Corso di Analisi Matematica Calcolo integrale

a.a. 2013/14
Laurea triennale in Informatica
Corso di Analisi Matematica
Calcolo integrale
Avvertenza
Questi sono appunti “informali” delle lezioni,
che vengono resi disponibili per comodità degli studenti.
Parte del materiale presentato è tratto dai libri di testo consigliati,
la cui consultazione è vivamente incoraggiata.
Primitive e integrali indefiniti
Sia A un intervallo e siano f , g : A → R.
Diciamo che g è una primitiva (o anti-derivata) di f in A se
g è derivabile in A e g 0 (x) = f (x) per ogni x ∈ A.
Esempi?
Osservazioni
• Non è detto che una funzione abbia primitive. Esempio . . .
• Ogni funzione continua su un intervallo ha primitive.
Lo dimostreremo in seguito.
• g primitiva di f , c ∈ R =⇒ g + c primitiva di f in A
• g , h primitive di f in A =⇒ esiste c ∈ R tale che h = g + c
Motivazione . . .
Sia f una funzione continua in un intervallo.
L’insieme di tutte le primitive diZf si chiama integrale indefinito
di f e si denota con il simbolo f (x) dx .
Osservazione
Per determinare l’integrale indefinito di f è sufficiente determinare
una primitiva di f .
Integrali indefiniti immediati
Z
1 dx = x + c
Z
x p+1
+c
x dx =
↑ p+1
p
Z
1
dx = ln |x| + c
x
p6=−1
Z
e x dx = e x + c
Z
ax dx =
Z
ax
+c
ln(a)
Z
sinh(x) dx = cosh(x) + c
Z
cosh(x) dx = sinh(x) + c
Z
sin(x) dx = − cos(x) + c
Z
Z
1
dx =
cos(x)2
Z
1
√
dx = arcsin(x) + c
1 − x2
cos(x) dx = sin(x) + c
1 + tan(x)2 dx = tan(x) + c
Z
1
dx = arctan(x) + c
1 + x2
Regole di integrazione
1
(corrispondono a regole di derivazione)
Integrazione per scomposizione
Z
f1 (x) + f2 (x) dx =
Z
λ f (x) dx =
(regola della somma e del multiplo)
Z
Z
f1 (x) dx +
Z
λ f (x) dx
f2 (x) dx
Esempi
Calcolare l’integrale indefinito delle seguenti funzioni:
x 3 − 4x 2
3e x − 2x 4 + 5
4
2
+ − 3 cos(x)
x3 x
2
Integrazione per sostituzione
Z
Z
0
f (ϕ(x)) ϕ (x) dx = f (t) dt
(“chain rule”)
|t=ϕ(x)
Esempi
e sin(x) cos(x)
(arcsin(x))2
√
1 − x2
ex
e 2x + 1
e −3x + cos(2x)
e ax ; cos(ax); sin(ax)
1
2
x + a2
1
p
3
x ln(x) + 2
ϕ0 (x)
ϕ(x)
3
Integrazione per parti
(regola del prodotto)
Z
Z
f (x)g 0 (x) dx = f (x)g (x) − f 0 (x)g (x) dx.
Esempi
x e −x
x sin(2x)
(x 2 + x) cos(3x)
e 2x sin(x)
ln(x)
arctan(x)
arcsin(x)
(x 2 + 3x) ln(x)
Integrazione di alcune funzioni razionali
Vogliamo determinare una primitiva della funzione
f (x) =
P(x)
Q(x)
con P(x) e Q(x) funzioni polinomiali tali che deg(P) < deg(Q).
Osservazione
La condizione sui gradi non è restrittiva: se deg(P) ≥ deg(Q),
eseguiamo la divisione tra polinomi ottenendo
R(x)
P(x)
= A(x) +
Q(x)
Q(x)
con A(x), R(x) funzioni polinomiali e deg(R) < deg(Q).
Esempi
x2
1 + x2
x 2 + 3x + 2
x 2 + 5x + 10
x5 − x + 1
x3 + 1
Funzioni razionali “semplici”:
A
(a x + b)p
Ax + B
+bx +c
a x2
