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Trigonometria
(M.S. Bernabei & H. Thaler)
Applicazioni
• Misurare lunghezze inaccessibili
– Altezza di un edificio
– Ampiezza di un fiume
Terminologia
• Angolo di elevazione

A
Terminologia
• Angolo di depressione

A
Applicazioni: Altezza
• Per stabilire l’ altezza di
un edificio, una persona
cammina 120 ft lontano
dal palazzo.
• Al quel punto l’ angolo
di elevazione di 32 é
formato quando guarda
alla cima del palazzo .

32
120 ft
H = 74.98 ft
h=?
Applicazione: Altezza
• UN osservatore in cima alla collina
misura un angolo di depressione di
68 quando guarda alla macchina
parcheggiata in fondo alla valle.
• Se la distanza é 55 ft dalla base
della collina, quanto é alta la
collina?

68
h=?
55 ft
H = 136.1 ft
Applicazione: ampiezza del fiume
?
37
70 ft
D = 52.7 ft
Angoli e Conversione
Gli angoli si misurano a partire dal semiasse
positivo delle x in senso antiorario.
Conversione da radianti in gradi e viceversa
α° = (360° · αrad ) / 2 π
α° : αrad = 360° : 2 π
αrad = (α° · 2 π ) / 360°
Da gradi a radianti: moltiplicare l’ angolo per

180
60  



180  3

.
radianti
Da radianti a gradi: moltiplicare l’ angolo per
180

.
 180 

 45
4

Nota: 1 giro = 360° = 2

radianti.
s  r.
Partiamo dall’ angolo  = 0
c

a
Partiamo dall’ angolo  = 0
c

Partiamo dall’ angolo  = 0
In questo caso anche il lato opposto all’ angolo  é uguale a 0
c

Partiamo dall’ angolo  = 0
In questo caso anche il lato opposto all’ angolo  é uguale a 0
c
a

Partiamo dall’ angolo  = 0
In questo caso anche il lato opposto all’ angolo  é uguale a 0
allora:
0
0
sin  = a
=
=
c c
c
a

Partiamo dall’ angolo  = 0
In questo caso anche il lato opposto all’ angolo  é uguale a 0
sen  = 0
c

quando  cresce,
il rapporto a/c cresce, e quindi il seno dell’ angolo cresce
c

sen  = 0
quando  cresce,
il rapporto a/c cresce, e quindi il seno dell’ angolo cresce
c

a
sen  = 0
quando  cresce,
il rapporto a/c cresce, e quindi il seno dell’ angolo cresce
c

a
sen  = 0
quando  cresce,
il rapporto a/c cresce, e quindi il seno dell’ angolo cresce
c
a

sen  = 0
quando  cresce,
il rapporto a/c cresce, e quindi il seno dell’ angolo cresce
c

a
sen  = 0
Se l’ angolo  é 90°
allora
c

a =c
a
sen  = 0
Se l’ angolo  é 90°
allora
a =c
ca

sen  = 0
Se l’ angolo  é 90°
allora a = c
Quindi
a
c
sen  =c = c = 1
ca

sen  = 0
Se l’ angolo  é 90°
allora a = c
Quindi
ca

sen  = 0
sen  = 1
Il seno dell’ angolo si può rappresentare
con il grafico
di
sin  rispetto ad 
Disegniamo una circonferenza di raggio r=1
Disegniamo una circonferenza di raggio r=1
r=1
Disegniamo una circonferenza di raggio r=1 e
la retta perpendicolare
r=1
Disegniamo una circonferenza di raggio r=1 e
la retta perpendicolare
r=1
Disegniamo una circonferenza di raggio r=1 e
la retta perpendicolare, allora sen  a
r=1

a
Disegniamo una circonferenza di raggio r=1 e
la retta perpendicolare, allora sen  a
r=1

