Corso di Analisi Matematica Calcolo integrale

a.a. 2013/14
Laurea triennale in Informatica
Corso di Analisi Matematica
Calcolo integrale
Avvertenza
Questi sono appunti “informali” delle lezioni,
che vengono resi disponibili per comodità degli studenti.
Parte del materiale presentato è tratto dai libri di testo consigliati,
la cui consultazione è vivamente incoraggiata.
Primitive e integrali indefiniti
Sia A un intervallo e siano f , g : A → R.
Diciamo che g è una primitiva (o anti-derivata) di f in A se
g è derivabile in A e g 0 (x) = f (x) per ogni x ∈ A.
Esempi?
Osservazioni
• Non è detto che una funzione abbia primitive. Esempio . . .
• Ogni funzione continua su un intervallo ha primitive.
Lo dimostreremo in seguito.
• g primitiva di f , c ∈ R =⇒ g + c primitiva di f in A
• g , h primitive di f in A =⇒ esiste c ∈ R tale che h = g + c
Motivazione . . .
Sia f una funzione continua in un intervallo.
L’insieme di tutte le primitive diZf si chiama integrale indefinito
di f e si denota con il simbolo f (x) dx .
Osservazione
Per determinare l’integrale indefinito di f è sufficiente determinare
una primitiva di f .
Integrali indefiniti immediati
Z
1 dx = x + c
Z
x p+1
+c
x dx =
↑ p+1
p
Z
1
dx = ln |x| + c
x
p6=−1
Z
e x dx = e x + c
Z
ax dx =
Z
ax
+c
ln(a)
Z
sinh(x) dx = cosh(x) + c
Z
cosh(x) dx = sinh(x) + c
Z
sin(x) dx = − cos(x) + c
Z
Z
1
dx =
cos(x)2
Z
1
√
dx = arcsin(x) + c
1 − x2
cos(x) dx = sin(x) + c
1 + tan(x)2 dx = tan(x) + c
Z
1
dx = arctan(x) + c
1 + x2
Regole di integrazione
1
(corrispondono a regole di derivazione)
Integrazione per scomposizione
Z
f1 (x) + f2 (x) dx =
Z
λ f (x) dx =
(regola della somma e del multiplo)
Z
Z
f1 (x) dx +
Z
λ f (x) dx
f2 (x) dx
Esempi
Calcolare l’integrale indefinito delle seguenti funzioni:
x 3 − 4x 2
3e x − 2x 4 + 5
4
2
+ − 3 cos(x)
x3 x
2
Integrazione per sostituzione
Z
Z
0
f (ϕ(x)) ϕ (x) dx = f (t) dt
(“chain rule”)
|t=ϕ(x)
Esempi
e sin(x) cos(x)
(arcsin(x))2
√
1 − x2
ex
e 2x + 1
e −3x + cos(2x)
e ax ; cos(ax); sin(ax)
1
2
x + a2
1
p
3
x ln(x) + 2
ϕ0 (x)
ϕ(x)
3
Integrazione per parti
(regola del prodotto)
Z
Z
f (x)g 0 (x) dx = f (x)g (x) − f 0 (x)g (x) dx.
Esempi
x e −x
x sin(2x)
(x 2 + x) cos(3x)
e 2x sin(x)
ln(x)
arctan(x)
arcsin(x)
(x 2 + 3x) ln(x)
Integrazione di alcune funzioni razionali
Vogliamo determinare una primitiva della funzione
f (x) =
P(x)
Q(x)
con P(x) e Q(x) funzioni polinomiali tali che deg(P) < deg(Q).
Osservazione
La condizione sui gradi non è restrittiva: se deg(P) ≥ deg(Q),
eseguiamo la divisione tra polinomi ottenendo
R(x)
P(x)
= A(x) +
Q(x)
Q(x)
con A(x), R(x) funzioni polinomiali e deg(R) < deg(Q).
Esempi
x2
1 + x2
x 2 + 3x + 2
x 2 + 5x + 10
x5 − x + 1
x3 + 1
Funzioni razionali “semplici”:
A
(a x + b)p
Ax + B
+bx +c
a x2