a 6= 0, p > 0
a 6= 0, b 2 − 4ac < 0
Esempi
1
3x − 1
1
2x + 5
x
1 + x2
x +3
x2 + 9
2x + 2
x 2 + 2x + 5
1
x 2 + 2x + 5
1
(4x − 1)3
x −3
x 2 − 4x + 7
Procedimento nel caso generale:
1
scomponiamo Q nel prodotto di fattori lineari a x + b e di fattori
quadratici irriducibili a x 2 + bx + c (con b 2 − 4ac < 0);
2
decomponiamo f nella somma di funzioni razionali “semplici”;
3
determiniamo una primitiva per ogni singolo addendo;
4
sommiamo le primitive trovate al passo precedente e otteniamo
una primitiva di f .
Esempi
x 2 − 2x + 5
(2x − 1)3
2x + 7
2
x −x −2
2x + 3
x3 − x2
3x 2 − 2x + 5
(x − 2)(x 2 + 9)
3x 2 − 2x + 5
(x − 2)(x 2 + 3x + 9)
3x 2 − 2x + 5
(x − 2)4 (x 2 + 3x + 9)
Funzioni integrabili (secondo Cauchy-Riemann)
Siano a, b ∈ R con a < b ; sia n ∈ N∗ . Poniamo
b−a
xk := a + k
per k = 0, 1, 2, . . . , n .
n
L’insieme Pn := {x0 , x1 , . . . , xn } si chiama partizione uniforme
n -esima dell’intervallo [a, b].
I punti di Pn suddividono l’intervallo [a, b] in n sottointervalli
b−a
di ampiezza ∆x :=
. Esempio . . .
n
Sia f : [a, b] → R una funzione limitata.
Segliamo un punto x̄k ∈ [xk−1 , xk ] per ogni k = 1, . . . , n
e definiamo la somma n -esima di Cauchy-Riemann di f :
Sn (f ) :=
n
X
k=1
f (x̄k ) (xk − xk−1 )
Significato geometrico
per funzioni
non negative?
Osservazioni
• Fissato n , in generale Sn (f ) dipende dalla scelta dei punti di
riferimento x̄k .
• Variando il modo in cui, per ogni n , si scelgono i punti di
riferimento, possiamo costruire infinite successioni di somme
di Cauchy-Riemann di f . (In teoria, ovviamente.)
Esempio
Data la funzione f (x) = x 2 , x ∈ [2, 5]:
• calcolare le somme di Cauchy-Riemann con n = 3 e n = 4,
scegliendo come punti di riferimento i punti medi dei
sottointervalli;
• calcolare le somme di Cauchy-Riemann con n = 4 ottenute
scegliendo come punti di riferimento rispettivamente i primi
estremi e i secondi estremi dei sottointervalli.
Interpretare geometricamente le somme ottenute.
Se tutte le successioni di somme di Cauchy-Riemann di f
convergono al medesimo limite, diciamo che f è integrabile secondo
Cauchy-Riemann in [a, b], denotiamo il limite delle successioni di
Cauchy-Riemann con il simbolo
Z b
f (x)dx
a
e lo chiamiamo integrale di Cauchy-Riemann di f in [a, b].
Motivazione per il simbolo?
Due esempi “agli antipodi”
• La funzione costante f (x) ≡ c è integrabile in [a, b] e
Z
b
f (x) dx = c (b − a).
(
1 se x ∈ [a, b] ∩ Q
• La funzione di Dirichlet f (x) =
0 se x ∈ [a, b] \ Q
non è integrabile in [a, b].
a
Teorema (classi di funzioni integrabili)
1
Se f è continua in [a, b], allora è integrabile.
2
Se f è continua a tratti in [a, b], allora f è integrabile.
3
Se f1 è integrabile in [a, c] e f2 è integrabile in [c, b],
allora la funzione definita ponendo