a a
sen  = =
1
a
Tracciamo il grafico
Tracciamo il grafico

Tracciamo il grafico
sin 

Tracciamo il grafico
sen 
+1
0°
-1
90°
180°
270°
360°

Tracciamo il grafico
sen 
+1
0°
-1
90°
180°
270°
360°

Tracciamo il grafico
sen 
+1
0°
-1
90°
180°
270°
360°

Tracciamo il grafico
sen 
+1
0°
-1
90°
180°
270°
360°

Tracciamo il grafico
sen 
+1
0°
-1
90°
180°
270°
360°

Tracciamo il grafico
sen 
+1
0°
-1
90°
180°
270°
360°

Tracciamo il grafico
sen 
+1
0°
-1
90°
180°
270°
360°

Tracciamo il grafico
sen 
+1
0°
-1
90°
180°
270°
360°

Tracciamo il grafico
sen 
+1
0°
-1
90°
180°
270°
360°

Tracciamo il grafico
sen 
+1
0°
-1
90°
180°
270°
360°

Tracciamo il grafico
sen 
+1
0°
-1
90°
180°
270°
360°

Tracciamo il grafico
sen 
+1
0°
-1
90°
180°
270°
360°

Tracciamo il grafico
sen 
+1
0°
-1
90°
180°
270°
360°

Tracciamo il grafico
sen 
+1
0°
-1
90°
180°
270°
360°

Tracciamo il grafico
sen 
+1
0°
-1
90°
180°
270°
360°

Tracciamo il grafico
sen 
+1
0°
-1
90°
180°
270°
360°

Tracciamo il grafico
sen 
+1
0°
-1
90°
180°
270°
360°

Tracciamo il grafico
sen 
+1
0°
-1
90°
180°
270°
360°

Tracciamo il grafico
sen 
+1
0°
-1
90°
180°
270°
360°

Tracciamo il grafico
sen 
+1
0°
-1
90°
180°
270°
360°

Tracciamo il grafico
sen 
+1
0°
-1
90°
180°
270°
360°

Tracciamo il grafico
sen 
+1
0°
-1
90°
180°
270°
360°

Tracciamo il grafico
sen 
+1
0°
-1
90°
180°
270°
360°

Tracciamo il grafico
sen 
+1
0°
-1
90°
180°
270°
360°

Tracciamo il grafico
sen 
+1
0°
-1
90°
180°
270°
360°

Tracciamo il grafico. Analogamente otteniamo
sen 
+1
0°
-1
90°
180°
270°
360°

Tracciamo il grafico. Analogamente otteniamo
sen 
+1
0°
-1
90°
180°
270°
360°

Tracciamo il grafico. Analogamente otteniamo
sen 
+1
0°
-1
90°
180°
270°
360°

Tracciamo il grafico. Analogamente otteniamo
sen 
+1
0°
-1
90°
180°
270°
360°

Tracciamo il grafico. Analogamente otteniamo
sen 
+1
0°
-1
90°
180°
270°
360°

Tracciamo il grafico. Analogamente otteniamo
sen 
+1
0°
-1
90°
180°
270°
360°

Tracciamo il grafico
sen 
La funzione seno è compresa tra
-1 e 1.
+1
0°
-1
90°
180°
270°
360°

sin 
In particolare:
+1
0°
-1
90°
180°
270°
360°

sen 
+1
0°
-1
90°
180°
270°
360°

sen 0°  0
sen 
+1
0°
-1
90°
180°
270°
360°

sen 0°  0
sen 
sen 90°  1
+1
0°
-1
90°
180°
270°
360°

sen 0°  0
sen 
sen 90°  1
sen 180°  0
+1
0°
-1
90°
180°
270°
360°

sen 0°  0
sen 
sen 90°  1
sen 180°  0
+1
sen 270°  -1
0°
-1
90°
180°
270°
360°

sen 0°  0
sen 
sen 90°  1
sen 180°  0
+1
sen 270°  -1
sen 360°  0
0°
-1
90°
180°
270°
360°