a 6= 0, p > 0
a 6= 0, b 2 − 4ac < 0
Esempi
1
3x − 1
1
2x + 5
x
1 + x2
x +3
x2 + 9
2x + 2
x 2 + 2x + 5
1
x 2 + 2x + 5
1
(4x − 1)3
x −3
x 2 − 4x + 7
Procedimento nel caso generale:
1
scomponiamo Q nel prodotto di fattori lineari a x + b e di fattori
quadratici irriducibili a x 2 + bx + c (con b 2 − 4ac < 0);
2
decomponiamo f nella somma di funzioni razionali “semplici”;
3
determiniamo una primitiva per ogni singolo addendo;
4
sommiamo le primitive trovate al passo precedente e otteniamo
una primitiva di f .
Esempi
x 2 − 2x + 5
(2x − 1)3
2x + 7
2
x −x −2
2x + 3
x3 − x2
3x 2 − 2x + 5
(x − 2)(x 2 + 9)
3x 2 − 2x + 5
(x − 2)(x 2 + 3x + 9)
3x 2 − 2x + 5
(x − 2)4 (x 2 + 3x + 9)
Funzioni integrabili (secondo Cauchy-Riemann)
Siano a, b ∈ R con a < b ; sia n ∈ N∗ . Poniamo
b−a
xk := a + k
per k = 0, 1, 2, . . . , n .
n
L’insieme Pn := {x0 , x1 , . . . , xn } si chiama partizione uniforme
n -esima dell’intervallo [a, b].
I punti di Pn suddividono l’intervallo [a, b] in n sottointervalli
b−a
di ampiezza ∆x :=
. Esempio . . .
n
Sia f : [a, b] → R una funzione limitata.
Segliamo un punto x̄k ∈ [xk−1 , xk ] per ogni k = 1, . . . , n
e definiamo la somma n -esima di Cauchy-Riemann di f :
Sn (f ) :=
n
X
k=1
f (x̄k ) (xk − xk−1 )
Significato geometrico
per funzioni
non negative?
Osservazioni
• Fissato n , in generale Sn (f ) dipende dalla scelta dei punti di
riferimento x̄k .
• Variando il modo in cui, per ogni n , si scelgono i punti di
riferimento, possiamo costruire infinite successioni di somme
di Cauchy-Riemann di f . (In teoria, ovviamente.)
Esempio
Data la funzione f (x) = x 2 , x ∈ [2, 5]:
• calcolare le somme di Cauchy-Riemann con n = 3 e n = 4,
scegliendo come punti di riferimento i punti medi dei
sottointervalli;
• calcolare le somme di Cauchy-Riemann con n = 4 ottenute
scegliendo come punti di riferimento rispettivamente i primi
estremi e i secondi estremi dei sottointervalli.
Interpretare geometricamente le somme ottenute.
Se tutte le successioni di somme di Cauchy-Riemann di f
convergono al medesimo limite, diciamo che f è integrabile secondo
Cauchy-Riemann in [a, b], denotiamo il limite delle successioni di
Cauchy-Riemann con il simbolo
Z b
f (x)dx
a
e lo chiamiamo integrale di Cauchy-Riemann di f in [a, b].
Motivazione per il simbolo?
Due esempi “agli antipodi”
• La funzione costante f (x) ≡ c è integrabile in [a, b] e
Z
b
f (x) dx = c (b − a).
(
1 se x ∈ [a, b] ∩ Q
• La funzione di Dirichlet f (x) =
0 se x ∈ [a, b] \ Q
non è integrabile in [a, b].
a
Teorema (classi di funzioni integrabili)
1
Se f è continua in [a, b], allora è integrabile.
2
Se f è continua a tratti in [a, b], allora f è integrabile.
3
Se f1 è integrabile in [a, c] e f2 è integrabile in [c, b],
allora la funzione definita ponendo