se x ∈ [a, c)

 f1 (x)
un qualsiasi valore
se x = c
f (x) =


f2 (x)
se x ∈ (c, b]
è integrabile in [a,b] e
Z b
Z
f (x)dx =
a
a
c
Z
f1 (x)dx +
Motivazione. . .
b
f2 (x)dx.
c
Integrali e aree
Sia f una funzione integrabile in [a, b] non negativa.
La regione piana compresa tra il grafico di f e l’asse delle ascisse
prende il nome di rettangoloide o trapezoide sotteso al grafico di f .
Poniamo
Z b
Interpretazione
area del rettangoloide
geometrica
:=
f (x) dx
individuato da f
dell’integrale
a
Motivazione. . .
Se f è una funzione integrabile in [a, b] di segno qualsiasi, poniamo
Z b
area della regione piana
compresa tra il grafico :=
|f (x)| dx
Motivazione. . .
a
di f e l’asse delle ascisse
Se f , g sono funzioni integrabili in [a, b], poniamo
Z b
area della regione piana
compresa tra il grafico :=
|f (x) − g (x)| dx
a
di f e il grafico di g
Motivazione. . .
Proprietà di monotonia dell’integrale
Siano f , g funzioni integrabili in [a, b].
Z b
• f ≥ 0 in [a, b] =⇒
f (x) dx ≥ 0
a
Z
• f ≥ g in [a, b] =⇒
b
Z
f (x) dx ≥
a
Z
• a
b
Z
f (x) dx ≤
a
b
g (x)dx
a
b
|f (x)| dx
(disuguaglianza triangolare)
↑
f integrabile =⇒ |f | integrabile
Proprietà di linearità dell’integrale
Siano f , g funzioni integrabili in [a, b].
Per ogni α, β ∈ R, la funzione αf + βg è integrabile in [a, b] e
Z b
Z b
Z b
αf (x) + βg (x) dx = α
f (x)dx + β
g (x)dx.
a
a
a
Proprietà di additività dell’integrale
Sia f integrabile in [a, b].
Se c ∈ [a, b], allora f è integrabile in [a, c] e in [c, b] e
Z b
Z c
Z b
f (x) dx =
f (x) dx +
f (x) dx.
a
a
c
Confronto con la terza classe di funzioni integrabili. . .
Media integrale
Sia f : [a, b] → R una funzione integrabile. Il numero
Z b
1
Media(f ) :=
f (x) dx
b−a a
si chiama media integrale di f in [a, b].
Motivazione . . .
Teorema (della media integrale)
Sia f : [a, b] → R una funzione integrabile.
(1) inf f ≤ Media(f ) ≤ sup f .
(2) Se f è continua in [a, b], allora esiste x̄ ∈ [a, b] tale che
f (x̄) = Media(f ).
Dimostrazione . . .
Interpretazione geometrica?
Osservazione
Nella definizione di integrale di Cauchy-Riemann abbiamo supposto
a < b . Possiamo eliminare questa restrizione ponendo


