Soluzioni della prova di fisica per prepararsi all’esame Elettromagnetismo 19 dicembre 2016 a cura di Steave Selvaduray e Gianni Melegari © Zanichelli 2016 PROBLEMA a) Le forze agenti sull’elettrone sono la forza elettrica −ππΈ e quella magnetica −ππ£×π΅. Siccome, in condizioni di equilibrio, l’elettrone si muove di moto circolare uniforme, essendo solidale al disco, allora la somma delle due forze precedenti deve essere pari alla forza centripeta −ππ! π, dove π è il raggio vettore che unisce il centro del disco con. Dunque, si ha la seguente equazione delle forze −ππΈ − ππ£×π΅ = −ππ! π ovvero: ππΈ + ππ£×π΅ = ππ! π . Da quest’ultima equazione si deduce l’espressione del campo elettrico: π πΈ = −π£×π΅ + π! π . π Valutiamo i due termini presenti nella formula, che definisce il campo elettrico, in corrispondenza di un elettrone sul bordo del disco: −π£×π΅ = π£π΅ = πππ΅ = 20,8 N/C, π ! π π = 1,92 β 10!! N/C. π E’ evidente che il secondo termine può essere trascurato rispetto al primo. b) Dunque, possiamo assumere per il modulo del campo elettrico la seguente espressione πΈ = πππ΅, dove π è la distanza dell’elettrone dal centro. Il grafico del modulo della forza elettrica πΉ = ππΈ in relazione a π è il seguente F F max = eωaB F = eωrB O a r Il lavoro π richiesto si calcola determinando l’area racchiusa dal grafico limitata dalle rette π = 0 m, π = π e πΉ = 0 N. Di conseguenza, si ottiene: 1 1 π = πΉ!"# β π = πππ! π΅ 2 2 © Zanichelli 2016 A questo punto, per ottenere la forza elettromotrice β° indotta basta dividere il lavoro per la carica dell’elettrone: π 1 ! β°= = ππ π΅. π 2 c) La variazione di area βπ corrisponde all’area del settore circolare di ampiezza angolare βπΌ. Dunque, si ha: 1 βπ = π! βπΌ. 2 Di conseguenza, la corrispondente variazione di flusso del campo magnetico è data da: 1 βΦ = π΅βπ = π! βπΌπ΅. 2 L’applicazione della legge dell’induzione elettromagnetica fornisce: βΦ 1 ! βπΌ 1 β°= = π π΅ = ππ! π΅. βπ‘ 2 βπ‘ 2 (Abbiamo trascurato il segno -). L’espressione ottenuta coincide con quella trovata nel punto b). d) Per determinare la velocità angolare π, corrispondente ad ogni tabella, possiamo considerare la seguente formula (π! − π! )/4 π π! − π! π = 2π = , π‘! − π‘! 2 π‘! − π‘! dove gli indici 3 e 4 individuano rispettivamente la terza e la quarta riga della tabella considerata. Si ottiene, quindi la seguente tabella: π (rad/s) 4,00 5,20 6,10 7,50 π° (A) 5,89 7,66 8,98 11,0 Posto: 5,89 A C = 1,47 , 4,00 rad/s rad è facile verificare che sussiste con buona approssimazione la seguente legge di proporzionalità: π!"#$ = πΌ = π!"#$ π. Non ci resta che ricavare il valore della pendenza attraverso metodi teorici. Utilizzando l’espressione della forza elettromotrice β° ottenuta in b) e ricordando la legge di Ohm, si deduce: β° π! π΅ πΌ= = π, π 2π da cui si ottiene: π!"#$ = π! π΅ C = 1,47 . 2π rad Dunque, il valore teorico della pendenza coincide con quello determinato sperimentalmente. © Zanichelli 2016 QUESITI Quesito 1 La forza elettrica πΉ! agente sulla carica π è data da: πΉ! = ππΈ, dove il campo elettrico πΈ generato dal conduttore indefinito ha la seguente espressione: π πΈ= π. 2ππ! π (Indichiamo con π il versore, nel piano contenente il conduttore e la carica, perpendicolare al conduttore e rivolto verso il basso.) Di conseguenza, si ottiene: ππ πΉ! = π. 2ππ! π La carica in gioco si muove di moto rettilineo