Potenziale e Campo Elettrico
y
Circuitazione e campo Elettrico
E4
dl
ϑ4
E1
S
ϑ1
E3
ϑ2
ϑ3
E2
x
E ⋅ dl = ( E1 cos ϑ1 + E2 cos ϑ2 −
∂S
− E3 cos ϑ3 − E4 cos ϑ4 )dl = 0
Esiste una operatore che trasforma E in una nuova
funzione vettoriale tale che il suo flusso attraverso S
sia proprio la circuitazione?
∂S
∇×E
S
S
∇ × E ⋅ dS = E ⋅ dl = 0
∂S
Rotore in coordinate cartesiane
ux
∇×E = ∂x
uy
∂y
Ex
Ey
uz
∂ z = +(∂ y E z − ∂ z E y )u x
E z − (∂ x E z − ∂ z E x )u y
+ (∂ x E y − ∂ y E x )u z
Campo di una carica puntiforme q nell’origine (0,0,0)
z
E(r ) =
ϑ
q
4πε 0 r
2
ur
ur
φ
x
2
2
r ( x, y , z ) = x + y + z
x
y
z
ur = u x + u y + u z
r
r
r
2
P ( x, y , z )
y
∂x
1
r
3
= −3
x
r
5
∂y
1
r
3
= −3
ux
4πε 0
∇×E = ∂x
q
x
r
3
y
1
5
∂z
uy
uz
∂y
y
∂z = 0
z
r
r
3
r
3
r
3
= −3
z
r
5
La questione è allora:
Il contenuto informativo del
potenziale è lo stesso del campo
elettrico, ovvero
dato il potenziale, è possibile
determinare il campo elettrico?
Il campo elettrico è (quasi) univocamente legato al potenziale
dV = −E ⋅ dr = ∇V ⋅ dr
( E + ∇ V ) ⋅ dr = 0
E = −∇V
∀ dr
La costante arbitraria
Se
allora
E = −∇V ( x, y, z )
E = −∇(V ( x, y, z ) + C )
la scelta arbitraria di potenziale nullo
all’infinito è del tutto legittima
Quindi, in elettrostatica
conoscere V o E è equivalente.
V(x,y,z) è uno scalare
E (x,y,z) è un vettore
Superfici equipotenziali e linee di forza
Le superfici equipotenziali sono definite come il
luogo dei punti per cui V = costante
Le linee di forza sono “linee” tangenti in ogni punto
alla direzione del campo elettrico
Campo elettrico uniforme
Esempi
Carica puntiforme
Dipolo elettrico
Il potenziale in un campo elettrico uniforme
Data la particolare geometria del
sistema, si ha subito:
E ⋅ dr = Edr cosθ = Edr
E pertanto la d.d.p. risulta essere:
2
2
2
1
1
1
V2 −V1 = − E ⋅ dr = − Edr = −E dr = −Ed
Dove “d” è la distanza di integrazione.
Esercizio: Potenziale nelle vicinanze di un piano
carico
z
Si calcoli la distanza d dal piano uniformemente
carico σ=10 nC m-2, alla quale∆V = 10,0 V
σ
E=
uz
2ε 0
∆V
d=
=
∆V = Ed
E
∆V 2 ε 0 10 ⋅ 2 ⋅ 8.854 ⋅10 −12
=
=
=
−8
σ
10
=18 mm
50V 40V 30V 20V 10V
E
d = 18 mm
∆V fra due lastre conduttrici parallele
F = 1.6 ⋅10 −15 N
∆V?