sen (180° -  sen 
sen 
+1
0°
90°
180°
-1
  
270°
360°

sen (180° -  sen 
sen 
+1
0°
90°
180°
-1
  
270°
360°

sen (180° -  sen 
sen 
+1
sen 
0°
90°
180°
-1
  
270°
360°

sen (180° -  sen 
sen 
+1
sen 
0°
90°
180°
270°
-1
  
    
360°

sen (180° -  sen 
sen 
+1
sen 
0°
90°
180°
270°
-1
  
    
360°

sen (180° +    sen 
sen 
+1
0°
-1
90°
180°
270°
360°

sen (180° +    sen 
sen 
+1
0°
90°
-1
  
180°
270°
360°

sen (180° +    sen 
sen 
+1
0°
90°
-1
  
180°
270°
360°

sen (180° +    sen 
sen 
+1
sen 
0°
90°
-1
  
180°
270°
360°

sen (180° +    sen 
sen 
+1
sen 
0°
90°
-1
  
180°
270°
360°

sen (180° +    sen 
sen 
+1
sen 
0°
90°
-1
  
180°
270°
360°

sen (180° +    sen 
sen 
+1
sen 
0°
90°
-1
  
180°
270°
360°

sen (180° +    sen 
sen 
+1
sen 
0°
90°
180°
270°
360°

-1
  
      
Grafico della funzione seno
x
0
sin x
0

2
1

3
2
2
0
-1
0
Un singolo ciclo é chiamato periodo.
3

2



y
1

2
2
1
y = sen x

3
2
2
5
2
x
Consideriamo la circonferenza di raggio r=1
In questo caso b coincide con il coseno dell’ angolo 
r=1