uniforme se e solo se la forza magnetica πΉ! , prodotta dalla corrente è opposta alla forza elettrica. Ricordando la legge di Biot-Savart che fornisce il campo magnetico π΅ prodotto da un filo rettilineo indefinito e l’espressione della forza magnetica πΉ! = ππ£×π΅ agente sulla carica π, si deduce che πΉ! è opposta a πΉ! se e solo se πΌ e π£ hanno lo stesso verso. Con riferimento alla figura, la forza magnetica πΉ! agente sulla carica π è data da: µμ! πΌ πΉ! = ππ£×π΅ = −π π£ π. 2ππ Dalla condizione di equilibrio πΉ! + πΉ! = 0, si deduce: π! πΌ λ π£= , 2ππ 2πε! π da cui segue: π π! πΌπ£ = , π! e infine: π = π£µμ! ε! . πΌ Quesito 2 Ricordando la definizione di prodotto vettoriale fra due vettori, seguono i seguenti prodotti vettoriali fra i versori: π₯×π₯ = π¦×π¦ = π§×π§ = 0, π₯×π¦ = −π¦×π₯ = π§, π¦×π§ = −π§×π¦ = π₯, π§×π₯ = −π₯×π§ = π¦. Indicando con πΉ la forza di Lorentz che agisce sul protone di carica π, si ha: πΉ N N N = πΈ + π£×π΅ = 10! π₯ − 10! π¦ + 2 β 10! π§ + π C C C m m ! ! + 10 π₯ + 5 β 10 π¦ × 2 T π₯ − 1 T π§ . s s Sviluppando il prodotto vettoriale, presente nell’espressione precedente, attraverso la lista dei prodotti vettoriali fra versori, si ottiene: © Zanichelli 2016 da cui segue: πΉ N N = −4 β 10! π₯ − 8 β 10! π§, π C C πΉ πΉ N = = 10! β 4 5 . π π C Quesito 3 Consideriamo una sfera di raggio π ≥ π concentrica alla sfera carica. Attraverso semplici considerazioni di simmetria unite al teorema di Gauss, si ottiene: π πΈ β 4ππ ! = , π! dove πΈ è il modulo del campo elettrico e π! è la costante dielettrica del vuoto. Dunque, si ha: π πΈ= . 4ππ! π ! Consideriamo ora una sfera di raggio 0 < π ≤ π concentrica alla sfera carica; osserviamo, preventivamente, che la carica π contenuta all’interno di essa, soddisfa la seguente relazione: π π π= = , 4 ! 4 ! ππ πππ 3 3 da cui segue immediatamente: π π = ! π! π Procedendo in modo analogo a quanto visto in precedenza, il teorema di Gauss fornisce: π πΈ β 4ππ ! = , π! e quindi: π πΈ= π. 4ππ! π ! Sostituendo i valori numerici, si ricava infine: N 8,6 β 10! π, Cβm πΈ= Nβm2 1 1,1 β 10! , C π! 0 ≤ π < 5,0 β 10!! m π ≥ 5,0 β 10!! m Il problema non può essere formulato in modo identico per una sfera conduttrice poiché, all’equilibrio elettrostatico, la carica si distribuisce interamente sulla superficie esterna di tale conduttore. Risolviamo l’ultimo punto del quesito. Il sistema di sfere concentriche, con carica ρ distribuita nella corona sferica, è equivalente al sistema costituito dalla sfera di raggio π ! con densità ρ e dalla sfera di raggio π ! con densità −ρ. Per il principio di sovrapposizione dei campi elettrostatici, si ha che il campo elettrico πΈ in un punto π a distanza π dal centro delle sfere, con π ! ≤ π ≤ π ! , è dato da: πΈ = πΈ! + πΈ! , © Zanichelli 2016 dove πΈ! è il campo elettrico generato dalla sfera di raggio π ! con densità −π, mentre πΈ! è il campo elettrico generato dalla sfera di raggio π ! con densità ρ. Per i calcoli fatti in precedenza si ha: 4 4 −ρ β 3 ππ !! −ρ β 3 ππ ! −π N 1 πΈ! = π = π = π = −1,1 β 10! π, ! ! ! 4πε! π 4πε! π 4πε! π Cβm π ! 4 4 ρ β 3 ππ !! π β 3 ππ ! π N ! πΈ! = ! π π = 4πε π ! π π = 4πε π ! ππ = 8,6 β 10 Cβm π π, 4πε! π ! ! ! dove π è il versore concorde al vettore che unisce il centro delle sfere con il punto π. Di conseguenza, si ha: N 1 N πΈ = −1,1 β 10! ! + 8,6 β 10! π , con π ! ≤ π ≤ π ! . Cβm π Cβm © Zanichelli 2016