1 - Docenti.unina

1786_Cop_Nuova_formazione_vol_E_ok:Layout 1
17/12/2008
12.55
Pagina 1
6
Dodero - Baroncini - Manfredi
Nella Dodero - Paolo Baroncini - Roberto Manfredi
volume A
algebra prima parte + quaderno di recupero 1
ISBN 978-88-538-1780-8
goniometria, trigonometria,
numeri complessi
volume B
algebra seconda parte + quaderno di recupero 2
ISBN 978-88-538-1782-2
volume C
geometria razionale
ISBN 978-88-538-1784-6
volume D
geometria analitica e complementi di algebra
ISBN 978-88-538-1785-3
+
goniometria, trigonometria, numeri complessi
volume E
goniometria, trigonometria, numeri complessi
ISBN 978-88-538-1786-0
Altra opzione di acquisto
volume A + quaderno di recupero 1 + volume C
ISBN 978-88-538-1781-5
Per il docente
Indicazioni didattiche, prove d’ingresso, schede di verifica
ISBN 978-88-538-1787-7
Nel sito www.scuola.com sono disponibili
risorse didattiche aggiuntive nell’area contrassegnata dal simbolo
Prezzo di vendita al pubblico € 9,00
(Defiscalizzato € 8,65)
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ISBN 978-88-538-1786-0
Questo volume, sprovvisto del talloncino a sinistra, è da considerarsi copia di SAGGIO-CAMPIONE
GRATUITO, fuori commercio (vendita e altri atti di disposizione vietati: art. 17, c. 2. L. 633/1941). Fuori
campo applicazione I.V.A. (D.P.R. 26/10/72, n. 633, art. 2, 3° co, lett. d.)
1786_Fronte_ Nuova_formazione_vol_E:Nuova_formazione_A_fronte
13/11/2008
15.03
Pagina 1
Nella Dodero - Paolo Baroncini - Roberto Manfredi
goniometria, trigonometria,
numeri complessi
ISBN_1786_Nuova_Formazione_Mod_E:Layout 1
17/12/2008
9.55
Pagina 1
internet: www.ghisettiecorvi.it
e-mail: [email protected]
Gli Autori e l’Editore ringraziano la professoressa Carla Gabriella Villa per la preziosa
collaborazione.
Proprietà letteraria riservata
© 2009 De Agostini Scuola SpA – Novara
1ª edizione: gennaio 2009
Printed in Italy
La fotografia di questo volume è stata fornita da:
© Matthias Kulka / zefa / Corbis.
Derive 6 è un marchio depositato di Texas Instruments Incorporated.
L’Editore dichiara la propria disponibilità a regolarizzare eventuali omissioni o errori di attribuzione.
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dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall’art. 68, comma 4, della legge 22 aprile 1941,
n. 633.
Le riproduzioni ad uso differente da quello personale potranno avvenire, per un numero di pagine non
superiore al 15% del presente volume, solo a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da AIDRO –
Corso di Porta Romana, 108 – 20122 Milano – e-mail: [email protected]; www.aidro.org
Eventuali segnalazioni di errori o refusi e richieste di chiarimenti sulle scelte operate dagli autori e dalla
Casa Editrice possono essere inviate all’indirizzo di posta elettronica della redazione.
Stampa: A.G.F. Italia s.r.l. – Peschiera Borromeo (MI)
Ristampa:
0
Anno:
2009
1
2
3
2010
4
5
2011
6
7
2012
8
9
2013
10 11
2014
Nuova formazione alla matematica E - Ghisetti e Corvi © 2009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara
d:/lavori/Sedes/ISBN_1786_09/indice.3d - 15/12/2008 - La Pulce
Simboli usati nel testo . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V
Unità 3. Equazioni e
disequazioni goniometriche
Equazioni goniometriche elementari
e a esse riconducibili
Unità 1. Funzioni goniometriche
1
Misura degli angoli
1
2
3
4
5
Introduzione . . . . . . . . . . . . .
Misura degli angoli in gradi . . .
Misura degli angoli in radianti .
Da gradi a radianti e viceversa
La circonferenza goniometrica
.
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1
2
3
3
4
2
3
4
5
6
Seno, coseno e tangente di un angolo
6
7
8
9
10
Seno e coseno di un angolo . . . . . . . . . .
Tangente di un angolo . . . . . . . . . . . . . . .
5
7
7
Relazioni fondamentali tra seno e coseno
dello stesso angolo . . . . . . . . . . . . . . . . .
Relazione tra tangente, seno e coseno dello
stesso angolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cotangente di un angolo . . . . . . . . . . . . .
9
8
8
12
13
Angolo di 45º . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Angolo di 30º . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Angolo di 60º . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
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59
60
62
64
......
65
......
66
Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Equazioni lineari omogenee . . . . . . . . . . .
Risoluzione di un’equazione lineare
mediante le formule parametriche . . . . . .
67
67
67
Disequazioni goniometriche
elementari
10
Angoli notevoli
11
.
.
.
.
Equazioni lineari in seno e coseno
Relazioni fondamentali tra le funzioni
goniometriche
9
10
Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . .
Angoli di dato seno . . . . . . . . . . .
Angoli di dato coseno . . . . . . . . .
Angoli di data tangente . . . . . . . .
Equazioni riconducibili a equazioni
elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Equazioni riconducibili a equazioni
elementari mediante formule
goniometriche . . . . . . . . . . . . . . .
11
11
11
Risoluzione delle disequazioni
goniometriche elementari . . . . . . . . . . . .
68
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
Scheda di autovalutazione . . . . .
92
Grafici delle funzioni goniometriche
14
Rappresentazione grafica della variazione
del seno, del coseno, della tangente . . . .
12
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Scheda di autovalutazione . . . . .
28
Unità 4. Trigonometria
Triangoli rettangoli
1
2
3
4
Unità 2. Formule goniometriche
1
2
3
Angoli associati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Angoli opposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Angoli complementari . . . . . . . . . . . . . . .
6
29
31
31
Formule di addizione, duplicazione,
bisezione, parametriche
4
5
6
7
Formule
Formule
Formule
Formule
di addizione e sottrazione
di duplicazione . . . . . . . .
di bisezione . . . . . . . . . .
parametriche . . . . . . . . .
.
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32
34
34
35
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
Scheda di autovalutazione . . . . .
58
.
.
.
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.
93
94
96
97
Il teorema dei seni – Il teorema di Carnot .
Risoluzione dei triangoli qualsiasi . . . . . . . .
98
99
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104
Scheda di autovalutazione . . . . .
122
Triangoli qualsiasi
5
Relazioni tra le funzioni di angoli
associati, angoli opposti, angoli
complementari
Oggetto della trigonometria . . . .
Teoremi sui triangoli rettangoli . .
Risoluzione dei triangoli rettangoli
Area di un triangolo qualsiasi . . .
Unità 5. Forma algebrica dei
numeri complessi
Numeri immaginari
1
2
3
4
Ampliamenti degli insiemi numerici .
I numeri immaginari . . . . . . . . . . . .
Operazioni con i numeri immaginari
Potenze dell’unità immaginaria . . . .
.
.
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.
III
Nuova formazione alla matematica E - Ghisetti e Corvi © 2009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara
123
123
124
125
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2
Numeri complessi
5
6
7
8
I numeri complessi in forma algebrica . . . .
Operazioni con i numeri complessi . . . . . .
Risoluzione di equazioni di secondo grado
nell’insieme dei numeri complessi . . . . . . .
Rappresentazione geometrica dei numeri
complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
126
127
129
4
131
5
Vettori e numeri complessi
9
10
3
Generalità sui vettori . . . . . . . . . . . . . . . .
Numeri complessi e vettori . . . . . . . . . . . .
132
134
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
135
Scheda di autovalutazione . . . . .
148
6
Dalla forma algebrica alla forma
trigonometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Prodotto di due numeri complessi in forma
trigonometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quoziente di due numeri complessi in forma
trigonometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Potenza di un numero complesso . . . . . .
Radici n-esime di un numero complesso .
151
153
154
155
156
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
159
Scheda di autovalutazione . . . . .
168
Laboratorio di matematica
Attività con Derive . . . . . . . . . . . . .