b
b b
cos  = =
1
Tracciamo il grafico della funzione coseno
cos 
+1
r=1

b
0°
-1
cos  = b
90°
180°
270°
360°

Tracciamo il grafico della funzione coseno
cos 
+1
r=1

b
0°
-1
cos  = b
90°
180°
270°
360°

cos 
+1

b=r=1
0°
-1
cos  = b
90°
180°
270°
360°

cos 
+1

b
0°
-1
cos  = b
90°
180°
270°
360°

cos 
+1

b
0°
-1
cos  = b
90°
180°
270°
360°

cos 
+1

b
0°
-1
cos  = b
90°
180°
270°
360°

cos 
+1

b=0
0°
-1
cos  = b
90°
180°
270°
360°

cos 
+1

-b
0°
-1
cos  = b
90°
180°
270°
360°

cos 
+1

-b
0°
-1
cos  = b
90°
180°
270°
360°

cos 
+1

-b
0°
-1
cos  = b
90°
180°
270°
360°

cos 
+1

0°
b=-r= -1
-1
cos  = b
90°
180°
270°
360°

cos 
+1

b
0°
-1
cos  = b
90°
180°
270°
360°

cos 
+1

b
0°
-1
cos  = b
90°
180°
270°
360°

cos 0°  1
cos 
+1

b
0°
-1
cos  = b
90°
180°
270°
360°

cos 0°  1
cos 
cos 90°  0
+1

b
0°
-1
cos  = b
90°
180°
270°
360°

cos 0°  1
cos 
cos 90°  0
cos 180°  -1
+1

b
0°
-1
cos  = b
90°
180°
270°
360°

cos 0°  1
cos 
cos 90°  0
cos 180°  -1
+1

b
0°
-1
cos  = b
cos 270°  0
90°
180°
270°
360°

cos 0°  1
cos 
cos 90°  0
cos 180°  -1
+1
cos 360°  +1

b
0°
-1
cos  = b
90°
180°
270°
360°

cos 0°  1
cos 
cos 90°  0
cos 180°  -1
+1
cos 360°  +1

b
0°
-1
cos  = b
cos 270°  0
90°
180°
270°
360°

cos (180° -  - (cos 
cos 
+1

b
0°
-1
cos  = b
90°
180°
270°
360°

cos (180° -  - (cos 
cos 
+1

b
0°
-1
cos  = b
90°
180°
270°
360°

cos (180° -  - (cos 
cos 
+1

b
0°
-1
cos  = b
90°
180°
270°
360°

cos (180° +  - (cos 
cos 
+1

b
0°
-1
cos  = b
90°
180°
270°
360°

Grafico della funzione coseno
x
0
cos x
1

2
0

3
2
2
-1
0
1
Un singolo ciclo é chiamato periodo.
3

2



y
1

2
2
1
y = cos x

3
2
2
5
2
x
sen   a/c
c

sen 0°  0
b
a
cos   b/c
cos 0°  1
sen 90°  1
cos 90°  0
sen 180°  0
cos 180°  -1
sen 270°  -1
cos 270°  0
sen (180° -  sen 
cos (180° -  - (cos 
sen (180° +    sen  cos (180° +  - (cos 
sen (90° -  cos 
cos (90° -  sen 
sen (90° +  cos 
cos (90° +  sen 
Le funzioni trigonometriche di un triangolo rettangolo, con un
angolo acuto , sono definite come rapporti di due lati del
triangolo.
I lati del triangolo sono:
ip
 Il lato opposto all’ angolo acuto ,
 Il lato adiacente all’ angolo acuto ,
 e l’ ipotenusa del triangolo rettangolo.
Le funzioni trigonometriche sono:
seno, coseno, tangente.
opp
sen  =
cos  = adi
ipo
ip
opp
θ
adi
tan  = opp
adi
Identità trigonometriche fondamentali per 0 <  < 90.
sin  = cos(90  )
cos  = sin(90  )
tan  = sin  /cos 
Identità di Pitagora
sin2  + cos2  = 1
Calcolare le funzioni trigonometriche per  .
5
4

3
4
sen  =
5
4
tan  =
3
3
cos  =
5
Geometria del triangolo con angoli 45°-45°-90°
Consideriamo un triangolo rettangolo isoscele con I
due lati uguali a 1.
2
45
1
12  12  2
45°
1
Il Teorema di Pitagora implica che l’ ipotenusa ha
lunghezza 2.
Calcalare le funzioni trigonometriche dell’ angolo 45
angle.
2
1
45°
1
sin 45 =
opp
1
2
=
=
ip
2
2
tan 45 =
opp 1
= = 1
1
adi
1
2
adi
cos 45 =
=
=
2
ip
2
Geometria del triangolo con angoli 30°-60°-90°
Consideriamo un triangolo equilatero di lato 2.
30○ 30○
I tre lati sono uguali come i tre
angoli di 60.
2
La perpendicolare divide il
lato opposto in due parti
uguali.
60○
Usando il Teorema di Pitagora si
trova che la lunghezza dell’ altezza
é 3.
2
3
1
60○
2
1
Calcolo delle funzioni trigonometriche per l’ angolo di
30.
2
1
30
3
opp 1
sin 30 =
=
ip
2
3
1
opp
tan 30 =
=
=
adi
3
3
cos 30 =
3
adi
=
2
ip
Calcolo delle funzioni trigonometriche per l’ angolo di
60.
2
3
60○
opp
3
sin 60 =
=
ip
2
tan 60 =
1
3
opp
=
= 3
1
adi
1
adi
cos 60 =
=
2
ip
Identità trigonometriche
Esempio: sen  = cos(90  ), per 0 <  < 90
Notiamo che  e 90  sono angoli
complementari.
Il lato a é opposto a θ e anche
adiacente all’ angolo 90○– θ .
ip
90○– θ a
θ
b
a
sen  =
e cos (90  ) =
b
Così, sen  = cos (90  ).
a
.
b
sen   a/c
cos   b/c
c
a

b
𝟑
𝐭𝐚𝐧 𝟑𝟎° =
𝟑
𝒕𝒂𝒏 𝟔𝟎° = 𝟑
𝒕𝒂𝒏 𝟒𝟓° = 𝟏
Grafico della funzione tangente
sin x
tan
x

La funzione tangente y = tan x é definita,
cos x
Nei punti x per cui cos x = 0, la funzione tangente non é definta.
y

