + c)q←− (trattiamo solo
q = 1)
Determiniamo una primitiva per ogni singolo addendo.
Sommiamo le primitive trovate al passo precedente e otteniamo
una primitiva di f .
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Esempi (“singoli addendi”)
Z
1
dx
2x + 5
Z
1
dx
(2x − 1)3
Z
Z
2x + 2
dx
2
x + 2x + 5
Z
x −3
dx
2
x + 2x + 5
Z
Altri esempi
Z
2x + 7
dx
2
x −x −2
Z
3x 2 − 2x + 5
dx
(x − 2)(x 2 + 9)
x 2 − 2x + 5
dx
(2x − 1)3
x2
1
dx
+ 2x + 5
Z
2x + 3
dx
x3 − x2
Z
3x 2 − 2x + 5
dx
(x − 2)3 (x 2 + 3x + 9)
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Osservazione
Se deg(P) ≥ deg(Q), eseguiamo la divisione tra polinomi ottenendo
P(x)
R(x)
= A(x) +
Q(x)
Q(x)
con A(x), R(x) funzioni polinomiali e deg(R) < deg(Q).
Esempio: determinare l’integrale indefinito della funzione razionale
x5 − x + 1
f (x) =
x3 + 1
Esercizio
Calcolare gli integrali indefiniti
Z
1
√
(a)
dx
x −3
Z
(b)
√
x + 2x − 1
√
dx
x − 2x − 1
Suggerimento: eseguire le sostituzioni “razionalizzanti”
√
√
(a) t = x
(b) t = 2x − 1
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Integrale definito (di Cauchy-Riemann)
Sia f : [a, b] → R una funzione limitata.
Sia n ∈ N∗ . Poniamo
xk := a + k
b−a
,
n
per k = 0, 1, . . . , n .
Notiamo che
• a = x0 < x1 < . . . < xn = b
• xk − xk−1 =
b−a
n
∀k = 1, . . . , n .
I punti x0 , x1 , . . . , xn
suddividono [a, b]
in n sottointervalli
di ampiezza costante
Per ogni k = 1, . . . , n , scegliamo ξk ∈ [xk−1 , xk ].
Definiamo la somma n -esima di Cauchy-Riemann di f :
Sn (f ) :=
n
X
k=1
f (ξk )(xk − xk−1 )
!
n
b−aX
f (ξk ) .
=
n
k=1
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Osservazioni
Nella costruzione di somme di Cauchy-Riemann successive, i punti ξk
vengono scelti indipendentemente a ogni passo.
Fissato n , in generale Sn (f ) dipende dalla scelta dei punti ξk .
Esempio
Calcolare la somma di Cauchy-Riemann con n = 4 della funzione
f (x) = x 2 , x ∈ [1, 3], scegliendo i punti ξk in modi diversi.
Interpretare geometricamente le somme ottenute . . .
Sia f : [a, b] → R una funzione limitata.
Per ogni n ∈ N∗ , sia Sn (f ) la somma di Cauchy-Riemann di f .
Diciamo che f è integrabile secondo Cauchy-Riemann in [a, b] se
la successione {Sn } converge e il limite non dipende dalla scelta dei
punti ξk .
Rb
In tal caso, il limite si denota con il simbolo a f (x)dx e si chiama
integrale definito (di Cauchy-Riemann) di f in [a, b].
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Esempi
La funzione di Dirichlet
(
f (x) =
1 se x ∈ [a, b] ∩ Q
0 se x ∈ [a, b] \ Q
non è integrabile secondo Cauchy-Riemann.
Sia f (x) = c una funzione costante in [a, b].
Allora: f è integrabile secondo Cauchy-Riemann e si ha
Z b
f (x) dx = c (b − a).
a
Osservazione
Per c > 0, il prodotto c (b − a) è l’area del “rettangolo sotteso al
grafico di f ”. In altre parole, l’integrale è uguale all’area della regione
piana delimitata dall’asse delle ascisse, il grafico di f e le rette di
equazione x = a e x = b . E per una funzione qualsiasi?
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Sia f : [a, b] → R una funzione integrabile non negativa.
L’insieme
n
o
T := (x, y ) | a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)
prende il nome di trapezoide individuato da f .
Definiamo
Z
b
f (x) dx .
area di T :=
a
Interpretazione geometrica
dell’integrale
Sia f : [a, b] → R una funzione integrabile di segno qualunque.
La regione piana delimitata dal grafico di f e dall’asse delle ascisse è
n
o
T := (x, y ) | a ≤ x ≤ b, min{f (x), 0} ≤ y ≤ max{f (x), 0} .
Definiamo
Z
b
|f (x)| dx .
area (totale) di T :=
a
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Siano f , g : [a, b] → R integrabili.
La regione piana compresa tra il grafico di f e il grafico di g è
n
o
T := (x, y ) | a ≤ x ≤ b, min{f (x), g (x)} ≤ y ≤ max{f (x), g (x)} .
Definiamo
Z
b
|f (x) − g (x)| dx.
area (totale) di T :=
a
Osservazione
Ogni definizione generalizza la precedente.
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Teorema (Classi di funzioni integrabili)
1
Se f : [a, b] → R è continua, allora f è integrabile.
2
Se f : [a, b] → R è monotona, allora f è integrabile.
3
Se f1 : [a, b] → R e f2 : [b, c] → R sono
allora la funzione definita ponendo


