Integrale indefinito di una variabile

Prof. Chirizzi Marco
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Integrale indefinito di una variabile
Se g (x ) è una funzione derivabile in ogni punto di un intervallo
 a, b , ed
f (x ) è la
sua derivata, essa prende il nome di primitiva della funzione f (x) . Ad esempio, la
funzione g ( x)  sen x è una primitiva della funzione f ( x)  cos x . Se g (x ) è una
primitiva di f (x) , anche g ( x)  C , dove C è una costante arbitraria, è una primitiva di
f (x ) , in quanto si ha:
D ( g ( x)  C )  D g ( x)  D C  g ( x)  0  g ( x).
Se h(x) e g (x ) sono due funzioni diverse tra di loro che ammettono una stessa derivata
f (x ) , si ha:
h( x)  f ( x) ,
g ( x)  f ( x).
quindi possiamo scrivere:
h ( x)  g ( x)
Si dimostra che le due funzioni h( x) e g ( x) differiscono per una costante C . Infatti si
ha:
k ( x )  h( x )  g ( x ) ,
 k ( x)  C
k ( x)  h ( x)  g ( x)  f ( x)  f ( x)  0 
dove C è una costante per via del fatto che k (x) ha derivata nulla. In definitiva,
possiamo scrivere:
h( x )  g ( x )  C  h( x )  g ( x )  C.
Da questa relazione segue che:
Tutte le funzioni che hanno per derivata f (x) si ottengono dalla formula:
g ( x)  C
Attribuendo alla costante C qualunque valore reale, si ottiene una famiglia di primitive
della funzione f (x) . Questo insieme di primitive prende il nome di integrale
indefinito della funzione f (x) e si indica con il simbolo:
 f ( x) dx
Dalla definizione di integrale indefinito segue:
D
  f ( x) dx   f ( x).
Si dimostra che:
Ogni funzione continua in un intervallo ammette sempre primitive.
Proprietà degli integrali
1) Se K è una costante qualunque si ha:
 K  f ( x)  K   f ( x) d x
2) Se f1 ( x) , f 2 ( x) , ... , f n ( x) sono n funzioni continue, si ha:
  f1 ( x)  f 2 ( x)  ...  f n ( x) dx   f1 ( x) dx   f 2 ( x) dx  ...   f n ( x) dx.
Integrali indefiniti immediati
Consideriamo la funzione:
f ( x)  x n
con n  –1.
L’integrale indefinito
x
n
dx si calcola utilizzando la seguente formula:
n
 x dx 
x n1
C
n 1
(1)
Per n  1 si ha:
x
1
1
dx   dx  log x  C
x
Ad esempio, calcoliamo l’integrale:
(2)
5
 12  x
5
dx
Utilizzando la proprietà 1) e la formula ( 1 ) sopra riportata si ha:
5
5 x 51
5 x6
5 5
5


x
dx



C


 C.

x
dx
 12
12 
12 5  1
12 6
La formula ( 1 ) può essere generalizzata come segue:

f ( x)

n
 f ( x) dx   f ( x)

n

 d f ( x) 
f ( x)  n1
C
n 1
(3)
con n  1.
Per n  1 si ha:

f ( x)
dx  log f ( x)  C
f ( x)
(4)
Ad esempio, l’integrale:
 sen
3
x  cos x dx
possiamo scriverlo nella forma:
 sen
3
x  d sen x
Applicando la formula ( 3 ) si ha:
3
 sen x  d senx 
sen 4 x
C
4
Dalla formula ( 4 ) scaturiscono i seguenti integrali ( da ricordare a memoria ):
 tg x dx   log
cos x  C ,
1
 ctg x d x   tg x dx  log
sen x  C .
Inoltre si ha:
 sen x dx  cos x  C ,
1
 cos 2 x dx  tg x  C ,
 cos x dx  sen x  C ,
1
 sen 2 x dx  ctg x  C .
Questi quattro integrali si generalizzano come segue:
 sen  f ( x)  f ( x) d x   sen  f ( x)  d f ( x)   cos  f ( x)   C ,
 cos  f ( x)  f ( x) d x   cos  f ( x)  d f ( x)  sen  f ( x)   C ,
 cos 2  f ( x)   f ( x) d x   cos 2  f ( x)   d f ( x)  tg  f ( x)   C ,
1
1
 sen 2  f ( x)   f ( x) d x   sen 2  f ( x)   d f ( x)  ctg  f ( x)   C.
1
1
Ad esempio, l’integrale:
 sen ( x
4
 3 x 2  1 )  ( 4 x 3  6 x) d x
può essere scritto nella seguente forma equivalente:
 sen ( x
4
 3x 2  1)  (4 x 3  6 x) d x   sen ( x 4  3x 2  1)  d ( x 4  3x 2  1)
in quanto la funzione 4 x 3  6 x è la derivata prima della funzione x 4  3x 2  1 . In
definitiva, l’ultimo integrale ammette il seguente risultato:
 sen ( x
4
 3x 2  1)  d ( x 4  3x 2  1)   cos ( x 4  3x 2  1)  C
Integrali fondamentali
La tabella in basso riporta una serie di integrali elementari, alcuni dei quali sono stati
analizzati nel paragrafo precedente.
Derivate
Integrali
d
(ax)  a
dx
d x n 1
(
)  xn
dx n  1
d
1
(log x) 
dx
x
d x
(e )  e x
dx
d  e Kx 

