Flusso del campo elettrico attraverso una superficie ∆Φ i = Ei ∆Ai cos ϑi se ∆Ai → 0 r r dΦ = E ⋅ u n dA r un è il versore perpendico lare a dA Sommando su tutta una superficie chiusa: r r Φ = ∫ E ⋅ un d A LEGGE DI GAUSS Una carica interna r q Φ = ∫ E ⋅ uˆn dA = εo N cariche interne 1 Φ= εo N ∑q i =1 i La Legge di Gauss per il campo elettrico è valida sempre e costituisce una delle equazioni di Maxwell (la prima equazione) Campo di una distribuzione di carica piana uniforme indefinita Sia σ la densità superficiale di carica σ E= 2ε o Campo generato da due piani infiniti uniformemente carichi (con segno opposto) Siano: Q la carica sui piani S l’area dei piani Sia σ la densità superficiale di carica (+ σ piano a sinistra, - σ piano a destra): σ=Q/S σ= σ E= εo Campo elettrico di una distribuzione uniforme cilindrica di lunghezza infinita Siano: λ la carica per unità di lunghezza a il raggio del cilindro λ r>a E= 2πε 0 r λr r<a E= 2πε 0 a 2 POTENZIALE ELETTROSTATICO Per poter introdurre il concetto di potenziale occorre discutere del lavoro che si deve compiere per portare una carica da un punto ad un altro nello spazio dove è presente un campo elettrico. Sulla carica q’ agisce la forza F del campo elettrico. Il lavoro W che il campo elettrico esegue per portare la carica q’dal punto α al punto β vale: W =∫ β α r r F ⋅ dl Si può dimostrare che tale lavoro non dipende dal percorso scelto Γ1 o Γ2 ma solo dagli estremi Per il campo creato da una carica puntiforme q il lavoro delle forze del campo per spostare una carica q’ di prova da A a B dipende solo dalla posizione dei punti iniziale e finale L=∫ rB rA r r qq' F ⋅ ds = 4πε o qq' = 4πε o r F= r r ur ⋅ ds qq' ∫rA r 2 = 4πε o rB dr qq' 1 1 ∫rA r 2 = 4πε o rA − rB rB 1 qq ' r ur 2 4πεo r r ur θ dr ds r+dr r r ur ∫ rB rA cosϑ ds 2 r Quindi per il campo elettrico E generato da una carica puntiforme q abbiamo dimostrato che il lavoro del campo elettrico per lo spostamento di una carica q’ da A a B è indipendente dal percorso e vale: LAB = ∫ B A r r B r r F ⋅ ds = q' ∫ E ⋅ ds = A qq' 1 1 − = −(EP, B − EP , A ) = 4πε o rA rB = −[var .en. pot .] Definiamo la differenza di potenziale tra A e B: EP , B − E P , A q' q = VB − VA = 4πε o 1 1 − rB rA Possiamo generalizzare la relazione potenziale - campo elettrico: dL r q' r = E ⋅ ds = −dV L’unità di misura del potenziale è nel S.I. il VOLT V= J/C L’unità di misura del campo elettrico [E]=V/m Potenziale di una carica puntiforme q r r dV = − E ⋅ ds = − q dr 2 4πε 0 r q V= + costante 4πε o r il potenziale è noto a meno di una costante, di solito si sceglie arbitrariamente il suo valore in un punto. Ad esempio: si pone V=0 ad infinito così: q V ( P) = 4πε o r Il POTENZIALE V nel punto P assume quindi il significato di LAVORO (compiuto dal campo elettrico) NECESSARIO PER PORTARE UNA CARICA UNITARIA POSITIVA DAL PUNTO P DISTANTE rP DALLA CARICA SORGENTE q ALL’ INFINITO Potenziale di una distribuzione di carica DISTRIBUZIONE DISCRETA: avendo N cariche qi i=1,2,…,N ognuna delle quali genera un potenziale Vi in P qi Vi ( P) = 4πε o rP ,i Il Potenziale totale del sistema di cariche N 1 V ( P ) = ∑ Vi ( P ) = 4πε o i =1 N qi ∑ i =1 rP ,i Per un CAMPO ELETTRICO QUALSIASI E(P)=E(x,y,z) Il potenziale elettrostatico è definito a partire dal lavoro per unità di carica fatto dal campo r r L = ∫ q ' E ⋅ ds = − q ' ∆V r r ∆V = − ∫ E ⋅ ds dV = − Es ⋅ ds Con ES la componente del campo in direzione ds quindi in coordinate cartesiane: r ∂V r ∂V r ∂V E = − i+ j+ ∂y ∂z ∂x r r k = −∇V La differenza di potenziale tra due punti è proporzionale al lavoro fatto dalle forze del campo per spostare una carica di prova da un punto all’altro ∆VAB LAB = VB − V A = − q' Il campo elettrostatico è conservativo r r E ⋅ d s = 0 ∫ Calcolo del campo elettrico e del potenziale prodotto da una sfera conduttrice carica in superficie Siano: Q la carica posta sulla sfera a il raggio della sfera r V r ur E r r a r E(r ) = a r≥a Q r u 2 r 4πε o r r E =0 r<a Q V (r ) = 4πε o r Q V (r ) = 4πε o a