 f1 (x)

un qualsiasi valore
f (x) =



f2 (x)
integrabili,
se x ∈ [a, b)
se x = b
se x ∈ (b, c]
è integrabile in [a,c] e
Z
c
Z
f (x)dx =
a
b
Z
f1 (x)dx +
a
c
f2 (x)dx.
b
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Teorema
Siano f , g funzioni integrabili in [a, b].
Proprietà di linearità
Per ogni α, β ∈ R, la funzione αf + βg è integrabile in [a, b] e
Z b
Z b
Z b
f (x)dx + β
g (x)dx.
(1)
αf (x) + βg (x) dx = α
a
a
a
Proprietà di monotonia
Rb
f ≥ 0 in [a, b] =⇒ a f (x) dx ≥ 0
Rb
Rb
f ≥ g in [a, b] =⇒ a f (x) dx ≥ a g (x)dx
Z b
Z b
≤
f
(x)
dx
|f (x)| dx
(disuguaglianza triangolare)
a
a
Proprietà di additività
Se c ∈ [a, b], allora f è integrabile in [a, c] e in [c, b] e
Z b
Z c
Z b
f (x) dx =
f (x) dx +
f (x) dx.
a
a
(2)
c
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Osservazione
Nella definizione di integrale di Cauchy-Riemann abbiamo supposto
a < b . Possiamo eliminare questa restrizione ponendo