170
Unità 6. Forma trigonometrica
dei numeri complessi
Rappresentazione trigonometrica dei
numeri complessi
1
Modulo e argomento di un numero
complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
149
Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
Fare matematica con Derive
Fare matematica con il foglio elettronico
Fare geometria con Cabri
Disponibile on line su www.ghisettiecorvi.it
IV
Nuova formazione alla matematica E - Ghisetti e Corvi © 2009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara
d:/lavori/Sedes/ISBN_1786_09/simboli.3d - 6/12/2008 - La Pulce
Simboli usati nel testo
2
simbolo di appartenenza
Rþ
0
insieme dei numeri reali positivi e dello zero
simbolo di inclusione tra insiemi in senso
stretto
R
insieme dei numeri reali negativi
R
0
insieme dei numeri reali negativi e dello zero
simbolo di inclusione tra insiemi in senso largo
[
insieme vuoto
j
«tale che»
[
simbolo di unione tra insiemi
\
simbolo di intersezione tra insiemi
simbolo di differenza tra insiemi
simbolo di prodotto cartesiano tra insiemi
A
complementare dell’insieme A rispetto
all’insieme ambiente
CU A complementare dell’insieme A rispetto
all’insieme ambiente U
N
insieme dei numeri naturali
N
insieme dei numeri naturali, escluso lo zero
(N f0g)
Z
insieme dei numeri interi relativi
Q
insieme dei numeri razionali
R
insieme dei numeri reali
Rþ
insieme dei numeri reali positivi
9
quantificatore esistenziale (leggi «esiste»)
8
quantificatore universale (leggi «per ogni»)
_
simbolo di disgiunzione tra proposizioni o
predicati (leggi «vel», «o», «oppure»)
^
simbolo di congiunzione tra proposizioni o
predicati (leggi «et», «e
contemporaneamente»)
! freccia che si usa per collegare due
espressioni A e B da A a B
! doppia freccia che si usa per collegare due
espressioni A e B da A a B e viceversa
ﬃ
simbolo di congruenza tra figure
//
simbolo di parallelismo tra rette
?
:
¼
simbolo di perpendicolarità tra rette
’
simbolo di uguaglianza numerica
approssimata
simbolo di coincidenza tra punti o tra figure
simbolo di equiestensione o equivalenza tra
figure
V
Nuova formazione alla matematica E - Ghisetti e Corvi © 2009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara
d:/lavori/Sedes/ISBN_1786_09/c01u01.3d - 6/12/2008 - La Pulce
c
c
c
c
c
Misura degli angoli
Seno, coseno e tangente di un angolo
Relazioni fondamentali tra le funzioni goniometriche
Angoli notevoli
Grafici delle funzioni goniometriche
È richiesta la conoscenza delle fondamentali nozioni di algebra e di geometria piana; è inoltre necessario
aver compreso il concetto di funzione e di rappresentazione grafica di una funzione.
Conoscenze
Abilità
Alla fine dell’unità conoscerai
Alla fine dell’unità sarai in grado di
c i sistemi di misura degli angoli
c convertire la misura di un angolo da un sistema
di misura all’altro
c le più importanti funzioni goniometriche: seno,
coseno e tangente di un angolo
c le relazioni tra queste funzioni
c i loro valori per alcuni angoli notevoli
c la rappresentazione grafica delle tre funzioni
fondamentali
c noto il valore di una delle tre funzioni per un dato angolo, calcolare il valore delle altre due funzioni
c rappresentare graficamente le tre funzioni fondamentali
Misura degli angoli
1
Introduzione
Per angolo si intende ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da due sue semirette aventi la stessa origine (Figura 1).
ango
angolo
so
a ng
vertice
lati
conves lo
olo
co n c a v o
Figura 1
Un angolo si può anche considerare generato dalla rotazione, in un piano, di una delle due
semirette intorno all’origine O fino a sovrapporsi all’altra semiretta: è quindi necessario
indicare quale delle due semirette è il primo lato e fissare il verso di rotazione.
1
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Unità 1
Funzioni goniometriche
Solitamente intenderemo verso positivo per le rotazioni quello antiorario, cioè quello
opposto al moto delle lancette dell’orologio.
Parleremo quindi di angoli orientati e diremo che un angolo è orientato se è indicato
quale sia il primo lato ed è fissato il verso di rotazione.
c è positiAd esempio in Figura 2 l’angolo ab
c
vo mentre l’angolo cd è negativo.
Osserviamo inoltre che la semiretta a, per
sovrapporsi alla b, potrebbe anche descrivere uno o più giri completi: in tal caso
l’ampiezza dell’angolo cosı̀ descritto differic di uno o più angoli
sce dall’ampiezza di ab
Figura 2
giro.
2
d efinizione
Misura degli angoli in gradi
Esistono diversi metodi per misurare l’ampiezza di un angolo, a seconda dell’unità di misura che si sceglie.
Le unità di misura più usate sono il grado sessagesimale e il radiante.
Il grado è la 360ma parte dell’angolo giro.
Il grado si indica con ( ). Esso si divide in 60 primi, cioè 1 ¼ 600 ; a sua volta il primo (0 ) si
divide in 60 secondi, cioè 10 ¼ 6000 . Il secondo (00 ) può essere poi diviso in decimi, centesimi ecc. Il grado cosı̀ definito si chiama anche grado sessagesimale.
bB misurata nel sistema sessagesimale si può, per
Per indicare l’ampiezza di un angolo AO
0
b
esempio, scrivere
AOB ¼ 85 24 46;500
La misura in gradi
può anche essere espressa
sessagesimali
decimale:
in
forma
basta ricor1
1
1
1
1
0
00
0
00
dare che 1 ¼
e1 ¼
¼
.
1 , cioè 1 ¼
60
60
60
60
3600
e sempi
Esprimiamo in forma decimale la misura dell’angolo di 85 240 46;500 .
Si ha
1
1
85 24 46;5 ¼ 85 þ 24 þ 46;5 ¼ 85 þ 24
þ 46;5
¼
60
3600
46;5
24
14:865
¼ 85 þ
¼ 85 þ 0;4129::: ’ 85;413
¼ 85 þ
þ
60
36:000
3600
0
00
0
00
Il risultato è stato arrotondato alla terza cifra dopo la virgola ed è cosı̀ approssimato
a meno di un millesimo di grado.
Esprimiamo in gradi, primi e secondi l’ampiezza dell’angolo di 37;251 , arrotondando il risultato a 100 .
Si ha
37;251 ¼ 37 þ 0;251 ¼ 37 þ 0;251 600 ¼ 37 þ 15;060 ¼ 37 þ 150 þ 0;060 ¼
¼ 37 þ 150 þ 0;06 6000 ¼ 37 þ 150 þ 3;600 ’ 37 þ 150 þ 400
quindi
37;251 ’ 37 150 400
2
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Unità 1
3
Misura degli angoli in radianti
d efinizione
Il radiante (rad) è l’angolo che, avendo il vertice nel centro di
una circonferenza, sottende un arco di lunghezza uguale al
raggio della circonferenza (Figura 3).
L’ampiezza dell’angolo cosı̀ ottenuto non dipende dalla circonferenza scelta né dal suo raggio.
In matematica il radiante è spesso usato come unità di
misura degli angoli.
La misura in radianti di un angolo è il rapporto tra l’ampiezza dell’angolo e quella del radiante. Per misurare in radianbB di vertice O (Figura 4), immaginiamo una
ti un angolo AO
circonferenza di raggio r con il centro in O (per semplicità
supporremo che A e B siano punti di questa circonferenza). Su questa circonferenza prendiamo poi un punto C
bC sia un radiante o, il che è
in modo che l’ampiezza di AO
la stessa cosa, in modo che AC ¼ r. Se chiamiamo la mibB, è il rapporto tra AO
bB e AO
bC:
sura in radianti di AO
b
¼ AOB
b
AOC
Figura 3
Figura 4
Poiché in una circonferenza gli angoli al centro sono proporzionali agli archi che sottendono, detta l la lunghezza dell’arco AB ed essendo AC ¼ r, si ha:
¼ AB ! r ¼ l
r
AC
Poiché l’arco sotteso da un angolo giro è l’intera circonferenza, la cui lunghezza è 2r, la
misura di un angolo giro, in radianti, è 2r ¼ 2. Pertanto l’ampiezza dell’angolo giro può
r
essere indicata indifferentemente da 360 o da 2 rad. In modo analogo si può ottenere la
misura di un angolo piatto, che è , e quella dell’angolo retto, che è .
2
Quindi si ha
180 ¼ rad;
90 ¼ rad
360 ¼ 2 rad;
2
1 ¼ rad ! 1 ¼ rad
e, pertanto, per l’angolo di 1 si avrà
180
180
4
Da gradi a radianti e viceversa
Abbiamo visto che un grado equivale a radianti, quindi se è la misura in gradi del180
l’ampiezza di un certo angolo, la sua misura , in radianti, è
r¼a 1
180
1 si deduce
Dalla j
2
¼ ! a ¼ 180 r
180
1 permette di calcolare la misura in radianti di un angolo di cui è nota la misura La j
in gradi.
3
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Unità 1
Funzioni goniometriche
2 , viceversa, permette di passare dalla misura in radianti di un angolo alla sua
La j
misura in gradi.
180 e deduciamo cosı̀ che l’angolo di 1 rad equi2 poniamo ¼ 1, si ha ¼
Se nella j
180
’ 57;323 .
vale all’angolo di
e sempi
La misura in radianti di un angolo di 150 è
¼
150
180
! ¼ 5 6
da cui deduciamo che l’angolo di 150 misura, in radianti, 5 .
6
La misura in gradi di un angolo di 7 rad è
6
180
7
! ¼ 210
¼
6
e si ha cosı̀ che l’angolo la cui ampiezza è di 7 rad corrisponde a 210 .