∆V
F = eE = e
d
d
∆V = F =
e
= 1.6 ⋅10
d = 20 cm
−15
200 ⋅10 −3
1.6 ⋅10
−19
= 2000 V
Guscio conduttore sferico carico (R)
E = Er i r
Er = 0
Campo interno
Campo esterno
Vest =
∞
E est
r
Er =
⋅ dr =
Q
4πε 0
r≤R
Q
4πε 0 r
∞
r
dr
2
Q
r≥R
∞
1
Q
=−
=
2
4πε 0 r r 4πε 0 r
r
Vint =
∞
E
R est
⋅ dr +
R
Eint
r
⋅ dr =
Q
4πε 0 R
Essendo nullo il campo interno
Sfera non conduttrice (R) uniformemente
carica
E = Er i r
Campo esterno invariato rispetto al guscio
Campo interno Eint (r ) = Q
r3
3
1
R 4πε 0 r
2
r≤R
Vint =
Vint =
∞
E
R est
⋅ dr +
Q
4πε 0 R
+
R
r
Vint
R
E int
r
⋅ dr =
Q
4πε 0 R
+
R
E int
r
⋅ dr
r2 R
+
=
rdr =
3
3
4πε 0 R 4πε 0 R 2 r
4πε 0 R
Q
Q
Q
Q
r2
3 Q
=
−
2 4πε 0 R 4πε 0 R 3 2
Compito di Fondamenti di Elettromagnetismo del 1.12.03 (Es. 1) [8]
•
a)
b)
Una sfera metallica di raggio R=4 cm, con una carica q=1nC, si trova all’interno di una sfera metallica concentrica, cava ed
isolata, con raggio interno R1=6 cm e raggio esterno R2=8 cm, con una carica positiva totale Q=1 nC.
Si calcolino le cariche sulle superfici interna ed esterna della sfera cava
Quanto vale la d.d.p. tra la sfera interna e quella esterna ?
q
Q − q'
q '= − q
Il problema è perfettamente simmetrico e il campo elettrico all’interno della sfera metallica cava deve essere nullo.
Ciò implica che su una superficie gaussiana interna alla parete della sfera cava (ad esempio quella evidenziata in
figura):
Φ (D) = 0 = q + q '
Necessariamente, la carica sulla superficie interna deve essere pari -1 nC. D’altra parte la carica totale è pari a Q+q=2 nC e sarà
distribuita tutta sulla superficie esterna.
Per quanto riguarda la differenza di potenziale, essa è data da:
R1
∆V = V ( R ) − V ( R1 ) = − E ⋅ dr = −
R
R1
R
q
4πε 0 r
2
dr =
q
4πε 0
1
1
−
R1 R
= −75V
Campo elettrico di dipolo
E = −∇V (r , ϑ , ϕ )
1
1
E = −(∂ r V i r + ∂ ϑ V i ϑ +
∂ ϕV iϕ )
r
r sin ϑ
Er =
2 p cos ϑ
4πε 0 r
Eϑ =
3
Eϕ = 0
p sin ϑ
4πε 0 r
3
Il potenziale di dipolo elettrico
P
z
d
2
d
−
2
r(+)
(+)
ϑ
r
r(−)
x
(−)
V = V( + ) + V ( − ) =
1
4πε 0
(
q
− q)
q r( − ) − r( + )
=
+
4πε 0 r( − ) r( + )
r( + )
r( − )
r( −) − r( + ) ≈ d cosϑ
r( −) r( + ) ≈ r 2
A distanza r>>d
V (r ,ϑ ) ≈
qd cos ϑ
4πε 0 r
2
p cos ϑ
∂ rV ≈ −
3
4πε 0 r
=
1
p cos ϑ
4πε 0
2
r
2
∂ϑV = 0
p sin ϑ
∂ϑV ≈ −
2
4πε 0 r
1
Il campo elettrico vale allora:
p cosϑ
Er ≈
3
4πε 0 r
2
p sin ϑ
Eϑ ≈
3
4πε 0 r
1
Eφ = 0
Dalla lezione 3: E( r,ϑ ) ≈
q
4πε 0 r
3
(2d cosϑ u r + d sin ϑ uϑ )
Il potenziale di un conduttore carico isolato
In un conduttore carico isolato E=0 in tutti i punti all’interno di esso, e tutta la sua
carica giace sulla superficie del conduttore.
Dall’equazione che definisce il potenziale:
V2 − V1 = − E ⋅ dr
Si deduce che essendo E=0 allora il potenziale è uguale per
tutte le coppie di punti possibili all’interno del conduttore.
Ad esempio, per un conduttore a forma di guscio sferico
campo elettrico e potenziale assumono l’andamento a fianco
Questo significa che le cariche
elettriche in un conduttore, in
presenza di campo elettrico, si
ridistribuiscono sulla superficie
in modo da assumere una
configurazione equipotenziale.