0
se a = b
Z b

Z a
f (x) dx :=

f (x) dx
se a > b
a
 −
b
Con questa convenzione, nella pagina precedente:
• l’uguaglianza (1) vale per ogni a, b ∈ R;
• l’uguaglianza (2) vale per ogni a, b, c ∈ R.
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Teorema (della media integrale)
Sia f : [a, b] → R una funzione integrabile.
Z b
1
1 inf f ≤
f (x)dx ≤ sup f
b−a a
2
Se f è continua in [a, b], allora esiste x0 ∈ [a, b] tale che
1
b−a
Z
b
f (x) dx = f (x0 ).
a
Interpretazione
geometrica?
Dimostrazione . . .
Nota
Il numero
1
b−a
Z
b
f (x)dx si chiama media integrale di f in [a, b].
a
Motivazione?
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Teorema e formula fondamentale del calcolo integrale
Sia A un intervallo e sia f : A → R una funzione continua.
Allora:
1
f ammette primitiva in A.
(vedi pagina 3)
Precisamente: per ogni fissato a ∈ A, la funzione F : A → R
definita ponendo
Z x
f (t) dt per ogni x ∈ A
F (x) :=
a
è una primitiva di f in A.
Nota: F si chiama funzione integrale di f di punto iniziale a .
2
Sia G una qualsiasi primitiva di f in A.
Allora: per ogni a, b ∈ A si ha
Z b
b
f (x) dx = G (b) − G (a) =: G (x) a .
a
Dimostrazione . . .
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Esempi
Z
x
ln(t 2 + 1) dt.
Calcolare la derivata della funzione F (x) =
0
Z
Studiare la convessità della funzione F (x) =
Z π
sin(x)
dx .
Calcolare l’integrale
2
0 cos(x) + 1
x
2
e −t dt.
0
Calcolare la media integrale di f (x) = x 2 in [−2, 3] e determinare
un numero x0 soddisfacente la seconda parte del teorema della media
integrale.
ln(x)
Calcolare l’area del trapezoide individuato dalla funzione
x
nell’intervallo [1, e].
Calcolare l’area della regione piana compresa tra il grafico di
f (x) = x cos(x), l’asse delle ascisse, le rette x = 0, x = 3π/2.
Calcolare l’area della regione piana compresa tra i grafici di f (x) = x ,
g (x) = x 2 e le rette x = 0, x = 4.
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Integrali impropri (cenni)
Ci proponiamo di generalizzare la nozione di integrale rimuovendo
l’ipotesi di limitatezza sulla funzione e/o sull’intervallo.
Per semplicità, supporremo che f sia una funzione di segno costante.
Siano a, b ∈ R. Poniamo
Z t
lim
f (x) dx
Z b
t→b − a
Z b
f (x) dx :=
a
f (x) dx
lim+
t→a
Z
+∞
f (x) dx :=
a
Z
Z
t→+∞ a
−∞
Z
lim
t→−∞ t
se f è continua in (a, b]
illimitata in un intorno di a
t
lim
b
f (x) dx :=
t
se f è continua in [a, b)
illimitata in un intorno di b
f (x) dx
se f è continua in [a, +∞)
f (x) dx
se f è continua in (−∞, b]
b
Interpretazione geometrica . . .
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Osservazioni
La continuità di f ne garantisce l’integrabilità secondo
Cauchy-Riemann in ogni intervallo chiuso e limitato.
Il segno di f garantisce che le funzioni integrali siano monotone
e quindi ammettano limite.
Ciascuno degli integrali definiti nella pagina precedente prende il nome
di integrale improprio (o generalizzato). Un integrale improprio si dice
• convergente se il limite che lo definisce è finito,
• divergente se il limite che lo definisce è infinito.
Z +∞
Esempio
2
Stabilire se l’integrale improprio
x 3−x dx è convergente
1
o divergente.
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Un criterio di convergenza per le serie numeriche
Teorema (Criterio dell’integrale)
Sia an > 0 per ogni n ≥ n0 .
Sia f una funzione continua, positiva e decrescente in [n0 , +∞)
tale che f (n) = an per ogni n ≥ n0 .
Allora: la serie di termine an converge se e solo se l’integrale
Z +∞
improprio
f (x) dx
n0
è convergente. In tal caso, detto Rn il resto della serie, risulta
Z +∞
0 ≤ Rn ≤
f (x) dx.
n
“Dimostrazione” grafica . . .
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Esempio
2
Verificare che la serie di termine n 3−n è convergente. Determinare
un intero N tale che la somma parziale SN approssimi la somma S a
meno di 10−2 e scrivere un intervallo al quale la somma S appartiene.
Saldiamo un conto in sospeso:
Proposizione (Convergenza della serie armonica generalizzata)
La serie (a termini positivi)
+∞
X
1
np
n=1
converge se e solo se p > 1; in tal caso si ha
1
.
0 ≤ Rn ≤
(p − 1) np−1
Verifica . . .
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