6
La seguente tabella riporta le misure in gradi e le corrispondenti misure in radianti di alcuni angoli notevoli.
5
gradi
0
30
45
60
90
120
135
150
180
270
360
radianti
0
6
4
3
2
2 3
3 4
5 6
3 2
2
La circonferenza goniometrica
In un piano cartesiano xOy disegniamo la circonferenza con centro nell’origine O e raggio
unitario: essa prende il nome di circonferenza goniometrica. La sua equazione è
x2 þ y2 ¼ 1
c ¼ . Facciamo coincidere l’origine del sistema di riferiSia dato un angolo orientato ab
mento con il vertice dell’angolo e il suo primo lato a con il semiasse positivo delle ascisse
(Figura 5 dove è positivo e Figura 6 dove è negativo): diremo che è un angolo della
circonferenza goniometrica. Sia A il punto in cui il primo lato incontra la circonferenza
goniometrica (quindi OA ¼ 1) e sia B il punto in cui il secondo lato interseca la circonferenza goniometrica (quindi OB ¼ 1).
Figura 5
Figura 6
4
Nuova formazione alla matematica E - Ghisetti e Corvi © 2009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara
d:/lavori/Sedes/ISBN_1786_09/c01u01.3d - 6/12/2008 - La Pulce
Unità 1
Qualsiasi sia l’angolo , il punto A ha sempre la stessa posizione avendo per coordinate ð1 ; 0Þ:
Að1 ; 0Þ
Invece la posizione del punto B varia al variare dell’angolo e quindi anche le sue
coordinate dipendono dall’angolo considerato. Pertanto il punto B della circonferenza goniometrica è detto punto associato
all’angolo a.
Riportiamo in Figura 7 i punti associati ai
Figura 7
multipli di un angolo retto compresi tra 0
e þ360 (0 e 2).
Consideriamo ora la Figura 8, dove sono rappresentati angoli diversi. L’angolo di 120 è
del terzo quadrante e il punto a esso associato è il punto B1 . L’angolo di
480 ¼ 360 þ 120 è del secondo quadrante ed è associato al punto B2 . L’angolo di
300 è del primo quadrante ed è associato al punto B3 . Infine l’angolo di 330 è del
quarto quadrante ed è associato al punto B4 .
Figura 8
La corrispondenza che si stabilisce tra angoli orientati e punti associati sulla circonferenza non è biunivoca. Infatti a ogni angolo è associato un solo punto, ma ogni punto
della circonferenza goniometrica è associato a infiniti angoli. In Figura 9, per esempio, è
rappresentato il punto B associato agli angoli di þ45 , þ405 , 315 .
In generale, se e sono due angoli associati allo stesso punto, vale la relazione
¼ þ k 360 , dove k indica un qualsiasi
numero intero positivo, negativo o nullo,
cioè k 2 Z:
b ¼ a þ k 360
con k 2 Z
Se e sono misurati in radianti
¼ þ 2k
con k 2 Z
Figura 9
Seno, coseno e tangente di un angolo
6
Seno e coseno di un angolo
Le coordinate del punto B della circonferenza goniometrica associato a un dato angolo dipendono dall’ampiezza dell’angolo, ossia sono funzioni dell’angolo prescelto.
5
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Unità 1
d efinizione
Funzioni goniometriche
Il seno di un angolo è l’ordinata del punto associato ad nella circonferenza goniometrica.
Il coseno di un angolo è l’ascissa del punto associato ad nella circonferenza goniometrica.
Perciò, per definizione, se B è il punto della circonferenza goniometrica associato all’anbB ¼ (Figura 10), si ha
golo AO
sen a ¼ yB
e
Figura 10
cos a ¼ xB
Figura 11
bP ¼ di Figura 11 e supponiamo che P si muova sulla circonfeConsideriamo l’angolo AO
renza in modo che l’angolo assuma tutti i valori possibili tra 0 e 360 .
c Quando P A, cioè ¼ 0 , l’ordinata di P è zero e l’ascissa di P è 1; quindi si avrà
sen 0 ¼ 0
cos 0 ¼ 1
c Quando P si sposta, a partire da A nel primo quadrante, cresce da 0 a 90 : l’ordinata e l’ascissa di P sono positive, cioè
sen a > 0
cos a > 0
Precisamente, l’ordinata cresce da 0 a 1, mentre l’ascissa decresce da 1 a 0; si avrà poi
sen 90 ¼ 1
cos 90 ¼ 0
c Al crescere di da 90 a 180 nel secondo quadrante è
sen a > 0
cos a < 0
e sen decresce da 1 a 0, mentre cos decresce da 0 a 1; si avrà poi
sen 180 ¼ 0
cos 180 ¼ 1
c Analogamente, al crescere di da 180 a 270 nel terzo quadrante, si ha
sen a < 0
cos a < 0
e sen decresce da 0 a 1, mentre cos cresce da 1 a 0; si avrà poi
sen 270 ¼ 1
cos 270 ¼ 0
c Infine, al crescere di da 270 a 360 nel quarto quadrante, si ha
sen a < 0
cos a > 0
e sen cresce da 1 a 0 e cos cresce da 0 a 1; si avrà poi
sen 360 ¼ 0
cos 360 ¼ 1
Se l’angolo cresce oltre i 360 , il punto P, a esso associato sulla circonferenza goniometrica, ripercorre la circonferenza e i valori di sen e di cos si ripetono periodicamente.
Diremo perciò che le funzioni goniometriche sen e cos sono funzioni periodiche con
periodo uguale a 360 (o, in radianti, 2 rad).
6
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Unità 1
Scriveremo quindi
senða þ k 360 Þ ¼ sen a e cosða þ k 360 Þ ¼ cos a con k 2 Z
senða þ 2kÞ ¼ sen a e cosða þ 2kÞ ¼ cos a con k 2 Z
Osservando poi che P, essendo un punto della circonferenza con centro nell’origine e raggio 1, ha ordinata e ascissa certamente maggiori o uguali a 1 e minori o uguali a 1, si
deduce
1 sen a 1
e
1 cos a 1
7
Tangente di un angolo
bB ¼ che inseriamo, al solito modo, nella circonferenza goConsideriamo un angolo AO
niometrica (Figura 12); dal punto A, in cui il primo lato di interseca la circonferenza, conduciamo la retta t tangente alla circonferenza. Sia T il punto in cui il secondo lato dell’angolo, o il suo prolungamento, interseca tale tangente.
La posizione del punto T sulla retta t varia al variare dell’angolo e quindi l’ordinata di T
dipende dall’ampiezza dell’angolo (Figure 13, 14, 15). Viene cosı̀ definita una nuova funzione goniometrica, la tangente goniometrica (o semplicemente tangente) dell’angolo :
tan a ¼ yT
d efinizione
La tangente di un angolo orientato è l’ordinata del punto d’intersezione tra il secondo lato dell’angolo, o il suo prolungamento, e la retta tangente alla circonferenza goniometrica nel punto ð1 ; 0Þ.
Se il secondo lato dell’angolo è sull’asse y, tale lato risulta parallelo alla retta t e, quindi,
non la interseca.
Perciò se è ¼ 90 þ k 360 , oppure, in radianti, ¼ þ 2k, non è definito alcun
2
valore di tan .
Anche la tangente, come il seno e il coseno, è funzione dell’angolo: le sue variazioni sono
evidenziate dalle figure affiancate alla tabella seguente.
angolo
tangente
¼ 0
tan 0 ¼ 0
0 < < 90
tan > 0
rappresentazione grafica
Figura 12
¼ 90
tan 90 non esiste
90 < < 180
tan < 0
Figura 13
¼ 180
tan 180 ¼ 0
7
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Unità 1
Funzioni goniometriche
angolo
tangente
180 < < 270
tan > 0
rappresentazione grafica
Figura 14
¼ 270
tan 270 non esiste
270 < < 360
tan < 0
Figura 15
¼ 360
tan 360 ¼ 0
Sempre considerando le quattro figure, deduciamo che la tangente di un angolo è una funzione periodica dell’angolo, con periodo uguale a 180 .
Scriveremo quindi
tanða þ k 180 Þ ¼ tan a
con k 2 Z
oppure
tanða þ kÞ ¼ tan a
con k 2 Z
Si può affermare che la tangente assume, al variare dell’angolo, tutti i possibili valori reali compresi nell’intervallo ð1 ; þ1Þ.
Relazioni fondamentali tra le funzioni
goniometriche
8
Relazioni fondamentali tra seno e coseno dello stesso angolo
Osserviamo in Figura 16 il punto B associato ad ; per definizione si ha
xB ¼ cos a
e
yB ¼ sen a
Poiché il punto B appartiene alla circonferenza goniometrica, le sue coordinate devono soddisfare l’equazione
x2 þ y2 ¼ 1
di tale circonferenza e deve quindi essere
x 2B þ y 2B ¼ 1
Sostituendo, si ha ðcos aÞ2 þ ðsen aÞ2 ¼ 1, da cui si ottiene
la prima relazione fondamentale
sen 2 a þ cos 2 a ¼ 1
1
Figura 16
8
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Unità 1
cioè la somma dei quadrati del seno e del coseno di uno stesso angolo è uguale
all’unità.