0
se a = b
Z b

Z
a
f (x) dx :=

se a > b
f (x) dx
a
 −
(integrale definito)
b
Con questa convenzione, le uguaglianze
Z b
Z b
Z
αf (x) + βg (x) dx = α
f (x)dx + β
a
Z
a
b
Z
f (x) dx =
a
c
Z
f (x) dx +
a
a
b
f (x) dx
c
valgono per ogni a, b, c ∈ A.
Tutto bello, ma... come si calcolano gli integrali?
b
g (x)dx
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Sia A un intervallo e sia f : A → R una funzione continua.
(a) La funzione f ha primitive in A.
Precisamente: fissato a ∈ A, la funzione F : A → R definita
ponendo
Z x
funzione integrale di f
F (x) :=
f (t) dt per ogni x ∈ A
di punto iniziale a
a
è una primitiva di f in A.
(b) Sia g una qualsiasi primitiva di f in A.
Per ogni a, b ∈ A:
Z b
f (x) dx = g (b) − g (a).
a
Dimostrazione . . .
Formula fondamentale
del calcolo integrale
Esempi
h π πi
.
2 2
• Calcolare l’integrale della funzione cos(x) in − ,
• Calcolare l’area del rettangoloide sotteso al grafico della funzione
f (x) = x 2 in [2, 5].
• Calcolare l’area del rettangoloide sotteso al grafico della funzione
f (x) =
ln(x)
nell’intervallo [1, e].
x
• Calcolare l’area della regione piana compresa tra il grafico di
f (x) = x cos(x), l’asse delle ascisse, le rette x = 0, x = 3π/2.
• Calcolare l’area della regione piana compresa tra i grafici di
f (x) = x , g (x) = x 2 e le rette x = 0, x = 4.
• Calcolare la media integrale di f (x) = x 2 in [−2, 3].
• Calcolare la media integrale della funzione f (x) =
nell’intervallo [0, π].
sin(x)
cos(x)2 + 1
Osservazione
Per avvalersi della formula fondamentale del calcolo integrale,
è necessario determinare una primitiva della funzione integranda.
Tuttavia:
• per alcune funzioni la determinazione esplicita di una primitiva
può essere notevolmente complicata;
−→ software
• esistono funzioni continue per le quali non esiste una primitiva
esprimibile attraverso funzioni elementari, come ad esempio le
sin(x)
2
−→ sviluppi in serie,
funzioni x 7→ e −x , x 7→
.
x
approssimazioni
Integrali impropri (solo qualche cenno)
Ci proponiamo di generalizzare la nozione di integrale rimuovendo
l’ipotesi di limitatezza sulla funzione e/o sull’intervallo.
Per semplicità, supporremo che f sia una funzione di segno costante.
Siano a, b ∈ R. Poniamo
Z t
lim
f (x) dx
Z b
t→b − a
Z b
f (x) dx :=
a
f (x) dx
lim+
t→a
+∞
Z
f (x) dx :=
a
Z
Z
t→+∞ a
−∞
Z
lim
se f è continua in (a, b]
illimitata in un intorno di a
t
lim
b
f (x) dx :=
t
se f è continua in [a, b)
illimitata in un intorno di b
t→−∞ t
f (x) dx
se f è continua in [a, +∞)
b
f (x) dx
Interpretazione geometrica . . .
se f è continua in (−∞, b]
Osservazioni
• La continuità di f ne garantisce l’integrabilità secondo
Cauchy-Riemann in ogni intervallo chiuso e limitato.
• Il segno di f garantisce che le funzioni integrali siano monotone
e quindi ammettano limite.
L’integrale introdotto come limite di integrali definiti si chiama
integrale improprio (o generalizzato).
Se il limite è finito, diciamo che l’integrale improprio converge e che
la funzione f è integrabile in senso improprio.
Se il limite è infinito, diciamo che l’integrale improprio diverge.
Se f è integrabile in senso improprio in (−∞, a] e in [a, +∞),
per qualche a ∈ R, diciamo che f è integrabile in senso improprio
in R e poniamo
Z +∞
Z a
Z +∞
la scelta di a
f (x) dx :=
f (x) dx +
f (x) dx. Nota:
è irrilevante.
−∞
−∞
a
Esempi
2
• La funzione f (x) = x 3−x è integrabile in senso improprio in
[1, +∞).
• La funzione f (x) =
1
è integrabile in senso improprio in R.
1 + x2
Esempio (da ricordare)
1
La funzione f (x) = p è integrabile in senso improprio
x
• in (0, 1] se e solo se p < 1;
• in [1, +∞) se e solo se p > 1.