  e Kx
dx  K 
d  ax 

  a x
dx  log a 
d
( senx)  cos x
dx

1. a dx 

 d (ax  C )  ax  C

 x n 1

x n 1
 C  
C
2. x dx  d 
n

1
n

1


n
1
 x dx   d (log x  C )dx  log x  C
x
x
x
4.  e dx   d (e  C )dx  e  C
3.
 e Kx
 e Kx
 C  
C
5.  e dx   d 
K
K


x
 a

ax
x
 C  
C
6.  a dx   d 
log
a
log
a


Kx


7. cos x dx  d ( senx  C )  senx  C

1
 cos2 x dx   d (tgx  C )  tgx  C
9a.

2

2

9b. sec x dx  d (tgx  C )  tgx  C

9c. (tg x  1) dx  d (tgx  C )  tgx  C
10a
 sen 2 x dx   d  ctgx  C   ctgx  C
1
11.

d
1
(arccos x )  
dx
1 x2
d
1
( arctg x) 
dx
1 x2
d 
log ( x  x 2  1

dx 
1

x2 1

8. senx dx  d ( cos x  C )   cos x  C
d
( cos x)  senx
dx
d
1
(tgx) 
dx
cos2 x
d
(tgx)  sec2 x
dx
d
(tgx)  tg 2 x  1
dx
d
1
(ctgx) 
dx
sen 2 x
d
1
(arcsenx ) 
dx
1 x2
12.

13.
) 

1
1 x
dx   d (arcsex  C )  arcsex  C
2
dx   d ( arccos x  C )  arccos x  C
1
1 x
1
 1  x 2 dx   d ( arctg x  C )  arctg x  C

14.
2
dx   d  log x  x 2  1  C  


x2 1
1
 log x  x 2  1  C
d 1
1 x 
1
log



dx  2
1 x  1 x2
1
15.
1
1 x

 1  x 2 dx   d  2 log 1  x  C  
1
1 x
 log
C
2
1 x
Prima di passare al calcolo di integrali generici, è bene fare ancora qualche esempio
numerico sugli integrali elementari della tabella.
x n 1
C
Esempi di integrali del tipo  x dx 
n 1
n
6
1.  x dx 
2.
3.


x7
 C;
7
x dx   x
1/ 2
1
1
x2
x3/ 2
2 3
dx 
C 
C 
x C
1
3
3
1
2
2
1
 1
x 2
1
1
x1 / 2
1 / 2
dx   1 / 2 dx   x dx 
C 
C  2 x C
1
1
x
x
 1
2
2
1
 1
x 4
2
1
1
x3/ 4
1 / 4
 4 x dx  2 4 x dx  2 x1/ 4 dx  2 x dx  2 1  C  2 3  C 
 1
4.
4
4
8 4 x3

C
3
Metodi di integrazione
Integrazione per sostituzione
Gli integrali del tipo
 f ( x)  f ( x)  dx , 
f ( x)
 dx si risolvono sia ricorrendo alla
f ( x)
tabella degli integrali elementari sia utilizzando il metodo di integrazione per
sostituzione, il quale tiene conto del fatto che f ( x)  dx  df ( x) ( differenzi ale ) . In
definitiva, gli integrali in esame si possono scrivere anche come segue:
a)
 f ( x)  f ( x)  dx   f ( x)  df ( x)
f ( x)
df ( x)
 dx  
f ( x)
f ( x)
Il metodo di sostituzione consiste nel porre S  f (x) , per cui df ( x)  dS e quindi
b)