1 ricaviamo
Dalla j
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
cos 2 ¼ 1 sen 2 ! cos a ¼ 1 sen 2 a
oppure
sen 2 ¼ 1 cos 2 pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
! sen a ¼ 1 cos 2 a
Il segno davanti alla radice potrà essere definito solo conoscendo in quale quadrante è il
punto associato all’angolo .
e sempio
Dato sen ¼ 3 , calcoliamo cos .
5
Poiché sen > 0, può essere (Figura 17)
¼ AObB ! B nel 1 quadrante ! cos > 0
oppure
¼ AObC ! C nel 2 quadrante ! cos < 0
Si ha
sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
2
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
2
¼
cos ¼ 1 sen ¼ 1 3
5
Figura 17
rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
9
¼ 1
¼ 16 ¼ 4
25
25
5
e, precisamente, se è del 1 quadrante ! cos a ¼ 4
5
4
e se è del 2 quadrante ! cos a ¼ 5
9
Relazione tra tangente, seno e coseno dello stesso
angolo
Consideriamo la Figura 18, in cui sono rappresentati la circonferenza goniometrica e l’anbB ¼ . Per definizione, si ha
golo AO
xB ¼ cos ;
yB ¼ sen ;
xT ¼ 1;
yT ¼ tan 2
Consideriamo i triangoli rettangoli OAT e OHB che, avendo l’angolo in comune, sono simili; pertanto si ha la seguente proporzione tra le misure dei lati:
AT : HB ¼ OA : OH
e, per le
! yT : yB ¼ 1 : xB
2,
j
tan : sen ¼ 1 : cos da cui si deduce la seconda relazione fondamentale
tan a ¼ sen a
cos a
se 6¼ 90 þ k 180 con k 2 Z.
Figura 18
9
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Unità 1
Funzioni goniometriche
Ricaviamo ora sen e cos noto il valore di tan .
Poiché è noto il valore di tan , è implicito che la funzione tangente sia determinata e che
quindi, essendo 6¼ 90 þ k 180 , sia cos 6¼ 0.
Pertanto possiamo dividere per cos 2 entrambi i membri della prima relazione fondamentale sen 2 þ cos 2 ¼ 1. Otteniamo
sen 2 a þ cos 2 a ¼
1
1
! tan 2 a þ 1 ¼
!
cos 2 a
cos 2 a
cos 2 cos 2 1
1
! cos a ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
! cos 2 ¼
1 þ tan 2 1 þ tan 2 a
Dalla relazione sen ¼ tan , si ha sen ¼ tan cos e quindi possiamo scrivere
cos 1
tan a
ﬃ
sen ¼ tan pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
! sen a ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
2
1 þ tan 1 þ tan 2 a
e sempio
Si determina il segno del seno e del coseno solo conoscendo il quadrante in cui cade il
punto associato ad o, come si usa anche dire, conoscendo di quale quadrante è l’angolo .
pﬃﬃﬃ
Dato tan ¼ 2 6 con 0 < < 360 , determiniamo sen e cos .
Osserviamo che, essendo tan < 0, l’angolo può essere del secondo o del quarto
quadrante.
c Se è del secondo quadrante, cioè 90 < < 180 , si avrà cos < 0 e
sen > 0:
1
1 ﬃ ! cos a ¼ 1
cos ¼ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃ 2 ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
5
1
þ 24
1 þ ð2 6Þ
pﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃ
2
6
2
6
sen ¼ þ qﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃ 2 ! sen a ¼ 5
1 þ ð2 6Þ
c Se è del quarto quadrante, cioè 270 < < 360 , si avrà cos > 0 e
sen < 0:
pﬃﬃﬃ
2 6
e
sen ¼ cos ¼ 1
5
5
10
Cotangente di un angolo
In goniometria viene spesso usata un’altra funzione dell’angolo detta cotangente di e
indicata con la scrittura cot . Essa può essere definita come rapporto tra il coseno e il
seno dell’angolo ; si ha cioè
cot a ¼ cos a
sen a
purché sia sen a 6¼ 0, cioè a 6¼ k 180 , con k 2 Z.
Poiché il rapporto cos è il reciproco del rapporto sen , possiamo osservare che il vasen cos lore di cot è il reciproco del valore di tan , ammesso che esista tan , cioè che sia
6¼ 90 þ k 180 ; si ha perciò
cot a ¼
1
tan a
purché sia a 6¼ 90 þ k 180 .
10
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Unità 1
Angoli notevoli
11
12
Angolo di 45º
Disegniamo nella circonferenza goniometrica di raggio OA
bB ¼ 45 ; sia H la proiezione ortogonale di B sull’angolo AO
l’asse x (Figura 19).
Consideriamo il triangolo rettangolo OHB che, per le proprietà geometriche dei triangoli rettangoli con gli angoli
di 45 , è isoscele sulla base OB ¼ 1; pertanto si ha
pﬃﬃﬃ
OH ¼ HB ¼ 2
2
Ma, per le definizioni di seno e coseno, è
pﬃﬃﬃ
sen 45 ¼ yB ¼ HB ¼ 2
p2ﬃﬃﬃ
cos 45 ¼ xB ¼ OH ¼ 2
2
pﬃﬃﬃ
2
2
sen
45
¼ pﬃﬃﬃ ¼ 1
tan 45 ¼
cos 45
2
2
Angolo di 30º
bB ¼ 30 (Figura 20); consideriaDisegniamo nella circonferenza goniometrica l’angolo AO
mo il triangolo rettangolo OHB, in cui il cateto HB è opposto all’angolo di 30 ed è
rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃ
OB
1
1
OB ¼ 1, HB ¼
¼ , OH ¼ 1 ¼ 3 . Quindi
2
2
2
4
sen 30 ¼ yB ¼ HB ¼ 1
2pﬃﬃﬃ
cos 30 ¼ xB ¼ OH ¼ 3
2
1
sen
30
¼ p2ﬃﬃﬃ
tan 30 ¼
cos 30
3
2
13
Figura 19
pﬃﬃﬃ
1
¼ pﬃﬃﬃ ¼ 3
3
3
Figura 20
Angolo di 60º
Disegniamo nella circonferenza goniometrica l’angolo
bB ¼ 60 (Figura 21) e consideriamo il triangolo OHB,
AO
in cui il cateto OH è opposto all’angolo OBbH ¼ 30 .
Essendo OB ¼ 1, avremo
OH ¼ 1 OB ¼ 1
2
2
Si ha quindi
rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃ
1
HB ¼ 1 ¼ 3
2
4
pﬃﬃﬃ
3
sen 60 ¼ yB ¼ HB ¼
2
Figura 21
11
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Unità 1
Funzioni goniometriche
cos 60 ¼ xB ¼ OH ¼ 1
2pﬃﬃﬃ
3
2
tan 60 ¼ sen 60 ¼
1
cos 60
2
¼
pﬃﬃﬃ
3
Grafici delle funzioni goniometriche
14
Rappresentazione grafica della variazione del seno, del
coseno, della tangente
Per costruire il grafico delle funzioni rappresentate dalle equazioni
y ¼ sen x;
y ¼ cos x;
y ¼ tan x
basterà riportare sull’asse delle ascisse le misure dell’angolo espresse in radianti e sull’asse delle ordinate i corrispondenti valori del seno, del coseno e della tangente. Le curve
che cosı̀ si ottengono sono dette, rispettivamente, sinusoide (Figura 22), cosinusoide
(Figura 23), tangentoide (Figura 24).
Figura 22
Figura 23
Figura 24
12
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c
c
c
c
Misura degli angoli p. 13
Seno, coseno e tangente di un angolo p. 16
Relazioni fondamentali tra le funzioni goniometriche p. 23
Angoli notevoli p. 26
Misura degli angoli
pp. 1-5
Ricordiamo la teoria
c Unità di misura degli angoli
Grado (sessagesimale): è la 360ma parte dell’angolo giro. Si divide in 60 primi: 1 ¼ 600 ; un primo si divide in
60 secondi: 10 ¼ 6000 .
Radiante: è l’angolo che, in una circonferenza avente per centro il vertice dell’angolo, sottende un arco di
lunghezza uguale al raggio.
Dato un angolo, sia la misura della sua ampiezza in gradi e sia la misura in radianti; sussistono le relazioni:
r¼
a
180
e
a ¼ 180 r
p
c Angolo orientato: angolo per il quale è fissato il verso della rotazione che porta il primo lato dell’angolo a
sovrapporsi al secondo lato.
Consideriamo positivo il verso antiorario, cioè opposto al moto delle lancette dell’orologio.
c Circonferenza goniometrica: in un piano cartesiano xOy
chiamiamo circonferenza goniometrica la circonferenza che
ha centro nel punto O, origine del sistema di riferimento cartesiano, e raggio unitario: la sua equazione è x 2 þ y 2 ¼ 1.
