COMPITI DI MATEMATICA per il periodo estivo
classi IV B lst
docente: prof. Pavesi
FUNZIONI
1. Determina il dominio delle seguenti funzioni:
• funzioni razionali fratte
si devono escludere i valori della x che annullano il denominatore
x2
8
7
a) y =
b) y =
c) y = 3
( scomponi con T .Ruffini )
2
5 − 2x
3 x − 5 x − 12
x − 2x 2 + 3
• funzioni irrazionali
indice di radice pari: si deve imporre l’espressione sotto radice ≥ 0
indice di radice dispari: non si pongono condizioni
1
8
a ) y = 3 3x − 6 y =
b ) y = 2 x 2 − 3x y =
c ) y = 4 x − 3 + 9 − 3x
3 3x − 6
( imposta un sistema )
2 x 2 − 3x
• funzioni logaritmiche
si deve imporre l’argomento del logaritmo > 0
x− 2
a ) y = log ( x − 2)
b ) y = log
c ) y = log 2 x 2 − 3 x − 2 d ) y = log x 2 − 1 + log ( x + 3)
1 − 3x
( imposta un sistema )
(
• funzioni goniometriche
arcoseno e arcocoseno: argomento compreso tra-1 e 1
π
tangente: argomento diverso da + kπ
2
x
a ) y = arcsen
b ) y = arccos( 3 x ) c ) y = tg ( 2 x ) d ) y =
4
)
senx
(
e) y =
)
senx − cos x
Soluzioni
1. f . fratte a ) x ≠
5
2
b) x ≠ −
4
∪ x≠ 3
3
c) x ≠ − 1
3
3
3
; x < 0∪ x >
c)
≤ x≤ 3
2
2
4
1
1
f . log aritmiche a ) x > 2 b)
< x < 2 c) x < − ∪ x > 2 d ) − 3 < x < − 1 ∪ x > 1
3
2
1
1
π
π
f .goniometriche a ) − 4 < x < 4 b) − < x <
c) x ≠ + k ∪ x > 2
3
3
4
2
π
5
d ) 2π k ≤ x ≤ π + 2π k
e) + 2 π k ≤ x ≤ + 2 π k
4
4
PROBLEMI RISOLVIBILI CON LA TRIGONOMETRIA
f .irrazionali
a ) R ; x ≠ 2 b) x ≤ 0 ∪ x ≥
1. E’ dato il triangolo rettangolo ABC con l'ipotenusa BC lunga 2l e il cateto AC più piccolo del
cateto AB. Dal punto medio O dell'ipotenusa conduci la perpendicolare a BC fino ad incontrare AB
nel punto M. Determina l'ampiezza dell'angolo CBA ( x ) in modo che risulti: CA • OM = 3l2.
[si ottiene l'equazione 2l senx•l tgx=3l2 da cui 2cos2x + 3cosx — 2 = 0 ;
sol. x = 60° ]
2. Data una circonferenza di centro O e diametro AB, avente lunghezza 2r, determina su essa un
punto M tale che, se si conduce il raggio OP parallelo ad AM, si abbia
AM + MP =2r.
x
ˆ
ˆ
MAB = x; MAP = x ; AM cateto; MP con Teorema.della corda → si ottiene l ' eq. cos x + sen 2 = 1
x
x
2 x
2 x
da cui cos 2 2 = 1 − 2 sen 2 → − 2 sen 2 + sen 2 = 0 → sol.x = 60°
3. Sopra una circonferenza di raggio r determina un punto P tale che, detta M la proiezione di P
5r
sulla perpendicolare in B ad un diametro AB, si abbia AP + PM =
.
2
P
M
5
r
π
2
PÂB = x; si ottienel' equazione 2r cos x + 2r − 2r cos x = 2 ; x = 3
A
B
H
4. In un triangolo ABC si ha BC = 2a e la mediana AM = a. Traccia l'altezza AD relativa al lato
BC, e poni l’angolo AMB = x. Determina x in modo che sia AD = 3 •BD.
π
si ottiene l ' eq. senx + 3 cos x = 3; sol. x = 3
5. Inscrivi in un cerchio di raggio r un triangolo isoscele ABC in modo che valga la relazione
3 ⋅ BC + 2 AH = 4r dove BC e AH rappresentano rispettivamente la base e l’altezza del triangolo.
π
ˆ
2
ACH = x; AC con il T . della corda, da cui l ' eq. 4 3rsenx cos x + 4rsen x = 4r ; sol. x = 6
PROBABILITÀ
1. Da un mazzo di 40 carte se ne estragga una. Trovare la probabilità che sia: a) un asso; b) una carta
di cuori o di picche; e) una carta di fiori o un fante.
2. In un ufficio funzionano 3 macchine da scrivere M, N, P. Le probabilità che si rompano in un
certo periodo di tempo sono rispettivamente: per M = 0,2, per N = 0,3, per P = 0,1. Trovare la
probabilità che in quel periodo: a) siano tutte e tre rotte; b) nessuna sia rotta.
3. Le sei facce di un dado cubico portano rispettivamente i numeri 1, 1, 1, 2, 2, 3. Si lancia questo
dado 3 volte di seguito. Qual è la probabilità che escano, nell’ordine, i numeri 1, 2, 3.
4. Da un mazzo di 40 carte se ne estraggono 3. Calcolare la probabilità che si presentino: a) tre carte
di quadri; b) tre donne; c)non ci siano assi
5. Nel lancio di due dadi trovare la probabilità che si presentino: a) due valori uguali; b) due valori
tali per cui la differenza tra il maggiore e il minore sia 4.
6. In un'urna vi sono 5 palline rosse e 10 gialle; in una seconda urna vi sono 8 palline rosse. Si
prende a caso una pallina dalla prima urna e la si mette, nella seconda. Si toglie poi, a caso, una
pallina dalla seconda urna. Qual è la probabilità che questa pallina sia rossa.
7. Ci sono 4 urne M, N, P, Q contenenti delle palline in questo modo:
M: 30 bianche
N: 40 nere
P: 10 bianche e 20 rosse
Q: 5 bianche, 5 nere e 5 rosse
Si estrae una pallina da un’urna scelta a caso, qual è la probabilità che sia bianca, cioè p(b)?
Qual è la probabilità che, essendo bianca la pallina estratta, essa provenga dalla prima urna, cioè
p(M/b)?
Soluzioni
1 1 13
1.
; ;
10 2 40
1 1
5.
;
6 9
2. 0,006; 0,504
6.
25
27
1
36
5 3
7.
;
12 5
3.
DISEQUAZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE
4.
1
1 357
;
;
247 2470 494