gli integrali a) e b) si calcolano rispettivamente nel seguente modo:
 f ( x)
S2
 S  dS  2  C  2  C
dS
 S  log S  C  log f ( x)  C
2
Così, anche per gli integrali del tipo:
c)
  f ( x)
d)
  f ( x)  n  dx
n
f ( x)  dx
f ( x)
si ricorre al metodo di integrazione per sostituzione ottenendo i risultati che seguono:
 f ( x )
S n 1
  f ( x)  f ( x)  dx    f ( x)  df ( x)   S  dS  n  1  C  n  1  C;
f ( x)
df ( x)
dS
S  n 1
S  n 1
n
  f ( x) n  dx    f ( x) n   S n   S  dS   n  1  C   n  1  C
n 1
n
n
n
Esempi
1.
 senx  cos x  dx .
Si pone:
f ( x)  senx , df ( x)  f ( x)  dx  cos x  dx , S  f ( x) .
Quindi si ha:
S2
sen 2 x
 senx  cos x  dx   S  dS  2  C  2  C
2.
 ctgx  dx
L’integrale può essere scritto nella forma
cos x
 senx  dx
Si pone:
f ( x)  senx , df ( x)  f ( x)  dx  cos x  dx,
S  f ( x).
e l’integrale si calcola come segue:
cos x
d (cos x)
dS

dx


 senx
 senx  S  log S  C  log senx  C
1  senx
 x  cos x 3  dx
3.
L’integrale è del tipo
f ( x)
  f ( x)n  dx ,
dove f ( x)  x  cos x ,
f ( x)  1  senx .
Ponendo S  f (x) si ha:
1  senx
d (1  senx)
dS
S 31
1
3
 x  cos x 3  dx   ( x  cos x)3   S 3   S  dS   3  1  C   2 S 2  C 
1

 C.
2 ( x  cos x ) 2
e
4.
L’integrale è del tipo
 f ( x)   f ( x)
n
2x
 1  e 2 x  dx
 dx , dove
f ( x)  1  e 2 x , f ( x)  dx  e 2 x  dx.
Ponendo S  f (x) si ha:
2x
2x
 e  1  e  dx 

1
 1  e2x
3

3/ 2

1
  2  e2x  1  e2x
2

1/ 2
 dx 
1
1
S2
1
  S 1/ 2 dS 
C 
2
1 
  1  2
2 
(1  e 2 x ) 3
C 
 C.
3
2
Integrazione per parti
Siano f ( x) e g ( x) due funzioni derivabili. Si ha:
d  f ( x)  g ( x)   d f ( x)  g ( x)  f ( x)  d g ( x);
d  f ( x)  g ( x)   g ( x)  f ( x)  d x  f ( x)  g ( x)  d x .
quindi possiamo scrivere:
f ( x)  g ( x)  dx  d  f ( x)  g ( x)   g ( x)  f ( x)  dx ,
Integrando ambo i membri di quest’ultima eguaglianza, e osservando che, a meno di
una costante additiva, è:
 d  f ( x)  g ( x)   f ( x)  g ( x ) ,
si ottiene:
 f ( x)  g ( x)  dx  f ( x)  g( x)   g(x)  f ( x)  dx .
La funzione f (x) si chiama fattore finito e g ( x )  dx fattore differenziale.
Ad esempio, l’integrale:
x
2
 log x  dx
si calcola nel seguente modo:
conviene assumere come fattore finito la funzione log x . Applicando la regola di
integrazione per parti, si ha:

x 2  log x  dx  log x 
x 3  log x
x 3  log x x 2
x3
1 2

 x  dx 
 x  dx 

C
3
x
3
3
2


Può capitare che nell’integrale di partenza compaia una sola funzione, ma ciò non toglie
che si possa comunque applicare la regola d’integrazione per parti.
Ad esempio,
l’integrale :

 x 1 
arctg 
  dx
 x 1 
 x 1
si calcola considerando come fattore finito la funzione f ( x)  arctg 
 e come
 x  1
seconda funzione g ( x)  x , la cui derivata g (x ) è uguale a uno. Così facendo,
l’integrale di partenza può essere scritto nella forma:
 f ( x)  g ( x)  dx
e quindi si ha:

x
 x 1 
 x 1 
arctg 
 dx ;
  dx  x  arctg 

 x 1 
 x 1 
1 x2

 1 x2
x
 dx 
1
 log ( 1  x 2 )  C ;
2
In definitiva si ottiene:
 x 1 
 x 1 
 arctg  x  1   dx  x  arctg  x  1   2  log ( 1  x
1
2
)  C.
Integrazione per decomposizione
L’integrazione per decomposizione consente di rendere più facile il calcolo di un
integrale. Essa consiste nel decomporre la funzione da integrare nella somma algebrica
di funzioni, di ciascuna delle quali è noto l’integrale indefinito o per lo meno è più
facile il calcolo.
Ad esempio, calcoliamo il seguente integrale:
 1  x  dx .
x
La funzione f ( x) 
x
può essere scomposta nella somma
1 x
x
x 11 x 1 1
1



 1
.
1 x
1 x
1 x 1 x
1 x
per cui si ha:


 1  x  dx    1  1  x   dx   dx   1  x  x  log
x
1
dx
1  x  C.