In una circonferenza goniometrica, dato un angolo orientato ,
il punto B, costruito come in figura, prende il nome di punto
associato all’angolo.
Se e sono due angoli aventi lo stesso punto associato, si ha
¼ þ k 360
con k 2 Z
oppure, in radianti, ¼ þ 2k con k 2 Z.
QUESITI
1
Qual è l’unità di misura del sistema sessagesimale per la misura degli angoli? Come si definisce?
2
Quali sono i sottomultipli del grado sessagesimale?
3
Che cosa s’intende nel sistema sessagesimale per misura in forma decimale?
4
Definisci il radiante.
5
A quanti radianti corrisponde l’angolo giro? E l’angolo retto?
6
Quando si può parlare di angolo positivo o negativo?
13
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Unità 1
Funzioni goniometriche
7
Qual è la misura in radianti di un angolo piatto descritto in senso orario?
8
Definisci la circonferenza goniometrica.
9
Come si determina il punto associato a un angolo , in una circonferenza goniometrica?
10
Quando si può affermare che un angolo orientato è del terzo quadrante?
Sistemi di misura degli angoli
e sercizi svolti
11
Determiniamo in forma decimale l’ampiezza dell’angolo di 9 130 3900 .
1
1
È
10 ¼
e 100 ¼
60
3600
Quindi possiamo scrivere
1
9 130 3900 ¼ 9 þ 13 1
þ 39
¼ 9 þ 13 60 þ 39
¼ 9 þ 0;2275 ¼ 9;2275
60
3600
3600
!
12
!
9 130 3900 ¼ 9;2275
Esprimiamo in gradi, primi e secondi l’ampiezza dell’angolo di 42;24 .
Possiamo scrivere
42;24 ¼ 42 þ 0;24 ¼ 42 þ 0;24 600 ¼ 42 þ 14;40 ¼ 42 þ 140 þ 0;40 ¼ 42 þ 140 þ 0;4 6000 ¼
¼ 42 þ 140 þ 2400
!
42;24 ¼ 42 140 2400
Trasforma nella forma decimale in gradi sessagesimali l’ampiezza dei seguenti angoli (approssima
alla seconda cifra decimale).
13
12 230 ;
15 7300 ; 22 180 ; 53 4400
½12;38 ; 15;02 ; 22;3 ; 53;01 14
2 400 2500 ;
27 300 3000 ; 1 100 1500 ; 30 430 1200
½2;67 ; 27;51 ; 1;17 ; 30;72 15
58 160 3000 ; 80 400 5400 ; 100 580 ; 60 470 2000
½58;28 ; 80;68 ; 100;97 ; 60;79 Esprimi in gradi, primi e secondi l’ampiezza dei seguenti angoli, approssimandola a meno di 1’’.
16
92;5 ; 13;72 ;
17
19;48 ;
18
200;36 ;
64;25 ;
7;83 ;
12;43
½92 300 ; 13 430 1200 ; 64 150 ; 12 250 4800 180;92 ; 35;128
302;72 ;
4;252 ;
½19 280 4800 ; 7 490 4800 ; 180 550 1200 ; 35 70 4100 74;125
½200 210 3600 ; 302 430 1200 ; 4 150 700 ; 74 70 3000 Calcola la misura in radianti dei seguenti angoli di cui è nota l’ampiezza in gradi.
19
48;24
Useremo la formula
¼
180
dove è la misura in gradi e è la misura in radianti dell’ampiezza dello stesso angolo.
Avremo quindi
¼
180
!
a ¼ 48;24
¼
48;24
¼ 0;268
180
!
48;24 ¼ 0;268p rad ¼ 0;8419::: rad
14
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Esercizi
Unità 1
Negli esercizi seguenti non sempre useremo la calcolatrice e allora lasceremo il risultato sotto forma
di multiplo razionale di p.
20
30 ; 240 ; 270 ;
140
21
48 ; 22;5 ;
60;45
22
42;25 ;
234 ;
112 ;
193;5 ; 212;4
; 4 ; 3 ; 7 6 3
2
9
4 ; ; 13 ; 403 15
8 10
1200
½0;73740:::; 1;95476:::; 3;37721:::; 3;70707:::
Calcola, in gradi, l’ampiezza dei seguenti angoli di cui è nota la misura in radianti.
23
5 16
¼ 180 essendo la misura in gradi dell’angolo di cui è la misura in radianti.
Useremo la formula
Avremo quindi
¼
da cui si deduce che
24
25
26
27
28
;
4
13
12
9
10
18
25
3
32
180
5 180
¼ 16
¼ 5 180 ¼ 56;25
16
!
r¼
5
p
16
5 p rad ¼ 56;25
16
3 ; 2 ; 3 4
3
2
5
4
;
;
; 1 6
3
5
7
5
;
; ; 11 12
9
36
; 13 ; 17 ; 101 15
72
75
26 ; 53 ; 27 ;
125
64
16
½45 ; 135 ; 120 ; 270 ½195 ; 150 ; 240 ; 36 ½162 ; 105 ; 100 ; 55 ½129;6 ; 156 ; 42;5 ; 242;4 ½16;875 ; 37;44 ; 149;0625 ; 303;75 VERO O FALSO?
29
a. La misura in radianti di un angolo di 60 è .
3
b. La misura in radianti di un angolo di 210 è 5 .
6
2
.
c. L’angolo di 240 misura in radianti
3
d. L’angolo retto misura in radianti .
2
La circonferenza goniometrica
Disegna una circonferenza goniometrica e individua su di essa i punti associati ai seguenti angoli.
30
60 ; 45 ; 90 ; 30 ; 120
31
180 ; 225 ;
32
45 ;
150 ;
90 ; 270 ;
240 ;
135
30 ; 210
33
720 ;
405 ;
34
; ;
6
6
35
7 ;
4
390 ; 270 ;
;
2
;
180
3 2
; 9 ; 2 ;
3
4
3
4
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Unità 1
Funzioni goniometriche
Dopo aver rappresentato in una circonferenza goniometrica i seguenti angoli, indica in quale quadrante cadono i loro punti associati.
36
70 ; 300 ; 100 ; 120 ; 80
38
37
240 ; 240 ; 315 ; 45 ;
39
330
1 ; 5 ; 2 ; ;
6
6
3
4
2
3
1
;
; ;
;
3
3
4
4
3 4
9 4
VERO O FALSO?
40
a. Un angolo di 330 è del 3º quadrante.
b. Il punto associato all’angolo di 5 è nel 3º quadrante.
4
c. Il punto associato all’angolo di 5 coincide con quello associato all’angolo di 7 .
6
6
d. Il punto associato all’angolo di 150 è simmetrico rispetto all’asse delle ordinate del punto
associato all’angolo di 30 .
e. Il punto associato all’angolo di 315 è simmetrico rispetto all’asse x del punto associato
all’angolo di 45 .
f. Il punto associato all’angolo di 420 è diametralmente opposto (cioè simmetrico rispetto al
centro O della circonferenza goniometrica) al punto associato all’angolo di 240 .
41
In una circonferenza goniometrica sia B il punto associato all’angolo .
a. 0 < < 90 ! B è nel 2º quadrante
b. 180 < < 360 ! B può essere nel 3º o nel 4º quadrante
c. 90 < < 0 ! B è nel 4º quadrante
d. 180 < < 270 ! B è nel 2º quadrante
e. ¼ 30 ! B è nel 1º quadrante
f. ¼ 180 ! B sta sull’asse x
QUESITI A RISPOSTA MULTIPLA
42
Quale dei seguenti angoli ha il punto associato nel secondo quadrante?
a 80
&
43
b 190
&
c 140
&
d 120
&
Per quale dei seguenti angoli il punto associato è il simmetrico rispetto all’asse x del punto associato all’angolo di 315 ?
a 135
&
b 135
&
c 225
&
Seno, coseno e tangente di un angolo
d 45
&
pp. 5-8
Ricordiamo la teoria
c Circonferenza goniometrica
In figura, B è il punto associato all’angolo .
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Esercizi
Unità 1
c Relazioni fondamentali
2
2
sen a þ cos a ¼ 1 !
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
D sen ¼ 1 cos 2 pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
cos ¼ 1 sen 2 tan è definita per 6¼ 90 þ k 180
cot ¼
tan a ¼ sen a
cos a
!
tan D sen ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1 þ tan 2 1
cos ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1 þ tan 2 1 è definita per 6¼ 90 þ k 180
tan c Valori particolari
misura angolo
in gradi
misura angolo
in radianti
seno
0
0
0
30
6
45
4
coseno
1
2
pﬃﬃﬃ
2
2
pﬃﬃﬃ
3
2
tangente
cotangente
1
0
non esiste
pﬃﬃﬃ
3
2
pﬃﬃﬃ
2
2
pﬃﬃﬃ
3
3
pﬃﬃﬃ
3
1
1
1
2
pﬃﬃﬃ
3
pﬃﬃﬃ
3
3
60
3
90
2
1
0
non esiste
0
180
0
1
0
non esiste
270
3 2
1
0
non esiste
0
360
2
0
1
0
non esiste
c Periodicità
senð þ k 360 Þ ¼ sen cosð þ k 360 Þ ¼ cos tanð þ k 180 Þ ¼ tan cotð þ k 180 Þ ¼ cot senð þ 2kÞ ¼ sen cosð þ 2kÞ ¼ cos tanð þ kÞ ¼ tan cotð þ kÞ ¼ cot con k 2 Z
QUESITI
44
Definisci il seno di un angolo.
