Integrali.Tecniche di Integrazione.

INTEGRALE INDEFINITO
;
Una funzione F ( x ) si dice primitiva o antiderivata di una funzione f ( x ) definita
nell’intervallo [a b] se F ( x ) è derivabile in tutto [a b] e la sua derivata è f ( x ) .
; '
•
Quindi: se (
F )
x =(f )
x allora (F )
x è una primitiva di f ( x ) .
•
Se F ( x ) è una primitiva di f ( x ) allora lo sono anche tutte le funzioni del tipo
(F )
x +C
con C costante reale arbitraria.
'
'
Infatti, poiché la derivata di una costante è nulla, si ha:
( (F )
x +)
C =(
F )
x =(f )
x
∀C ∈ ℜ
Se due funzioni (F )
x e (G )
x sono primitive della stessa funzione f ( x ) , allora le
due funzioni differiscono per una costante.
•
Se f ( x ) è continua in un intervallo [a b] allora in tale intervallo ammette
primitiva.
;
•
Definizione di integrale indefinito
Si definisce integrale indefinito della funzione f ( x ) , e si indica con (
x dx , l’insieme
∫ f)
di tutte le primitive (F )
x + C di f ( x ) con C numero reale qualunque. Possiamo dire
che l’operazione di integrazione è l’inversa di quella di derivazione.
Nella scrittura (
x dx
∫ f)
la funzione f ( x ) è detta funzione integranda e la variabile x
variabile d’integrazione.
Dagli esempi di sopra avremo quindi:
D(∫ f ( x )dx ) = f ( x )
∫ f ( x )dx = {Pr imitive(f ( x ) )}
∫ 2xdx = {Pr imitive(2 x )} = x + c
∫ cos xdx = {Pr imitive(cos x )} = sin x + c
2

)
D(sin x + c ) = cos x
 1 
 
D(ln x + c ) =

 1 
  = tgx + c
dx =  Pr imitive
cos x
 cos 2 x  

D(tgx + c ) =
1
∫ x dx =  Pr imitive x   = ln x + c

∫
(
D x 2 + c = 2x
1
2
1
x
1
cos 2 x
Teoremi degli integrali indefiniti
2
2
1
1
2
2
+(
f )
x ]dx = ∫(f )
x dx + ∫(
f )
x dx
2
f )
x
∫ [k ⋅(
1
•
2
[ f )x
∫(
1
•
= k ⋅(
x dx
∫ f)
1
⋅f)
x dx
∫ k(
1
•
+ k ⋅(
f )
x ]dx =k ⋅ ∫(f )
x dx + k ⋅ ∫(
f )
x dx
I teoremi sopra elencati permettono di affermare che l’integrale indefinito, come la
derivata, è un operatore lineare e il procedimento di integrazione che utilizza tali
teoremi è detto integrazione per
decomposizione o per scomposizione.
Integrali immediati
Se è possibile determinare l’integrale indefinito di una funzione grazie alle sole regole di
derivazione allora l’integrale è detto immediato.
Tabella degli integrali immediati delle funzioni elementari e loro generalizzazioni
Generalizzazione
∫ dx = x + C
f )
x dx =(f )
x +C
∫(
∫ kdx = kx + C
f )
x dx = k(
⋅ f)
x +C
∫ k ⋅(
'
Integrale immediato
'
x
(f )
()
x ⋅(f )
x dx = senf
x +C
(f )
x
⋅(f )
x dx = tgf ( x) + C
n≠−
1
∫
cos
dx = tgx + C
(f )
x +C
'
∫
1 2
xdx = senx + C
)
x ⋅(f )
x dx = −
'
(
∫ senf
( )
)
x dx = e f x + C
'
x+C
cos cos
cos
∫
1 2
cos cos
∫
∫a
log
log
=−
∫ senxdx
(f )
x
a
⋅f )
x dx =
+C
a
(f )
x(
(f )
x(
⋅f
∫e
dx = e x +C
log
x
+C
a
(f )
x +C
'
∫e
dx =
(f )
x
dx =
(f )
x
∫
'
ax
[ f (x )]n+1 + C
(
x ]n ⋅(f )
x dx =
∫[f )
n +1
'
∫a
x
x
x +C
'
1
log
1
dx =
∫
n≠−
1
1
xn+
+C
n+
n
∫ x dx =
+(
[ f )x ]
()
⋅(f )
x dx = arctgf
x +C
2
+x
∫
1
2
dx = arctgx + C
'
1
1
1
∫
ESEMPI
Integrazioni immediate con utilizzo della regola di integrazione per decomposizione.
2
log
3
+
+
x
5 5
2
x +
+ x+C =
+
3
3 2
4
+
x
+
+ x+C =
5
1 2
∫
3
2

x dx = ∫
dx −
+x

cos
1 2
1
1
3
−
tgxdx = ∫
x
1 1
4 4
2
4
2
1 2
4
)
cos
1 2
2
 +x
x − ex + C
x + x+C
3
∫
1
−−
1
2 5
8 3

∫ 
4
2
4
x x+
−−
1
1
2 x ⋅ senx 2 dx = − cos x 2 + C
∫
2
2
x + x + dx = ∫ x dx + ∫ x dx + ∫ dx =
=
2
dx =
log
2
(
∫
2
x − ex + C = x +
x +C
1
1
1 21 2
4
∫ x ⋅ senx
x +
+
+
2
−−
x ⋅ senx dx = −
cos
∫
1 1
2 2
3
2
1
2
3
2
−−
2
∫
−−
1
2
3


x + − e x dx = ∫ x dx + ∫ dx − ∫ e x dx =
x
x


−−
xdx = arctgx −
senx + C
senx
− senx
dx = − ∫
dx = − log cos x + C
cos x
cos x
ESERCIZI
1. Quesiti a risposta multipla:
c
+C
2
x +C
e
x
3
−
−
−
cos
2
b
c
x
1 3
x +C
+C
1 3
− e
−
x
2
b
−
c
3
a
+C
x
cos
1 2
→
+C
2
- ∫ xsenx dx =
e
x
cos
1 2
a
2
→
−
3
dx =
−
b
1 3
3
x
x +C
3
a
3
- ∫e
−
→
1 3
dx =
x
log
4
1 4
- ∫
x +C
2. Calcolare i seguenti integrali indefiniti immediati:
2x + 1
a)
∫ x 2 + x dx
e)
2
∫ 6 x 3x + 1 dx
(
)
3
b)
∫ 2e
f)
∫ 2dx
2x
dx
c)
∫3
g)
∫ (x
3 x −1dx
d)
∫ − senx ⋅ cos
)
h)
∫ cot gxdx
2
+ 2 x dx
3
xdx
Formula Fondamentale del Calcolo Integrale
Enunciato
Siano a e b due numeri reali, con a < b, e sia f continua su [a, b]. Sia inoltre
F una primitiva di f su ]a, b[. Allora (osservato che sicuramente f e’ integrabile su
]a, b[) si ha:
b
∫a F’ dx =
F(b) − F(a)
Esecizi: Calcolare l’integrale definito degli esercizi al punto 2. con gli estremi a = 1, b= 2
Ricordando la regola di derivazione del prodotto di due funzioni
e integrando ambo i membri , si ottiene:
ESEMPIO
Osserviamo che risulta
Per cui, necessariamente, si ha
E quindi
Esercizi
Calcolare per parti i seguenti integrali