2
 3
2

2
periodo:
3
2
x
1
2
sin x = é un’ equazione trigonometrica.
x = 6π é una delle infinite soluzioni di y = sin x.
y
-19π
6
-3π
-11π
6
-7π
6
π
6
1
5π
6
π
-2π -π
13π
6
17π
6
2π 3π
25π
6
4π
1
y
=
x
2
-1
Tutte le soluzioni di x possono essere espresse nella
forma di soluzione generale.
x = 6π + 2k π and x = 5 6π + 2k π (k = 0, ±1, ± 2, ± 3,  ).
Esempio: Risolvere tan x = 1.
Il grafico di y = 1 interseca il grafico di y = tan x infinite volte.
y
- π – 2π
4
-π–π
4
π
π + π π + 2π
π + 3π
4
4
4
4
y=1
-π
π
x
2π
3π
y = tan(x)
x = -3π x = -π
2
2
x = π x = 3π x = 5π
2
2
2
I punti di intersezione sono x = π e tutt I multipli di π aggiunti o
4
π
sottratti a 4 .
Soluzione generale: x = π + kπ per ogni intero k.
4
Esempio: Risolvere l’ equazione
3sen x + 2 = sen x  π ≤ x ≤ π .
2
2
y
3sen x + 2 = sen x
3sen x  sen x + 2 = 0
2sen x + 2 = 0
sen x =  2
2
1
-π
1 4
x
y=- 2
2
x = 4π é la sola soluzione dell’ intervallo  2π ≤ x ≤ 2π .
Esempio: Trovare la soluzione di
cos4(2x) = 9 .
16
Prendendo la radice quarta di entrambi i membri otteniamo:
cos(2x)= ± 3
y
2
Dal cerchio unitario, le
soluzioni per 2 sono
2 = ± π + kπ,
6
k intero.
π
π
1
π
6
x
-π
6
x=- 3
2
π + k ( π ), per ogni intero k.
Risposta:  = ± 12
2
x=
3
2
Trovare la soluzione dell’ equazione trigonometrica:
tan2  + tan  = 0.
tan2  + tan  = 0
tan  (tan  +1) = 0
Quindi, tan  = 0 or tan  = -1.
Le soluzioni per tan  = 0 sono i valori  = kπ,
per ogni intero k.
Le soluzioni per tan  = 1sono  = -4π + kπ,
per ogni intero k.
L’ equazione trigonometrica 2 sin2  + 3 sin  + 1 = 0
é in forma quadratica.
2 sen2  + 3 sen  + 1 = 0 implica che
(2 sen  + 1)(sen  + 1) = 0.
Quindi, 2 sen  + 1 = 0 or sen  + 1 = 0.
Deriva che
sen  = -1 o sen  = -1.
2
Soluzioni:
 = - π + 2kπ e  = 7π + 2kπ, da sen  = - 1
6
6
2
 = -π + 2kπ, da sen  = -1
Esempio: Risolvere 8 sen  = 3 cos2  con  nell’ intervallo
[0, 2π].
Riscriviamo l’ equazione in termini di una sola funzione
trigonometrica.
Usando l’ Identità di Pitagora.
8 sen  = 3(1 sen2  )
3 sen2  + 8 sen   3 = 0. Una equazione quadratica con sen x
come variabile
y= sen 
3 y2 + 8 y  3 = 0
Quindi y = 1/3 o y = -3
Soluzioni: sen  = 1 o sen  = -3
3
 = sin1( 1 ) = 0.3398 e  = π  sen1( 1) = 2.8107.
3
3
1
sen x > é una disequazione trigonometrica.
2
x = 6π é una delle infinite soluzioni dell’ equazione
associata all’ equazione sopra y = sin x.
y
-19π
6
-3π
-11π
6
-7π
6
π
6
1
5π
6
π
-2π -π
13π
6
17π
6
2π 3π
25π
6
4π
1
y
=
x
2
-1
Tutte le soluzioni per x possono essere espresse in
termini di soluzione generale.
π + 2k π < x < 5 π + 2k π (k = 0, ±1, ± 2, ± 3,  ).
6
6
Esempio: Risolvere tan x < 1.
Il grafico di y = 1 interseca il grafico di y = tan x infinite
y
volte.
- π – 2π
4
-π–π
4
π
π + π π + 2π
π + 3π
4
4
4
4
y=1
x
π
-π
2π
3π
y = tan(x)
x = -3π x = -π
2
2
x = π x = 3π x = 5π
2
2
2
I punti di intersezione sono x = π ed ogni multiplo di π .
4
Soluzione generale:
inetro k.
𝜋
−
2
𝜋
4
+ kπ < 𝑥 < + kπ
per ogni
Esercizi
1. Converti gli angoli 120°, 135°, 225°, 450° in
radianti.
2. Converti gli angoli 0.1 rad., 0.25 rad., 0.5 rad.
in gradi.
3. Risolvere le seguenti equazioni
trigonometriche:
a.
b.
c.
1
cos 𝜑 = − ;
2
3
2
sin 𝜑 = ;
4
2
cos 2𝜑 =
2
;
4. Risolvere le seguenti disequazioni:
a. cos 𝜑 >
1
;
2
b. sin 𝜑 <
3
;
2
c. cos 2𝜑 >
5. Calcolare:
a.
b.
c.
d.
e.
sen 120°
cos 120°
sen 135°
cos 135°
tan 135°
2
2
;