45
Definisci il coseno di un angolo.
46
Sapendo che è sen < 0, in quali quadranti si può trovare il punto associato ad ?
47
Se è 450 < < 540 , qual è il segno di cos ?
48
Che cosa s’intende dire scrivendo sen ¼ sen ðk 360 þ Þ?
49
Perché si può affermare che il seno e il coseno di un angolo sono funzioni dell’angolo ?
50
Che cosa s’intende dicendo che il coseno di un angolo è una funzione periodica? Qual è il suo periodo?
51
Disegna un angolo ottuso della circonferenza goniometrica e indica il suo punto associato. Che segno
hanno sen e cos ?
52
Disegna nella circonferenza goniometrica un angolo concavo e tale che sia 180 < < 270 ; indica il suo
punto associato. Che segno hanno sen e cos ?
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Unità 1
Funzioni goniometriche
53
Dopo aver disegnato un angolo concavo e tale che sia 270 < < 360 in una circonferenza goniometrica, indica il suo punto associato; che segno hanno sen e cos ?
54
Disegna la circonferenza goniometrica e indica il seno e il coseno dei seguenti angoli.
a. 30 ;
150 ;
210 ; 330 ;
60 ;
120 ;
240 ; 300
b. 45 ;
135 ;
225 ; 315 ;
60 ; 150 ; 45
Seno e coseno di un angolo
Disegna, servendoti della circonferenza goniometrica, gli angoli a (0 < a < 360 ) di seno e coseno assegnati.
e sercizi svolti
55
sen ¼ 2
3
Disegnata una circonferenza goniometrica, tracciamo la retta di
equazione y ¼ 2 e siano B1 e B2 le sue intersezioni con la circon3
bB1 ¼ 1 ,
ferenza. B1 e B2 sono cosı̀ i punti associati agli angoli AO
bB2 ¼ 2 , nel secondo quadrante (vedi
nel primo quadrante, e AO
figura).
Essi sono gli angoli richiesti: infatti, essendo yB1 ¼ yB2 ¼ 2 , sarà
3
sen 1 ¼ sen 2 ¼ 2 .
3
56
cos ¼ 1
2
Disegnata la circonferenza goniometrica, tracciamo la retta di
equazione x ¼ 1 (vedi figura).
2
Individuiamo cosı̀ le sue intersezioni B1 e B2 con la circonferenza,
che risultano i punti associati rispettivamente agli angoli
bB2 ¼ 2 . Essi sono gli angoli richiesti: infatti, esbB1 ¼ 1 e AO
AO
sendo xB1 ¼ xB2 ¼ 1 , sarà cos 1 ¼ cos 2 ¼ 1 .
2
2
57
sen ¼ 1 ;
3
cos ¼ 1 ; sen ¼ 1 ; cos ¼ 2 ;
3
2
3
58
sen ¼ 1 ;
4
sen ¼ 1 ;
3
cos ¼ 1 ;
4
cos ¼ 2
3
sen ¼ 3 ; cos ¼ 3 ; sen ¼ 2 ; cos ¼ 1
4
4
3
4
VERO O FALSO?
59
a. 0 < < 2
b. < < 60
! sen > 0
! cos < 0
2
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
a. sen 2 200 ¼ sen 200
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
b. sen 2 15 ¼ sen 15
c. < < 3 2
!
sen < 0
d. 3 < < 2
! cos > 0
2
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
c. cos 2 160 ¼ cos 160
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
d. cos 2 190 ¼ cos 190
18
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Esercizi
Unità 1
Semplifica le seguenti espressioni.
61
4 cos 180 3 cos 90 8 sen 270 5 cos 360
Dobbiamo sostituire il valore numerico delle funzioni goniometriche per i particolari angoli indicati.
Sappiamo che cos 180 ¼ 1, cos 90 ¼ 0, sen 270 ¼ 1 e cos 360 ¼ 1; quindi, sostituendo tali valori
nell’espressione data, otteniamo
4 ð1Þ 3 0 8 ð1Þ 5 1 ¼ 4 0 þ 8 5 ¼ 1
62
3 cos 90 2 sen 180 þ 4 sen 270 ; 4 cos 180 þ 4 sen 90 þ 3 sen 180
63
2 sen 90 þ 3 sen 180 þ 4 sen 270 ; 3 cos 90 3 cos 0 þ 5 cos 180
64
sen þ 1 sen 2 cos ;
2
2
65
6 cos 0 3 sen 0 ;
2 sen 0 þ 3 cos 0
66
2 sen 3 3 cos 2
;
2 sen þ 3 cos 2
67
3 sen 2 90 cos 2 180 þ 2 sen 2 270 þ 4ðsen 2 0 cos 2 0 Þ þ 6 cos 2 180 sen 2 270
68
ða sen 90 bÞða cos 180 þ b sen 270 Þ
69
70
½4; 0
½2; 8
3 sen 2 þ sen 3 3 cos 3 2
2
2
½3; 1
3 cos 90 2 sen 270 þ 3 sen 360
2
½2; 2
5 cos 3 cos þ 2 sen sen 2
2
½1; 5
½5
½b 2 a 2 ð2 cos þ a cos 2Þ a þ 3 sen þ cos 2
a sen þ 2b cos 0 þ b sen 3 a cos 3 þ b cos a sen 3 2
2
2
2
71
ða 3 b 3 Þ sen 2 þ ða 2 þ b 2 Þ cos ab
ða bÞ cos 0
cos 0
72
ða 2 b 2 Þ cos 270 þ
73
3 sen 3 cos 2 2 þ 4 sen 2 þ 2 cos 2 1 cos 2 2
2
2
½a 2 4
½a 2 b 2 con a 6¼ b
½0
2ab a 2 þ b 2
cos 360
sen 270
½ða þ bÞ2 2
Determina i valori del parametro k affinché siano verificate le seguenti uguaglianze.
e sercizi svolti
74
ðk 1Þsen þ 2 ¼ 3k, sapendo che è ¼ 90 .
Sostituendo 90 al posto di nella relazione data, otteniamo
ðk 1Þ sen 90 þ 2 ¼ 3k
!
sen 90 ¼1
ðk 1Þ 1 þ 2 ¼ 3k
È questa un’equazione di primo grado nell’incognita k; risolviamola:
k 1 þ 2 ¼ 3k !
k 3k ¼ 1 2 !
2k ¼ 1 !
k¼ 1
2
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7
2
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Unità 1
75
Funzioni goniometriche
2k þ 3 cos ¼ 1, sapendo che è un angolo ottuso.
1
Se è un angolo ottuso, cioè 90 < < 180 , il suo coseno è compreso tra 1 e 0:
1 < cos < 0
Possiamo considerare la
1 come un’equazione nell’incognita cos :
j
3 cos ¼ 1 2k !
Dalla
2
cos ¼ 1 2k
3
2 deduciamo che dovrà essere
j
1 < 1 2k < 0
3
cioè 1 2k > 1 e, contemporaneamente, 1 2k < 0.
3
3
Dovremo quindi risolvere il sistema formato dalle due disequazioni
8
8
1 2k > 1
>
<
<k < 2
1 2k > 3
2k < 4
3
!
!
!
!
>
:k > 1
1 2k < 0
2k > 1
: 1 2k < 0
2
3
1 è verificata per
Concludiamo cosı̀ che, se è un angolo ottuso, l’uguaglianza j
1 <k<2
2
1 <k<2
2
1 ; 1
3
5
1 ; 1
2
1
; 1
5
76
2ðk 2Þ sen 180 ¼ 1 3k;
3 sen 90 þ 5k ¼ 2
77
ð3k þ 4Þ cos 90 þ 2k ¼ 1; 3 cos 0 ð2k þ 1Þ ¼ 4
78
k sen 270 1 4k ¼ 0;
ð2 þ 3kÞ cos 180 þ 5 ¼ 0
Sapendo che 0 < a < 90 , determina per quali valori di k sono verificate le seguenti uguaglianze.
79
cos 1 ¼ k
80
k cos 1 ¼ k
½1 < k < 0
½k < 1
Sapendo che a è un angolo ottuso (90 < a < 180 ), determina per quali valori di k sono verificate le
seguenti uguaglianze.
81
3k sen ¼ 1 k
1 <k<1
4
82
ðk 1Þ cos ¼ 2
½k < 1
Tangente di un angolo
QUESITI
83
Definisci la tangente goniometrica di un angolo.
84
Per quali valori di è tan ¼ 0?