se x ∈ [a, c)

 f1 (x)
un qualsiasi valore
se x = c
f (x) =


f2 (x)
se x ∈ (c, b]
è integrabile in [a,b] e
Z b
Z
f (x)dx =
a
a
c
Z
f1 (x)dx +
Motivazione. . .
b
f2 (x)dx.
c
Integrali e aree
Sia f una funzione integrabile in [a, b] non negativa.
La regione piana compresa tra il grafico di f e l’asse delle ascisse
prende il nome di rettangoloide o trapezoide sotteso al grafico di f .
Poniamo
Z b
Interpretazione
area del rettangoloide
geometrica
:=
f (x) dx
individuato da f
dell’integrale
a
Motivazione. . .
Se f è una funzione integrabile in [a, b] di segno qualsiasi, poniamo
Z b
area della regione piana
compresa tra il grafico :=
|f (x)| dx
Motivazione. . .
a
di f e l’asse delle ascisse
Se f , g sono funzioni integrabili in [a, b], poniamo
Z b
area della regione piana
compresa tra il grafico :=
|f (x) − g (x)| dx
a
di f e il grafico di g
Motivazione. . .
Proprietà di monotonia dell’integrale
Siano f , g funzioni integrabili in [a, b].
Z b
• f ≥ 0 in [a, b] =⇒
f (x) dx ≥ 0
a
Z
• f ≥ g in [a, b] =⇒
b
Z
f (x) dx ≥
a
Z
• a
b
Z
f (x) dx ≤
a
b
g (x)dx
a
b
|f (x)| dx
(disuguaglianza triangolare)
↑
f integrabile =⇒ |f | integrabile
Proprietà di linearità dell’integrale
Siano f , g funzioni integrabili in [a, b].
Per ogni α, β ∈ R, la funzione αf + βg è integrabile in [a, b] e
Z b
Z b
Z b
αf (x) + βg (x) dx = α
f (x)dx + β
g (x)dx.
a
a
a
Proprietà di additività dell’integrale
Sia f integrabile in [a, b].
Se c ∈ [a, b], allora f è integrabile in [a, c] e in [c, b] e
Z b
Z c
Z b
f (x) dx =
f (x) dx +
f (x) dx.
a
a
c
Confronto con la terza classe di funzioni integrabili. . .
Media integrale
Sia f : [a, b] → R una funzione integrabile. Il numero
Z b
1
Media(f ) :=
f (x) dx
b−a a
si chiama media integrale di f in [a, b].
Motivazione . . .
Teorema (della media integrale)
Sia f : [a, b] → R una funzione integrabile.
(1) inf f ≤ Media(f ) ≤ sup f .
(2) Se f è continua in [a, b], allora esiste x̄ ∈ [a, b] tale che
f (x̄) = Media(f ).
Dimostrazione . . .
Interpretazione geometrica?
Osservazione
Nella definizione di integrale di Cauchy-Riemann abbiamo supposto
a < b . Possiamo eliminare questa restrizione ponendo