85
Che cosa si può dedurre sapendo che è tan > 0?
86
Definisci la funzione cot .
87
Perché si può affermare che la funzione tan è periodica? Qual è il suo periodo?
20
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Esercizi
Unità 1
Servendoti della circonferenza goniometrica, disegna gli angoli a (0 < a < 360 ) di tangente assegnata.
88
tan ¼ 1
Disegnata la circonferenza goniometrica di centro O, che incontra in A il semiasse positivo delle x, e condotta per A la retta tangente t alla circonferenza, determiniamo su tale tangente il punto
T di ordinata 1; la retta OT incontra la circonferenza in due punti
B1 e B2 che, in questo caso, saranno rispettivamente nel primo e
bB1 e
nel terzo quadrante: essi risultano associati ad 1 ¼ AO
b
2 ¼ AOB2 .
89
tan ¼ 1;
90
tan ¼ 2 ;
3
tan ¼ 2; tan ¼ 1 ; tan ¼ 2
2
3
tan ¼ ; tan ¼ 1 ; tan ¼ 3
4
3
VERO O FALSO?
91
In una circonferenza goniometrica il punto B è il punto associato all’angolo .
a. B è nel 1º quadrante ! tan > 0
b. B sta sull’asse x
! tan non esiste
c. B è nel 2º quadrante ! tan > 0
d. B è nel 4º quadrante ! tan < 0
e. B sta sull’asse y
! tan non esiste
f. B è nel 3º quadrante ! tan > 0
92
93
a. tanð þ kÞ ¼ tan d. tan 2 k ¼ 0
b. tan ¼ 0
e. tan 0 non esiste
c. tan non esiste
2
f. tan 3 non esiste
2
a. tan 130 < 0
d. tan 240 < 0
b. tan 87 > 0
e.
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
tan 2 50 ¼ tan 50
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
tan 2 100 ¼ tan 100
f.
c. tan 150 > 0
94
a. 0 < < 90 ! tan > 0
b. 90 < < 180 ! tan < 0
c. 180 < < 270 ! tan < 0
d. 270 < < 360 ! tan > 0
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
tan 2 ¼ tan pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
f. 270 < < 360 ! tan 2 ¼ tan e. 90 < < 180 !
QUESITI A RISPOSTA MULTIPLA
95
Si sa che 0 < < 360 e inoltre che sen > 0 e tan < 0; puoi dedurre che
a 0 < < 90
&
96
b 90 < < 180
&
c 180 < < 270
&
d 270 < < 360
&
Si sa che 0 < < 2, cos < 0 e tan > 0; puoi dedurre che
a <<
&
3 2
b 0<<
&
2
c
&
<0<
2
d
&
3 < < 2
2
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Unità 1
97
Funzioni goniometriche
Supponiamo che sia sen > 0, cos > 0, tan < 0; allora è
a 0<<
&
b <<
&
3 2
c impossibile
&
d 0 < < 2
&
COMPLETARE...
98
Completa la seguente tabella, essendo 0 < < 2.
sen cos tan 0<< 2
þ
...
...
...
þ
...
...
...
...
...
þ
3 < < 2
2
...
...
...
...
...
þ
Semplifica le seguenti espressioni.
5 cos 90 tan 180 þ 3 cos 180
2 cos 180 þ tan 0
99
Sostituendo i valori delle funzioni seno, coseno e tangente degli angoli indicati, abbiamo
5 0 0 þ 3 ð1Þ
¼ 3 ¼ 3
2
2
2 ð1Þ þ 0
100
6 cos 270 þ 10 sen 90 3 tan 0 3 tan 180
½10
101
5 cos 0 4ðsen 90 þ 3 cos 180 Þ þ tan 180
102
3 cos 2 sen 3 þ 3 tan 0 tan 2
2
2
½2
103
2 sen 90 cos 270 þ tan 180
½2
104
3 sen 90 þ 2 cos 360 3 tan 360 þ tan 0
4
½5
105
cos 0 þ cos 180 cos 90 þ tan 0
½0
106
sen 90 sen 270 þ tan 180
tan sen þ cos 2
a cos 0 b tan 0 con a 6¼ 0
2a
sen 3 2
a sen 2 90 2b cos 90 þ tan 0
con a 6¼ 0
4a cos 270 tan 180 þ a cos 180
½2
107
108
109
a 2 sen 3 þ b 2 tan ða bÞ2 cos þ 2ab a 2 tan 2
2
cos 0
22
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½13
½1
½1
½b 2 d:/lavori/Sedes/ISBN_1786_09/c01u01e.3d - 5/12/2008 - La Pulce
Esercizi
110
111
Unità 1
Determina i valori del parametro k per i quali l’uguaglianza tan ¼ 3 2k è verificata per
5
3
3
k< 3
a. ¼ k¼
c. < <
2
2
2
pﬃﬃﬃ p
ﬃﬃ
ﬃ
b. 0 < < d. tan ¼ 2
k¼ 35 2
k< 3
2
2
2
Per quali valori di k l’uguaglianza ð1 kÞtan ¼ 3 2k è
3
a. ¼ 2
k¼
c.
2
b. 0 < < d.
k<1_k> 3
2
2
verificata se è
3 < < 2
2
tan 1
1<k< 3
2
½k < 1 _ k 2
Relazioni fondamentali tra le funzioni
goniometriche
pp. 8-10
QUESITI
112
Giustifica che sen 2 þ cos 2 ¼ 1.
113
Scrivi le formule che permettono di determinare cos e tan , dato sen .
114
Sapendo che è 180 < < 270 , esprimi sen e tan in funzione di cos .
115
Scrivi la formula che esprime cos in funzione di tan .
116
Sapendo che è < < e conoscendo il valore di tan , esprimi cos e sen in funzione di tan .
2
Dei seguenti angoli a sono note alcune limitazioni e il valore di una loro funzione goniometrica; calcola i valori delle rimanenti funzioni.
e sercizi svolti
117
sen ¼ 3 , 0 < < 5
2
Dobbiamo calcola i valori di cos e di tan , che risultano entrambi positivi, essendo un angolo del
primo quadrante. Consideriamo la prima formula fondamentale
2
3
9 þ cos 2 ¼ 1 !
!
þ cos 2 ¼ 1 !
sen 2 þ cos 2 ¼ 1
3
5
25
sen a ¼
5
cos 2 ¼ 1 9 ¼ 16
25
25
rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
Deve essere cos > 0, quindi si ha
cos ¼ þ 16 ! cos a ¼ 4
25
5
Dalla seconda formula fondamentale otteniamo
!
tan ¼ sen cos 118
!
tan ¼
3
5
4
5
¼ 3 5
5 4
cos ¼ 5 , 90 < < 180
13
Per determinare sen , possiamo applicare direttamente la formula
!
tan a ¼ 3
4
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
sen ¼ 1 cos 2 23
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d:/lavori/Sedes/ISBN_1786_09/c01u01e.3d - 5/12/2008 - La Pulce
Unità 1
Funzioni goniometriche
Il punto associato all’angolo è nel secondo quadrante e quindi, sarà sen > 0. Si avrà, dunque,
sﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
2
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
5
144 ! sen a ¼ 12
2
sen ¼ 1 cos ! sen ¼ 1 ¼ 1 25 ¼
13
169
169
13
Determiniamo ora tan ricordando che
tan ¼ sen cos 119
sen ¼ 8 ;
17
0<< 2
120
cos ¼ 2 ;
3
<< 3 2
121
cos ¼ 2 ;
3
122
sen ¼ 3 ; 90 < < 180
5
pﬃﬃﬃ
cos ¼ 3 ; 90 < < 180
2
pﬃﬃﬃ
cos ¼ 2 ; 90 < < 180
3
123
124
!
12
tan ¼ 13
5
13
!
cos ¼ 15 ; tan ¼ 8
17
15
pﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃ 5
5
sen ¼ ; tan ¼
3
2
pﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃ 5
5
sen ¼ ; tan ¼ 3
2
cos ¼ 4 ; tan ¼ 3
5
4
pﬃﬃﬃ sen ¼ 1 ; tan ¼ 3
2
3
pﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃ 7
14
sen ¼
; tan ¼ 3
2
pﬃﬃﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃﬃﬃ 3
13
2
13
; cos ¼
sen ¼
13
13
sen ¼ 5 ; cos ¼ 12
13
13
sen ¼ 7 ; cos ¼ 24
25
25
pﬃﬃﬃ
3
1
sen ¼ ; cos ¼ 2
2
pﬃﬃﬃ
cos ¼ 2 ; tan ¼ 1
2
3 < < 2
2
125
tan ¼ 3 ; 270 < < 360
2
126
tan ¼ 5 ;
12
127
tan ¼ 7 ;
24
128
tan ¼
129
sen ¼ pﬃﬃﬃ
3;
tan a ¼ 12
5
0<< 2
<<
2
<< 3 2
pﬃﬃﬃ
2; << 3 2
2
COMPLETARE...
130
Completa la seguente tabella.
sen cos tan 0<< 2
3
4
...
...
0<< 2
...
pﬃﬃﬃ
7
5
...
...
1
2
<< 3 2
...
...
...
rﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
2
3
...
24
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pﬃﬃﬃ
3
pﬃﬃﬃ
3
3
pﬃﬃﬃ
2
2
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Esercizi
Unità 1
VERO O FALSO?
131
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
a. cos 150 ¼ 1 sen 2 150
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
b. sen 100 ¼ 1 cos 2 100
132
133
a. tan 150 ¼
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1 cos 2 150
cos 150
1 sen 2 70
sen 120 ﬃ
d. tan 120 ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1 sen 2 120
sen 230
ﬃ
c. tan 230 ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1
sen 2 230
sen 80
b. tan 80 ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1 sen 2 80
tan 200
ﬃ
d. sen 200 ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1
a. cos 50 ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1
ﬃ
c. cos 300 ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1 þ tan 2 200
1 þ tan 2 50
tan 60
b. sen 60 ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1 þ tan 2 60
134
sen 70
c. tan 70 ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
a. 3 < < 2 ! sen ¼
1 þ tan 2 300
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
2
d. tan 200 ¼ 1 cos 200
cos 200
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1 cos 2 2
1
ﬃ
b. < < 3 ! cos ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
2
2
1 þ tan 2 1
ﬃ
c. < < ! cos ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
2
1 þ tan 2 tan ﬃ
d. < < 3 ! sen ¼ pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
2
1 þ tan 2 Verifica le seguenti uguaglianze, supponendo che a assuma solo valori per i quali sono definite le
espressioni che figurano in esse.
e sercizi svolti
135
sen 2 cos 2 ¼ 2 sen 2 1
Trasformiamo il primo membro, eliminando la funzione cos , che non compare nel secondo membro.
Sfruttando la prima relazione fondamentale per trasformare cos 2 in funzione di sen , il primo membro
diventa
sen 2 cos 2 ¼ sen 2 ð1 sen 2 Þ ¼ sen 2 1 þ sen 2 ¼ 2 sen 2 1
L’uguaglianza proposta è verificata.
136
1 ¼ cos þ sen tan cos 1
1 cercando di renderlo uguale al primo membro.
Trasformiamo il secondo membro della j
Sfruttando la seconda relazione fondamentale e, successivamente, la prima, otteniamo
Secondo membro
1
2
cos þ sen tan ¼ cos þ sen sen ¼ cos þ sen ¼ cos þ sen ¼ 1
cos cos cos cos L’espressione ottenuta è proprio il primo membro: l’uguaglianza è quindi verificata.
1
ðsen þ cos Þ tan þ
¼ 1 þ 1
tan cos sen 2
137
2
Primo membro
Incominciamo a eliminare tan che non figura nel secondo membro:
¼ ðsen þ cos Þ sen þ cos ¼
ðsen þ cos Þ tan þ 1
tan cos sen eseguiamo la somma
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Unità 1
Funzioni goniometriche
1
2
2
1
¼ sen þ cos ¼ ðsen þ cos Þ sen þ cos ¼ ðsen þ cos Þ sen cos sen cos sen cos 3
Secondo membro
1 þ 1 ¼ sen þ cos cos sen sen cos L’espressione ottenuta è proprio il primo membro, quindi la
2 è verificata.
j
138
cos 4 sen 4 ¼ 1 2 sen 2 ; cos 4 sen 4 ¼ 2 cos 2 1
139
sen 2 ¼ 1 cos ;
1 þ cos 140
sen 2 þ sen cos ¼ 1;
tan 141
cos 2 sen 2 ¼ ð1 tan Þ cos 2 ;
1 þ tan 142
ð2 cos þ 3 sen Þ2 þ ð3 cos 2 sen Þ2 ¼ 13
143
2 sen ¼ 1 þ cos ;
sen 1 þ cos sen 144
cos 2 ¼ 1 þ sen 1 sen 2 tan 2 ¼ 1 þ cos 2 cos 2 cos 2 sen þ cos ¼ sen cos tan 1
tan þ 1
1 þ cos ¼ sen 1 cos sen 2
1
2
;
1 1 tan 2 ¼ 2 sen 2 ; 1 tan 2 ¼ tan 2 1 þ tan sen 2 2 cos 2 1 ¼ cos 2 ð1 tan 2 Þ
Angoli notevoli
pp. 11-12
Calcola il valore delle seguenti espressioni.
pﬃﬃﬃ
3 tan 30 2 cos 30 þ 4 sen 60
145
2 cos 90 þ 3 tan 45 cos 60 ;
146
3 sen 90 1 cos 60 þ 2 tan 45 ;
4
3
147
2 sen 60 þ
148
ðcos 90 tan 45 þ cos 45 Þðsen 45 þ sen 90 Þ
149
pﬃﬃﬃ
3 sen 60 3 cos 60 tan 30 ; ðsen 60 þ cos 60 Þðcos 30 sen 30 Þ
150
151
152
153
pﬃﬃﬃ
3 tan 60 4 tan 45 þ cos 180
pﬃﬃﬃ
3 cos 30 2 cos 60 3 tan 30
5 ; 1 þ pﬃﬃ3ﬃ
2
85 ; 2
24
1
2
1
2
pﬃﬃﬃ
3 ; 1
2
3
ðcos 60 þ sen 30 Þðtan 45 þ tan 60 3 tan 30 Þ
p2ﬃﬃﬃ tan 60 3 cot 45 þ cos 180 ð3 þ sen 90 Þ
4
3
sen 45 cos 60 cos 30 cos 45 ; 1 sen 60 þ 1 þ cos 60
cos 45 sen 30 þ sen 45 sen 60
1 þ sen 60
1 cos 60
rﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
1 cos 30 þ tan 45 tan 30
: 1 cos 30
1 þ cos 30
1 þ tan 45 tan 30
sen 30
½1
½1
pﬃﬃﬃ
pﬃﬃﬃ
3 2; 10 4 3
26
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½2
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Esercizi
154
155
156
Unità 1
ðcot 45 sen 30 Þðtan 60 cos 30 Þ
tan 30
sen 60 cot 30 þ cos 45 cot 45
3 tan 45 þ 2 sen 45
pﬃﬃﬃ
cot 60 sen 45 6 cot 45
sen 60 sen 45
158
a. tan 60 tan 30 ¼ tan 30
c. 2 sen 30 ¼ sen 90
b. tan 45 þ cot 45 ¼ 2
d.
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
8 sen 2 45 ¼ 2
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ pﬃﬃﬃ
c. 4 sen 2 45 ¼ 2
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
d. 12 cos 2 30 ¼ 3
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
9 cos 2 45 ¼ 3
pﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃﬃ
b. 4 cot 45 ¼ 2
a.
Verifica le seguenti uguaglianze.
tan þ sen 3 ¼ 2 cos 2 cos 2
cos cos
6
3
159
cos 2 30 sen 2 30 ¼ cos 30 ;
sen 30 tan 30
cos 60
160
2 cos 3 ¼ cot tan ;
6
6
sen 3
161
cos 90 þ sen 90 þ 2 sen 2 45 ¼ ðcos 45 þ sen 45 Þ2
4 sen 2 30 þ sen 60 ¼ 1 þ tan 60
sen 30
162
2
tg 45
þ cos 2 45 ¼ cos 60 þ 2 cos 45
cos 60
sen 30
163
1 þ cos 30 ¼ 1 þ tan 60
1 sen 30
1 tan 60
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2
10
3
VERO O FALSO?
157
3
4
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Scheda di autovalutazione
Unità 1
Si sa che a ¼ 72 .
1
a. Determina la misura di in radianti.
b. Indica in quale quadrante cade il punto della circonferenza goniometrica associato ad .
La misura in radianti dell’angolo a è 14 p.
3
a. Determina l’ampiezza di in gradi.
2
b. Indica in quale quadrante è il punto della circonferenza goniometrica associato ad .
3
pﬃﬃﬃ
Si sa che < a < p e che tan a ¼ 2 2; determina sen a.
2
4
Si sa che sen a ¼ 5
sen þ sen 5 p cos 3 p sen 5 p ¼
2
2
2
6
pﬃﬃﬃ
a 3
b 3
&
&
2
2
6
pﬃﬃﬃ
2 con < a < 3 p; determina cos a e tan a.
2
4
tan 300 þ sen 120 cos 150 ¼
tan 135
pﬃﬃﬃ
a 1
b
&
&
3
c
&
1
2
d
&
5
2
c
&
pﬃﬃﬃ
31
2
d 0
&
sen 2 p 3 tan p
tan p tan 5 p cos 7 p
3
6
4
6
3 .
Semplifica l’espressione
þ
3
cos
p
sen p
2
7
Griglia di autovalutazione
tempo consigliato: 50 minuti
esercizio
1a
1b
2a
2b
3
4
5
6
7
punteggio
0,25
0,25
0,5
0,5
1,5
2
1,5
1,5
2
esito
28
punteggio
totale
voto
ottenuto
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