0
se a = b
Z b

Z
a
f (x) dx :=

se a > b
f (x) dx
a
 −
(integrale definito)
b
Con questa convenzione, le uguaglianze
Z b
Z b
Z
αf (x) + βg (x) dx = α
f (x)dx + β
a
Z
a
b
Z
f (x) dx =
a
c
Z
f (x) dx +
a
a
b
f (x) dx
c
valgono per ogni a, b, c ∈ A.
Tutto bello, ma... come si calcolano gli integrali?
b
g (x)dx
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Sia A un intervallo e sia f : A → R una funzione continua.
(a) La funzione f ha primitive in A.
Precisamente: fissato a ∈ A, la funzione F : A → R definita
ponendo
Z x
funzione integrale di f
F (x) :=
f (t) dt per ogni x ∈ A
di punto iniziale a
a
è una primitiva di f in A.
(b) Sia g una qualsiasi primitiva di f in A.
Per ogni a, b ∈ A:
Z b
f (x) dx = g (b) − g (a).
a
Dimostrazione . . .
Formula fondamentale
del calcolo integrale
Esempi
h π πi
.
2 2
• Calcolare l’integrale della funzione cos(x) in − ,
• Calcolare l’area del rettangoloide sotteso al grafico della funzione
f (x) = x 2 in [2, 5].
• Calcolare l’area del rettangoloide sotteso al grafico della funzione
f (x) =
ln(x)
nell’intervallo [1, e].
x
• Calcolare l’area della regione piana compresa tra il grafico di
f (x) = x cos(x), l’asse delle ascisse, le rette x = 0, x = 3π/2.
• Calcolare l’area della regione piana compresa tra i grafici di
f (x) = x , g (x) = x 2 e le rette x = 0, x = 4.
• Calcolare la media integrale di f (x) = x 2 in [−2, 3].
• Calcolare la media integrale della funzione f (x) =
nell’intervallo [0, π].
sin(x)
cos(x)2 + 1
Osservazione
Per avvalersi della formula fondamentale del calcolo integrale,
è necessario determinare una primitiva della funzione integranda.
Tuttavia:
• per alcune funzioni la determinazione esplicita di una primitiva
può essere notevolmente complicata;
−→ software
• esistono funzioni continue per le quali non esiste una primitiva
esprimibile attraverso funzioni elementari, come ad esempio le
sin(x)
2
−→ sviluppi in serie,
funzioni x 7→ e −x , x 7→
.
x
approssimazioni
Integrali impropri (solo qualche cenno)
Ci proponiamo di generalizzare la nozione di integrale rimuovendo
l’ipotesi di limitatezza sulla funzione e/o sull’intervallo.
Per semplicità, supporremo che f sia una funzione di segno costante.
Siano a, b ∈ R. Poniamo
Z t
lim
f (x) dx
Z b
t→b − a
Z b
f (x) dx :=
a
f (x) dx
lim+
t→a
+∞
Z
f (x) dx :=
a
Z
Z
t→+∞ a
−∞
Z
lim
se f è continua in (a, b]
illimitata in un intorno di a
t
lim
b
f (x) dx :=
t
se f è continua in [a, b)
illimitata in un intorno di b
t→−∞ t
f (x) dx
se f è continua in [a, +∞)
b
f (x) dx
Interpretazione geometrica . . .
se f è continua in (−∞, b]
Osservazioni
• La continuità di f ne garantisce l’integrabilità secondo
Cauchy-Riemann in ogni intervallo chiuso e limitato.
• Il segno di f garantisce che le funzioni integrali siano monotone
e quindi ammettano limite.
L’integrale introdotto come limite di integrali definiti si chiama
integrale improprio (o generalizzato).
Se il limite è finito, diciamo che l’integrale improprio converge e che
la funzione f è integrabile in senso improprio.
Se il limite è infinito, diciamo che l’integrale improprio diverge.
Se f è integrabile in senso improprio in (−∞, a] e in [a, +∞),
per qualche a ∈ R, diciamo che f è integrabile in senso improprio
in R e poniamo
Z +∞
Z a
Z +∞
la scelta di a
f (x) dx :=
f (x) dx +
f (x) dx. Nota:
è irrilevante.
−∞
−∞
a
Esempi
2
• La funzione f (x) = x 3−x è integrabile in senso improprio in
[1, +∞).
• La funzione f (x) =
1
è integrabile in senso improprio in R.
1 + x2
Esempio (da ricordare)
1
La funzione f (x) = p è integrabile in senso improprio
x
• in (0, 1] se e solo se p < 1;
• in [1, +∞) se e solo se p > 1.